2022年初中列方程解應(yīng)用題專題

1、精品資料歡迎下載初中列方程解應(yīng)用題（行程問題）專題行程問題是指與路程、 速度、時(shí)間這三個(gè)量有關(guān)的問題。 我們常用的基本公式是: 路程速度時(shí)間；速度路程時(shí)間；時(shí)間路程速度. 行程問題是個(gè)非常龐大的類型,多年來在考試中屢用不爽,所占比例居高不下。原因就是行程問題可以融入多種練習(xí),熟悉了行程問題的學(xué)生 ,在多種類型的習(xí)題面前都會(huì)顯得得心應(yīng)手。 下面我們將行程問題歸歸類， 由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例 1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從hkm/80提高到hkm/100,運(yùn)行時(shí)間縮短了h3 。甲，乙兩城市間的路程是多少? 【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為xk

2、m,那么列車在兩城市間提速前的運(yùn)行時(shí)間為hx80，提速后的運(yùn)行時(shí)間為hx100. 【等量關(guān)系式】 提速前的運(yùn)行時(shí)間提速后的運(yùn)行時(shí)間=縮短的時(shí)間 . 【列出方程】310080 xx. 例 2：某鐵路橋長(zhǎng) 1000m，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1 min ，整列火車完全在橋上的時(shí)間共s40 。求火車的速度和長(zhǎng)度。【分析】 如果設(shè)火車的速度為xsm/，火車的長(zhǎng)度為 ym，用線段表示大橋和火車的長(zhǎng)度，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：y 1000 60 x 1000 y 40 x【等量關(guān)系式】 火車min1行駛的路程 =橋長(zhǎng)+火車長(zhǎng)；火車s40 行駛的路程 =橋長(zhǎng)-火車長(zhǎng)【列

3、出方程組】yxyx1 0 0040100060精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載舉一反三：1小明家和學(xué)校相距km15。小明從家出發(fā)到學(xué)校，小明先步行到公共汽車站，步行的速度為60min/m，再乘公共汽車到學(xué)校，發(fā)現(xiàn)比步行的時(shí)間縮短了min20，已知公共汽車的速度為hkm/40，求小明從家到學(xué)校用了多長(zhǎng)時(shí)間。2根據(jù)我省“十二五”鐵路規(guī)劃，連云港至徐州客運(yùn)專線項(xiàng)目建成后，連云港至徐州的最短客運(yùn)時(shí)間由現(xiàn)在的2 小時(shí) 18 分鐘縮短為 36 分鐘，其速度每小時(shí)將提高km26

4、0.求提速后的火車速度。 （精確到hkm/1）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載3徐州至上海的鐵路里程為km650，從徐州乘 ” c “ 字頭列車 a，” d” 字頭列車 b 都可直達(dá)上海，已知 a 車的速度為 b 車的 2 倍， 且行駛的時(shí)間比 b 車少h5. 2.求 a 車的速度及行駛時(shí)間。（同學(xué)們可能會(huì)認(rèn)為這是雙人行程問題，其實(shí)這題的類型可歸結(jié)于例1 的類型，把 b 車的速度看成是a 提速后的速度，是不是也可看成單人單程的問題呀！ ）4一列勻速前進(jìn)的火車用15

5、 秒的時(shí)間通過了一個(gè)長(zhǎng)300米的隧道（即從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道） 。又知其間在隧道頂部的一盞固定的燈發(fā)出的一束光垂直照射火車 2. 5 秒，（光速sm /1038）1）求這列火車的長(zhǎng)度2）如果這列火車用 25 秒的時(shí)間通過了另一個(gè)隧道，求這個(gè)隧道的長(zhǎng)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載2. 單人雙程（等量關(guān)系式：來時(shí)的路程=回時(shí)的路程）：例 1：某校組織學(xué)生乘汽車去自然保護(hù)區(qū)野營，先以hkm/60的速度走平路，后又以hkm/30的速度爬坡，共用了h5. 6; 返

6、回時(shí)汽車以hkm/40的速度下坡，又以hkm/50的速度走平路，共用了h6 . 學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥?如果設(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為xkm，由題目條件：去時(shí)用了h5. 6，則有些同學(xué)會(huì)認(rèn)為總的速度為hkmx/5.6，然后用去時(shí)走平路的速度+去時(shí)爬坡的速度=總的速度，得出方程5. 63060 x，這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟嗉拥?。不妨設(shè)平路的長(zhǎng)度為xkm，坡路的長(zhǎng)度為 y km，則去時(shí)走平路用了hx60，去時(shí)爬坡用了hy30，而去時(shí)總共用了h5. 6，這時(shí)，時(shí)間是可以相加的；回來時(shí)汽車下坡用了hy40， 回來時(shí)走平路用了50 x，而回來時(shí)總共用了h6 .則學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)的距離為km

7、yx)(。【等量關(guān)系式】 去時(shí)走平路用的時(shí)間 +去時(shí)爬坡用的時(shí)間 =去時(shí)用的總時(shí)間回來時(shí)走平路用的時(shí)間 +回來時(shí)爬坡用的時(shí)間 =回來時(shí)用的總時(shí)間【列出方程組】640505 .63060yxyx注：?jiǎn)稳穗p程的行程問題抓住來時(shí)的路程=回時(shí)的路程、路程 =速度時(shí)間，再把單人單程的行程問題練練熟就ok 了，題型跟單人單程的題型差不多，把上面的例題弄懂，這里就不多做練習(xí)了。3.雙人行程 : （）單塊應(yīng)用：只單個(gè)應(yīng)用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問題。1)同時(shí)同地同向而行： a,b 兩事物同時(shí)同地沿同一個(gè)方向行駛例：甲車的速度為hkm/60，乙車的速度為hkm/80，兩車同時(shí)同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過多

8、少時(shí)間兩車相距km280?！痉治觥?如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距km280，則甲走的路程為xkm60，乙走的路程為xkm80，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：80 x km 乙精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載甲60 x km 280km 【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +280= 乙車行駛的距離【列出方程】xx280280602）同時(shí)同地背向而行： a，b 兩事物同時(shí)同地沿相反方向行駛例：甲車的速度為hkm/60，乙車的速度為hkm/80，兩車同時(shí)同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過多

9、少時(shí)間兩車相距km280?！痉治觥?如果設(shè)經(jīng)過xh后兩車相距km280，則甲走的路程為xkm60，乙走的路程為xkm80，根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲乙60 x km 80 x km 280 km 【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +乙車行駛的距離 =280 【列出方程】2808060 xx3）同時(shí)相向而行（相遇問題）: 例:甲，乙兩人在相距km10的 a,b 兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時(shí)處發(fā)h5. 1后相遇，求甲，乙兩人的速度?！痉治觥?如果設(shè)甲的速度為hxkm/，則乙的速度為hxkm/2，甲走過的路程為x5. 1km，乙走過的路程為x25. 1km，根據(jù)題意可畫出如下示意

10、圖：甲1.5x km 1.52x km 乙a b 10 km 280 km 【等量關(guān)系式】 甲車行駛的距離 +乙車行駛的距離 =10 【列出方程】1025 .15 .1xx4）追及問題：例：一對(duì)學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以hkm/5的速度行進(jìn)min24后，一名教師騎自行車以hkm/15的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了多少時(shí)間？【分析】 如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了xh，則教師走過的路程為x15km，學(xué)生走過的路程為教師出發(fā)前走過的路程加上教師出發(fā)后走過的路程， 而學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程為km60245， 學(xué)生在教師出發(fā)后走過的路程為x5

11、km，又由于教師走過的路程等于學(xué)生走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：學(xué)生km602455x km 教師15x km 【等量關(guān)系式】 教師走過的路程 =學(xué)生在教師出發(fā)前走過的路程+學(xué)生在教精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載師出發(fā)后走過的路程【列出方程】xx560245155）不同時(shí)同地同向而行（與追擊問題相似）：例:甲，乙兩人都從a 地出發(fā)到 b 地，甲出發(fā)h1 后乙才從 a 地出發(fā)，乙出發(fā) h3 后甲，乙兩人同時(shí)到達(dá)b 地，已知乙的速度為hkm/50，問，甲的速

12、度為多少？【分析】 如果設(shè)甲的速度為xhkm/，則乙出發(fā)前甲走過的路程為xkm，乙出發(fā)后甲走過的路程為x3 km，甲走過的路程等于乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程，而乙走過的路程為km350，甲走過的路程等于乙走過的路程。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：甲x km 3x km 乙503 km 【等量關(guān)系式】 乙走過的路程 =乙出發(fā)前甲走過的路程加上乙出發(fā)后甲走過的路程【列出方程】xx33506）不同時(shí)相向而行例：甲，乙兩站相距km448，一列慢車從甲站出發(fā)，速度為hkm/60；一列快車從乙站出發(fā)，速度為hkm/100。兩車相向而行，慢車先出發(fā)min32，快車開出后多少時(shí)間兩車相遇？【 分

13、 析 】 如 果 設(shè) 快 車 開 出 后xh 兩 車 相 遇 ， 則 慢車 走 過 的 路 程 為60326060 xkm，快車走過的路程為100 xkm。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：慢車60326060 x 100 x 快車448km 【等量關(guān)系式】 總路程 =快車出發(fā)前慢車走過的路程+快車出發(fā)后慢車走過的路程 +快車走過的路程【列出方程】xx10060603260448注：涉及此類問題的還有同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行、不同時(shí)不同地同向而行、 不同時(shí)不同地背向而行， 與上面解法類似， 只要畫出示意圖問題就會(huì)迎刃而解， 就不再一一給出解答了， 此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。精品學(xué)

14、習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載（）結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問題兩兩結(jié)合起來應(yīng)用。1）相向而行 +背向而行例：a，b 兩地相距km36，小明從 a 地騎自行車到 b 地，小麗從 b 地騎自行車到 a 地，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過h1 后兩人相遇；再過h5. 0，小明余下的路程是小麗余下的路程的2 倍。小明和小麗騎車的速度各是多少？【分析】 如果設(shè)小明騎車的速度為x，小麗騎車的速度為y ，相遇前小明走過的路程為x，小麗走過的路程為y ；相遇后兩人背

15、向而行，小明走過的路程為x5 .0，小麗走過的路程為y5.0。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：小明小麗相遇前x ya b 36km x-0.5y 0.5y 0.5x y-0.5x 小麗小明【等量關(guān)系式】 相遇前小明走過的路程 +相遇前小麗走過的路程 =總路程相遇后小明余下的路程 =2相遇后小麗余下的路程【列出方程組】)5. 0(25.036yxxyyx2)同向而行 +相向而行例：一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35 千米/ 時(shí)的速度前進(jìn)，突然， 1 號(hào)隊(duì)員以 45千米/ 時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10 千米后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45 千米/ 時(shí)的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合。1 號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與

16、其他隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】 由題意“ 1 號(hào)隊(duì)員以 45 千米/ 時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車頭”可知 1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭前的時(shí)間為h4510，不妨設(shè) 1 號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合的時(shí)間為xh。根據(jù)題意可畫出如下示意圖：所有隊(duì)員1 號(hào)隊(duì)員45103535x 45x 10km 【等量關(guān)系式】 1 號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車頭這段時(shí)間所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程+1 號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)1 號(hào)隊(duì)員走的路程 =10。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

17、- - - - - 第 7 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載【列出方程】104535451035xx注：涉及此類問題的還有同向而行+相背而行、追及 +同向而行、追及 +相背而行、追及 +相向而行，只要把它們分成單個(gè)類型，按照題意一步一步求解，這里就不一一舉例了，此類問題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。舉一反三：1.甲，乙兩人從樓底爬樓梯到樓頂，甲平均每分鐘爬樓梯40 級(jí)，乙平均每分鐘爬樓梯50 級(jí)，甲先出發(fā)min2，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)樓頂。問從樓底到樓頂共有樓梯多少級(jí)？2 甲，乙兩人在相距m100的兩地相背而行，min30后甲，乙兩人相距km4，已知甲的速度為min/

18、60m，求乙的速度。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載3. 小彬和小明每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4 米，小明每秒跑 6 米，（ 1如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小明站在百米跑道的起點(diǎn)處，小彬站在他前面10 米處，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小明能追上小彬。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載4.一隊(duì)學(xué)生

19、去校外進(jìn)行軍事野營訓(xùn)練。他們以hkm/5的速度行進(jìn)，走了min18的時(shí)候，學(xué)校要將一個(gè)緊急通知傳給隊(duì)長(zhǎng)。通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以hkm/14的速度按原路追上去，隊(duì)長(zhǎng)出發(fā)后經(jīng)過多少時(shí)間接到通知？5.兩輛汽車同時(shí)從 a 地出發(fā)，沿一條公路開往b 地。甲車比乙車每小時(shí)多行 8 千米，甲車比乙車早40 分鐘到達(dá)途中的 c 地，當(dāng)乙車到達(dá) c 地時(shí)，甲車正好到達(dá) b 地。已知 c 至 b 地的路程是 40 千米，求乙車每小時(shí)行多少km？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載

20、6.a，b 兩地相距km450，甲，乙兩車分別從a，b 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。已知甲車速度為hkm/120，乙車速度為hkm/80，經(jīng)過多少小時(shí)兩車相距km50。7 甲乙兩車同時(shí)從 a 地出發(fā)，在相距 900 千米的 ab 兩地間不斷往返行駛。已知甲車的速度是每小時(shí)25 千米，乙車的速度是每小時(shí)20 千米。請(qǐng)問：（1）甲車第一次從后面追上乙車是在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間？（2）甲車在第一次從后面追上乙車之后又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第二次從后面追上乙車？（3）甲乙兩車第二次迎面相遇是在出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 15 頁

21、 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載4.行程問題中的工程問題：乍一看，題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，此類問題同學(xué)們做起來覺得無從下手。其實(shí)只要把路程看做單位“1” （至于為什么，結(jié)合以下例題講解） ，這就相當(dāng)于把行程問題轉(zhuǎn)化為工程問題。例：甲開汽車從 a 地到 b 地需要h6 ，乙開汽車從 a 地到 b 地需要h4 ，如果甲，乙兩人分別從a，b 兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)后兩車相遇?！痉治觥?題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道a 與b 的距離，就可以得出a 與 b 的速度，那么問題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無論取什么值， 都經(jīng)過相同

22、的時(shí)間兩車相遇呢？為此，我們不妨設(shè) a 與 b 的距離為a,經(jīng)過 xh 后兩車相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：axaxa46，可以把兩邊的a消去，得到方程146xx，立馬得出512x。說明路程無論取什么值， 都經(jīng)過相同的時(shí)間兩車相遇。 遇到類似問題， 我們往往把路程看做單位“ 1” 。舉一反三：1.甲從 a 地到 b 地需要h3 ，乙從 a 地到 b 地需要h4 ，甲，乙兩人同時(shí)從 a地出發(fā)，甲先到達(dá)b 地后掉頭向 a 方向行駛，問，甲，乙兩人從a 地同時(shí)出發(fā)到兩人相遇需要多長(zhǎng)時(shí)間？2.甲開汽車從 a 地到 b 地需h2 ，乙騎摩托車從 b 地到 a 地需h3 。如果乙騎摩托車從 b 地出發(fā)往

23、a 地， h1 后甲開汽車從 a 地往 b 地，那么甲出發(fā)多少時(shí)間與乙相遇？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載5.環(huán)形跑道問題：環(huán)形跑道問題也是形成問題的一種，環(huán)形跑道問題就是閉路線上的追擊問題。在環(huán)形問題中，若兩人所走同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，兩人所走路程差為一周長(zhǎng)；相向而行，第一次相遇時(shí)，兩人所走路程和為一周長(zhǎng)。例 1：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長(zhǎng)m400，小紅跑步的速度是爺爺?shù)?5倍，他們從同一地點(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，min5后小紅第一次追上了爺爺。你

24、知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過min5兩人第二次相遇呢？如果不是， 請(qǐng)說明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹閤min/m， 則小紅的跑步速度為x35min/m【等量關(guān)系式】 小紅跑的路程爺爺跑的路程=400m 【列出方程】4005355xx注：再過min5兩人第二次相遇，用上面那個(gè)方程式就可以表示出來。例 2：甲，乙兩車分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為m600的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車的速度較快， 當(dāng)兩車反向運(yùn)動(dòng)時(shí)， 每s15 相遇一次 ;當(dāng)兩車同向運(yùn)動(dòng)時(shí)， 每 min1相遇一次，求兩車的速度?！痉治觥?設(shè)甲，乙兩車的速度分別為xsm/和 ysm/?！镜攘筷P(guān)系式】 同向而行甲所

25、走的路程 -同向而行乙所走的路程 =一周長(zhǎng)反向而行甲所走的路程 +同向而行乙所走的路程 =一周長(zhǎng)【列出方程組】60060606001515yxyx舉一反三：1.甲，乙兩人在周長(zhǎng)m400長(zhǎng)的環(huán)形跑道上競(jìng)走， 已知乙的速度是min/80m，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品資料歡迎下載甲的速度是乙的 1.25 倍，乙在甲前m100。問多少分鐘后，甲可以追上乙？2.甲，乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，相向而行，每隔min2相遇一次;同向而行，每隔min6相遇一次。已知甲比乙跑得快，求甲，乙兩人每分鐘個(gè)跑幾圈？6.水流問題一般是研究船在 “ 流水 ” 中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度水速：水流動(dòng)的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣软標(biāo)?船速水速逆速=船速水速船行速度 =（順?biāo)俣?+ 逆流速