2019屆蘇教版(文科數(shù)學(xué))----空間幾何體的外面積與體積------單位測(cè)驗(yàn)

1、2019 屆蘇教版（文科數(shù)學(xué)）空間幾何體的表面積與體積單元測(cè)試1一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是3,3,6，這個(gè)長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是a12 b18c36 d 62某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為a1 b2 c3 d 6 3如圖，格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為a60 b72 c81 d 114 4一個(gè)與球心距離為2 的平面截球所得圓面面積為，則球的表面積為abcd5我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中有如下問(wèn)題：“ 今有筑城，上廣二丈，下廣五丈四尺，高三丈八尺，長(zhǎng)五千五百五十尺，秋程人功三百尺.問(wèn)：須工幾何？”

2、意思是： “ 現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻，其中底面等腰梯形的上底為2丈、下底為5.4丈、高為3.8丈，直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為5550尺.如果一個(gè)秋天工期的單個(gè)人可以筑出300立方尺，問(wèn)：一個(gè)秋天工期需要多少個(gè)人才能筑起這個(gè)城墻？”（注：一丈等于十尺）a24642b26011c52022d780336某幾何體由圓柱挖掉半個(gè)球和一個(gè)圓錐所得，其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為a60b75c90d937一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是102 5，則該幾何體的體積為a4 33b4 53c423d838如圖，直角梯形abcd中，addc，adbc，222bccda

3、d，若將直角梯形繞bc邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為9將若干毫升水倒入底面半徑為4cm 的圓柱形器皿中,量得水面高度為8cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面的高度是cm. 10正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2 6，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切，則此球的表面積是11如圖所示的幾何體qpabcd為一簡(jiǎn)單組合體，在底面abcd中，60dab，addc，abbc，平面qdabcd，paqd，1pa，2adabqd. （1）求證：平面平面pabqbc；（2）求該組合體qpabcd的體積 . 1（2018 新課標(biāo) i 文 ） 在長(zhǎng)方體1111abcdabc d中，2abbc，

4、1ac與平面11bbc c所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的體積為a8 b6 2c8 2d8 32 （ 2018 新課標(biāo) i 文 ）已知圓柱的上、下底面的中心分別為1o，2o，過(guò)直線12o o的平面截該圓柱所得的截面是面積為8 的正方形，則該圓柱的表面積為a122b12c8 2d103 （ 2018 年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm） ，則該幾何體的體積（單位：cm3）是側(cè)視圖俯視圖正視圖2211a2 b4 c 6 d 8 4 （ 2016 新課標(biāo)全國(guó) 文 ）體積為8 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為a12b323cd5 （ 2018 年高考新課標(biāo)卷文）設(shè)abcd，是同一

5、個(gè)半徑為4 的球的球面上四點(diǎn)，abc為等邊三角形且其面積為9 3，則三棱錐dabc 體積的最大值為a 12 3b 18 3c 24 3d 5436（ 2017 浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是a12b32c312d3327（ 2017 北京文）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為a60 b30 c 20 d 10 8 （ 2016 新課標(biāo)全國(guó) 文 ）如圖 ,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是283,則它的表面積是a17b18c20d 28 9 （ 2016 山東文）一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾

6、何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為a12+33b12+33c12+36d21+610（ 2016 四川文）已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為. 11（ 2016 浙江文）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm） ，則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.12（ 2017 山東文）由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)14圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為. 13 （2017 天津文）已知一個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為14 （2017 新課標(biāo)全國(guó) 文 ）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球o的球面上，則球o的表面積為.

7、 15 （2017 江蘇） 如圖， 在圓柱12o o內(nèi)有一個(gè)球o，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱12o o的體積為1v，球 o 的體積為2v，則12vv的值是. 16（ 2017 新課標(biāo)全國(guó) 文 ）已知三棱錐s- abc 的所有頂點(diǎn)都在球o 的球面上， sc 是球 o 的直徑若平面 sca平面 scb，sa=ac，sb=bc，三棱錐s- abc 的體積為9，則球 o 的表面積為17 （ 2018 天津卷文）如圖，已知正方體abcd a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐a1 bb1d1d 的體積為18 （2018 新課標(biāo) ii 文 ）已知圓錐的頂點(diǎn)為s，母線sa，sb互相垂直，sa與圓

8、錐底面所成角為30，若sab的面積為8，則該圓錐的體積為19（ 2017 新課標(biāo)全國(guó) 文 ）如圖，在四棱錐p- abcd 中， ab/cd ，且90bapcdp（1）證明：平面pab平面 pad；（2）若 pa=pd=ab=dc，90apd，且四棱錐p- abcd 的體積為83，求該四棱錐的側(cè)面積20 （2018 新課標(biāo) i 文 ）如圖，在平行四邊形abcm中，3abac，90acm，以ac為折痕將acm折起，使點(diǎn)m到達(dá)點(diǎn)d的位置，且abda（1）證明：平面acd平面abc；（2）q為線段ad上一點(diǎn)，p為線段bc上一點(diǎn)， 且23bpdqda，求三棱錐qabp的體積1【答案】 c 【解析】由三視

9、圖畫(huà)出幾何體如圖所示，上、下底面分別為邊長(zhǎng)是1、4 的正方形；左、后兩個(gè)側(cè)面是上底為 1，下底為4，高為 4 的直角梯形；前、右兩個(gè)側(cè)面是上底為1，下底為4，高為 5的梯形變式拓展其表面積為111 144144214526222s故選 c2 【答案】 a 【解析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為組合體，上部分是長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)分別為2 6 3， ，下部分為長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)分別為6 63， ，其表面積為46 326 6262 3192s.學(xué) . 故選 a. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了求組合體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體圖形，注意題目中的計(jì)算. 3 【答案】 d 【名師點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的

10、三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題. 三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力的最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“ 翻譯 ” 成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“ 高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等” ，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體的三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.4【解析】（1）如圖，連接1b m，因?yàn)榈酌鎍bc是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以ambc，且3am，因?yàn)?3bb，160cbb，1bm，所以2221132 1 3 cos607b m，所以17b m，又因?yàn)?10ab，所

11、以2221110ambmab，所以1ambm，又因?yàn)?b mbcm，所以am平面11bcc b. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面垂直的證明，幾何體體積的求法，熟練掌握線面關(guān)系的證明原理非常重要，屬于基礎(chǔ)題.（1）根據(jù)底面為正三角形，易得ambc；由各邊長(zhǎng)度，結(jié)合余弦定理，可求得1b m的值，再根據(jù)勾股定理逆定理可得1amb m，從而可證am平面11bcc b； （2）將斜棱柱的體積，轉(zhuǎn)化為棱錐的體積，結(jié)合三角形面積公式可求解. 5 【答案】 a 【解析】 由三視圖知： 幾何體是球體切去14后余下的部分， 球的半徑為2， 幾何體的表面積s= （114） 422+22=16 故答案為a.學(xué)【

12、名師點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查由三視圖找到幾何體原圖，考查幾何體的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象推理能力.(2)通過(guò)三視圖找?guī)缀误w原圖的方法有兩種：直接法和模型法. 6 【答案】 d 【解析】 因?yàn)?bcbd，2 3cd，所以222222 312cos,22 223cbdcbd，因此三角形bcd 的外接圓半徑為122 sincdcbd, 設(shè)外接球o的半徑為r，則32224256=2 +41216,= .233abrsr（）故選 d. 【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用

13、平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置， 弄清球的半徑(直徑 )與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程 (組)求解 .先確定三角形bcd 外接圓的半徑，再解方程得外接球半徑，最后根據(jù)球的體積公式得結(jié)果.7 【答案】 b 【解析】 由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體1111abcda bc d的四個(gè)頂點(diǎn)， 即為三棱錐11acbd，且長(zhǎng)方體1111abcdabc d的長(zhǎng)、寬、高分別為2, ,a b，【名師點(diǎn)睛】根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的表

14、面積后可求出最小值（1） 解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓面起襯托作用（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題1【答案】 a 【解析】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)是2223362 3，所以球的半徑是3，所以該球的表面積是24 312s，故選 a. 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)長(zhǎng)方體的外接球的表面積問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，首先要明確長(zhǎng)方體的外接球的球心應(yīng)在長(zhǎng)方體的中心處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，從而求得結(jié)果

15、. 2 【答案】 b 【解析】由題意可知該幾何體的形狀如圖：【名師點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，畫(huà)出幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可三視圖與幾何體的對(duì)應(yīng)關(guān)系的判斷是解題的關(guān)鍵3【答案】 b 【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以主視圖為底面的四棱柱，底面面積為12，底面周長(zhǎng)為16，棱柱的高為3，故柱體的表面積s=2 12+16 3=72. 4【答案】 a 【解析】用一平面去截球所得截面的面積為 ，所以小圓的半徑為1.已知球心到該截面的距離為2,所以球的半徑為，所以表面積為4?5=20.故選a. 5【答案】 b 【解析】根據(jù)棱柱的體積公式，可得城墻所需土方為20543

16、8555078033002（立方尺），一個(gè)考點(diǎn)沖關(guān)秋天工期所需人數(shù)為780330026011300，故選 b.6 【答案】 b 【解析】該圖形的表面積為圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一半，其面積分別為：圓柱側(cè)面積：16 742s，圓錐側(cè)面積：2221634152s，半個(gè)球面的面積：2314 3182s，所以表面積為75.故選 b. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查表面積的計(jì)算，通過(guò)三視圖確定表面積，注意熟練掌握面積公式，還原時(shí)注意部分面已經(jīng)不存在，不要多求面積.根據(jù)題意可知該圖形的表面積應(yīng)包含圓柱的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積、球的表面積一半，共三部分，分別根據(jù)相應(yīng)的面積公式即可求出結(jié)果. 7【答案】

17、 b 【解析】如圖所示，該幾何體為四棱錐pabcd，其中pa底面abcd，底面abcd是正方形，【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用幾何體的三視圖求其體積的問(wèn)題，解題的思路就是根據(jù)三視圖還原幾何體，利用其表面積公式求得對(duì)應(yīng)的高，之后借助于椎體的體積公式求得結(jié)果. 8【答案】(32)【解析】由題意知所得幾何體為一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，則表面積為22 122 1 1 12 3rlrhr9【答案】 4【解析】設(shè)倒圓錐形器皿中水面的高為h cm,則水面圓的半徑為htan30 =33h,則由 42 8= (33h)2 h,解得 h=4. 10 【答案】8 52 6 【名師點(diǎn)評(píng)】 球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本

18、題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑r來(lái)求出r，以球心的位置特點(diǎn)來(lái)抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的方法11【解析】（1）平面qdabcd，paqd，平面paabcd，又平面bcabcd，pabc，學(xué)又bcab，平面papab，平面abpab，paaba，平面bcpab，又平面bcqbc，平面平面pabqbc. 2 33bccd，12 332sin 30233bcds. 平面qdabcd，1132 323339qbcdbcdvsqd. 該組合體的體積11 39bpadqqbcdvvv. 1 【答案】c 【解析】在長(zhǎng)方體1111abcdabc d中，連接1bc，直通高考根據(jù)線面角的

19、定義可知130ac b，因?yàn)?ab，所以12 3bc，從而求得12 2cc，所以該長(zhǎng)方體的體積為222 28 2v，故選 c. 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)、寬、高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果. 2 【答案】 b 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時(shí)候，一定要注意是兩個(gè)底面圓與側(cè)面積的和.3 【答案

20、】 c 【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上、下底分別為1，2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為112226,2選 c. 【名師點(diǎn)睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等. 4 【答案】 a 【解析】因?yàn)檎襟w的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2，所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2 3，所以正方體的外接球的半徑為3，所以該球的表面積為24(3)12，故選 a. 5 【答案】 b 【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)m 為三角形abc 的重心， e 為 ac 中點(diǎn)，【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)

21、點(diǎn)d在平面abc上的射影為三角形abc 的重心時(shí)，三棱錐dabc體積最大很關(guān)鍵，由 m 為三角形abc 的重心，計(jì)算得到22 33bmbe，再由勾股定理得到om，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型. 6【答案】 a 【解析】根據(jù)所給三視圖可還原幾何體為半個(gè)圓錐和半個(gè)棱錐拼接而成的組合體，所以，幾何體的體積為21113 (2 1)13222v，選 a學(xué)【名師點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“ 長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等 ” 的基本原則， 其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬由三視圖畫(huà)出

22、直觀圖的步驟和思考方法： （ 1）首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；（ 2）觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；（3）畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整7【答案】 d 【解析】該幾何體是如下圖所示的三棱錐pabc. 由圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積是115341032v，故選 d. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間想象能力，由三視圖還原幾何體的方法: 如果我們死記硬背，不會(huì)具體問(wèn)題具體分析，就會(huì)選錯(cuò)，實(shí)際上，這個(gè)題的俯視圖不是幾何體的底面，因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面的射影落在了底面三角形的外面，否則中間的那條線就不會(huì)是虛線. 8 【答案】 a 9 【答案】 c 【解析】由已知及三視圖可得

23、，半球的直徑為2，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，高為 1，所以其體積為31142121 1 ()323236，選 c. 10【答案】33【解析】由三視圖可知該幾何體的底面積為12 3 132s，高為1，所以該幾何體的體積為11331333vsh. 11【答案】 80， 40 【解析】由三視圖可知該組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面放置了一個(gè)小正方體，則222262244242 280(cm )表面積s，33244240(cm )v12【答案】22【解析】由三視圖可知,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1,圓柱的高為1,底面圓的半徑為1,所以2 12 1 121242v.學(xué)【名師點(diǎn)睛】(1)由實(shí)物圖畫(huà)三視圖或判斷、

24、選擇三視圖,此時(shí)需要注意“ 長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等” 的原則. (2)由三視圖還原實(shí)物圖,解題時(shí)首先對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉,復(fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單的幾何體組合而成的；其次,要遵循以下三步：看視圖,明關(guān)系；分部分,想整體；綜合起來(lái),定整體13 【答案】92【名師點(diǎn)睛】求多面體的外接球的表面積或體積的問(wèn)題常用的方法有：三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；如果多面體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線

25、的交點(diǎn)即球心14 【答案】14【解析】球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以222232114,414 .rsr【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置， 弄清球的半徑(直徑 )與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程 (組)求解 . 15【答案】32【解析】設(shè)球半徑為r，則213223423vrrvr故答案為32【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公

26、式進(jìn)行求解；若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解16 【答案】36【名師點(diǎn)睛】本題考查了球與幾何體的問(wèn)題，是高考中的重點(diǎn)問(wèn)題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的各頂點(diǎn)的距離相等，然后用同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用