2022年六年級奧數(shù)-數(shù)論綜合(二)教師版

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)目標(biāo)：數(shù)論綜合（二）1、 把握質(zhì)數(shù)合數(shù)、完全平方數(shù)、位值原理、進制問題的常見題型；2、 重點懂得和把握余數(shù)部分的相關(guān)問題，懂得“將不熟識轉(zhuǎn)化成熟識”的數(shù)學(xué)思想例題精講：板塊一質(zhì)數(shù)合數(shù)【例 1】 有三張卡片，它們上面各寫著數(shù)字 1， 2，3，從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列出來， 可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來 【解析】 抽一張卡片，可寫出一位數(shù) 1， 2，3；抽兩張卡片，可寫出兩位數(shù) 12， 13，21， 23， 31， 32；抽三張卡片，可寫出三位數(shù) 123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位數(shù)的數(shù)字和均為

2、6，都能被 3 整除，所以都是合數(shù)這些數(shù)中，是質(zhì)數(shù)的有： 2，3， 13，23， 31【例 2】 三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11 倍，求這三個質(zhì)數(shù) 【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是a 、 b 、 c ，滿意abc11 abc ，就可知 a 、 b 、 c 中必有一個為11，不妨記為 a ，那么 bc11bc ，整理得 b1 c1 12，又 121 122634 ，對應(yīng)的 b2 、c13或 b3 、 c7 或 b4 、 c5 舍去 ，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2， 11， 13 或 3， 7，11【例 3】 用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 這 9 個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，假如每個數(shù)字都要用到并且只能

3、用一次，那么這 9 個數(shù)字最多能組成多少個質(zhì)數(shù)？【解析】 要使質(zhì)數(shù)個數(shù)最多，我們盡量組成一位的質(zhì)數(shù)，有2、3、5、7 均為一位質(zhì)數(shù)，這樣仍剩下1、4、6、8、9 這 5 個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)字未用有1、4、8、 9 可以組成質(zhì)數(shù) 41、89，而 6 可以與 7 組合成質(zhì)數(shù)67所以這 9 個數(shù)字最多可以組成6 個質(zhì)數(shù)【例 4】 有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù)求這兩個整數(shù)分別是多少？【解析】兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如33132231330

4、1617 ，共有 16 種形式， 假如把每個數(shù)都這樣分解，再相乘， 看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，明顯太繁瑣了 可以從乘積入手，由于三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數(shù)都是111 的倍數(shù)，而 111373，因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37 或 37 的倍數(shù)，但只能是37 的 2 倍 想想為什么？ 3 倍就不是兩位數(shù)了把 九 個 三 位 數(shù) 分 解 ： 111373 、 222376743 、 333379 、 4443712746 、5553715 、 6663718749

5、 、 7773721、 88837247412、 9993727 把兩個因數(shù)相加，只有 743 77 和 3718 55 的兩位數(shù)字相同所以滿意題意的答案是74和 3， 37 和 18 板塊二余數(shù)問題【例 5】 2003年全國學(xué)校數(shù)學(xué)奧林匹克試題 有兩個自然數(shù)相除，商是 17 ，余數(shù)是 13，已知被除數(shù)、 除數(shù)、商與余數(shù)之和為 2113，就被除數(shù)是多少？【解析】 被除數(shù)除數(shù)商 余數(shù)被除數(shù)除數(shù) + 17+ 13= 2113，所以被除數(shù)除數(shù) = 2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的 17 倍仍多13 ，就由“和倍問題”可得：除數(shù)= 2083- 13 ÷ 17+ 1 = 115，所以被除數(shù)= 20

6、83- 115= 1968 【例 6】 已知 2021 被一些自然數(shù)去除，所得的余數(shù)都是10，那么這樣的自然數(shù)共有多少個？【解析】 此題為一道余數(shù)與約數(shù)個數(shù)運算公式的小綜合性題目由題意所求的自然數(shù)肯定是2021- 10 即 1998的約數(shù)，同時仍要滿意大于10 這個條件這樣題目就轉(zhuǎn)化為1998 有多少個大于10 的約數(shù)，199823337 ，共有 1+ 1 × 3+ 1 × 1+ 1 = 16 個約數(shù)，其中 1，2，3，6，9 是比 10 小的約數(shù)，所以符合題目條件的自然數(shù)共有11 個【例 7】 有一個整數(shù)，除 39， 51， 147 所得的余數(shù)都是 3，求這個數(shù) 【解析】

7、 法 139336 ，1473144， 36,14412，12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 ，由于余數(shù)為 3 要小于除數(shù)，這個數(shù)是4,6,12 ； 法 2 由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)肯定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)513912， 14739108 ， 12,10812 ，所以這個數(shù)是 4,6,12 【例 8】 20xx 年全國學(xué)校數(shù)學(xué)奧林匹克試題 有一個整數(shù)，用它去除70， 110， 160 所得到的 3 個余數(shù)之和是 50，那么這個整數(shù)是【解析】 7011016050290 ， 50316.2，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是 290 的大于 17 小于 70 的約數(shù)

8、，只可能是29 和 58， 110581.52， 5250 ，所以除數(shù)不是 5870292.12， 110293.23， 160295.15， 12231550 ，所以除數(shù)是 29【鞏固】 20xx 年全國學(xué)校數(shù)學(xué)奧林匹克試題 用自然數(shù) n 去除 63，91，129 得到的三個余數(shù)之和為25，那么 n=【解析】 n 能整除 639112925258由于 2538.1，所以 n 是 258 大于 8 的約數(shù)明顯， n 不能大于 63符合條件的只有 43【例 9】 一個大于 10 的自然數(shù)去除 90、164 后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除 220 后所得的余數(shù)， 就這個自然數(shù)是多少？【解析

9、】 這個自然數(shù)去除 90、164 后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除 90 164 254 后所得的余數(shù)， 所以 254 和 220 除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是 254 220 34 的約數(shù)，又大于 10，這個自然數(shù)只能是 17 或者是 34假如這個數(shù)是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余數(shù)分別是 22、28、16，不符合題目條件； 假如這個數(shù)是 17，那么他去除 90、164、220 后所得的余數(shù)分別是 5、11、16，符合題目條件，所以這個自然數(shù)是 17【例 10】 甲、乙、丙三數(shù)分別為 603，939，393某數(shù) a 除甲數(shù)所得余數(shù)是 a 除乙數(shù)

10、所得余數(shù)的 2 倍， a 除乙數(shù)所得余數(shù)是 a 除丙數(shù)所得余數(shù)的 2 倍求 a 等于多少？【解析】 依據(jù)題意，這三個數(shù)除以a 都有余數(shù)，就可以用帶余除法的形式將它們表示出來：603ak1r1939ak 2r2393ak 3r3由于 r12r2 ， r22r3 ，要消去余數(shù)r1 ，r2 ，r3 ，我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把其次個式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴大2 倍，同理，第三個式子乘以4 于是我們可以得到下面的式子：603ak1r19392a2 k 22r23934a2k 34r3這樣余數(shù)就處理成相同的最終兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被a 整除 93926031275

11、 ， 3934603969， 1275,96951317 51 的約數(shù)有 1、3、17、51，其中 1、3 明顯不滿意，檢驗17 和 51 可知 17 滿意，所以a 等于 1723456【例 11】 20xx 年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營試題2與 2003 的和除以 7 的余數(shù)是20032【解析】 找規(guī)律用 7 除 2，2 ， 2 ，2 ， 2 ， 2 ， 的余數(shù)分別是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1， ， 2的個數(shù)是 3 的倍數(shù)時，用7 除的余數(shù)為 1； 2 的個數(shù)是 3 的倍數(shù)多 1 時，用 7 除的余數(shù)為 2； 2 的個2數(shù)是 3 的倍數(shù)多 2 時，用 7 除的余數(shù)為 4由

12、于20033 667 22，所以2003274除以余 又兩個數(shù)的積2除以 7 的余數(shù)，與兩個數(shù)分別除以 7 所得余數(shù)的積相同 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 除以 7 余 1故200322與 2003 的和除以 7 的余數(shù)是 415【鞏固】 2 202120212 除以 7 的余數(shù)是多少？32【解析】 28除以 7 的余數(shù)為 1， 202136691 ，所以2202123 669123 6692 ，其除以 7 的余數(shù)為：16692021222 ； 2021 除以 7 的余數(shù)為6，就2021 除以 7 的余數(shù)為： 213 222021 除以 7 的余數(shù)等于6 除以 7 的余數(shù)，為

13、 1；所以【例 12】 20xx 年走美初賽六年級 有一串?dāng)?shù)： 1， 1，2， 3， 5，8，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前兩個數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前2021 個數(shù)中，有幾個是5 的倍數(shù)？【解析】 由于兩個數(shù)的和除以5 的余數(shù)等于這兩個數(shù)除以5 的余數(shù)之和再除以5 的余數(shù)所以這串?dāng)?shù)除以5 的余數(shù)分別為： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0， 可以發(fā)覺這串余數(shù)中，每20 個數(shù)為一個循環(huán)，且一個循環(huán)中，每5 個數(shù)中第五個數(shù)是5 的倍數(shù)由于 202154014 ，所以前 2021 個數(shù)中，有 401

14、個是 5 的倍數(shù)【鞏固】聞名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、 3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2021 個數(shù)除以 3所得的余數(shù)為多少？【解析】 斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)章是從第三個數(shù)起每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可以依據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3 除所得余數(shù)的數(shù)列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項和第十項連續(xù)兩個是1，與第一項和其次項的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3 除的余數(shù)每 8 個一個周期循環(huán)顯現(xiàn)，由于2021 除以 8 的余數(shù)為 0，所以第 2021 項被 3 除所得的余數(shù)為第 8 項被 3 除所得的余數(shù)，為0【例 13】 1997 年全國學(xué)

15、校數(shù)學(xué)奧林匹克試題 將 12345678910111213.依.1997 位數(shù)，那么此數(shù)除以9 的余數(shù)是【解析】 此題第一步是要求出第1997 個數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和次寫到第 1997 個數(shù)字，組成一個19 共有 9 個數(shù)字， 1099 共有 90 個兩位數(shù)，共有數(shù)字： 90 2 180 個 ， 100999共 900 個三位數(shù)，共有數(shù)字： 900 3 2700 個 ，所以數(shù)連續(xù)寫，不會寫到 999，從 100 開頭是 3 位數(shù)，每三個數(shù)字表示一個數(shù)， 1997 9 180 3 602.2 ，即有 602 個三位數(shù)，第 603 個三位數(shù)只寫了它的百位和十位從 100 開頭的第 602 個三

16、位數(shù)是 701，第 603 個三位數(shù)是 9，其中 2 未寫出來由于連續(xù) 9 個自然數(shù)之和能被 9 整除，所以排列起來的 9 個自然數(shù)也能被 9 整除， 702 個數(shù)能分成的組數(shù)是：702 9 78 組 ，依次排列后， 它仍舊能被 9 整除，但 702 中 2 未寫出來， 所以余數(shù)為 9-2 7 【例 14】 有 2 個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10，其次個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8，求兩個三位數(shù)的和 【解析】 此題條件僅給出了兩個乘數(shù)的數(shù)字之和，同時發(fā)覺乘積的一部分已經(jīng)給出，即乘積的一部分?jǐn)?shù)字之和已經(jīng)給出，我們可以采納棄九法原理的倒推來構(gòu)造出原三位

17、數(shù)由于這是一個肯定正確的算式，所以肯定可以滿意棄九法的條件，兩個三位數(shù)除以9 的余數(shù)分別為 1 和 8，所以等式一邊除以9 的余數(shù)為 8，那么 1031 除以 9 的余數(shù)也必需為 8，只能是 3將 31031 分解質(zhì)因數(shù)發(fā)覺僅有一種情形可以滿意是兩個三位數(shù)的乘積，即 3103131 1001143217所以兩個三位數(shù)是143 和 217，那么兩個三位數(shù)的和是360【例 15】 設(shè) 20212021 的各位數(shù)字之和為a ， a 的各位數(shù)字之和為b ， b 的各位數(shù)字之和為c ， c 的各位數(shù)字之和為 d ，那么 d？【解析】 由于一個數(shù)除以 9 的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9 的余數(shù)相同， 所以

18、20212021與 a 、b 、c 、d除2021以 9 都同余，而 2021 除以 9 的余數(shù)為 2，就 2021除以 9 的余數(shù)與202162除以 9 的余數(shù)相同， 而 264除以 9 的余數(shù)為 1，所以20216 334 56334552222 除以 9 的余數(shù)為 2 除以 9 的余數(shù)，即為5另一方面，由于20212021202110000803610，所以20212021的位數(shù)不超過 8036 位，那么它的各位數(shù)字之和不超過 9803672324，即 a72324；那么 a 的各位數(shù)字之和 b9545 ， b 的各位數(shù)字之和 c9218，c 小于 18 且除以 9 的余數(shù)為 5，那么

19、c 為 5 或 14，c 的各位數(shù)字之和為5，即 d5 板塊三完全平方數(shù)【例 16】 從 1 到 2021 的全部自然數(shù)中，乘以72 后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？【解析】 完全平方數(shù)，其全部質(zhì)因數(shù)必定成對顯現(xiàn)32而 7223266 ，所以滿意條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的2 倍，222由于 2313119222021232322048，所以所求的滿意條件的數(shù)共有31 個21 、 22 、 231 都滿意題意，即2222【例 17】 一個數(shù)減去 100 是一個平方數(shù)，減去63 也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？2【解析】 設(shè)這個數(shù)減去 63 為a ，減去 100為 b ，就 ababab10063

20、37371 ，可知 ab37 ，且 ab1 ，所以 a19 ， b18 ，這樣這個數(shù)為 18100424 【鞏固】能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去 30 所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？【解析】 假設(shè)能找到，設(shè)這兩個完全平方數(shù)分別為22a 、 b ，那么這兩個完全平方數(shù)的差為54abab ，由于 ab 和 ab的奇偶性質(zhì)相同，所以abab不是 4 的倍數(shù)， 就是奇數(shù)，不行能是像54 這樣是偶數(shù)但不是4 的倍數(shù)所以 54 不行能等于兩個平方數(shù)的差，那么題中所說的數(shù)是找不到的【例 18】 有 5 個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，就這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為【解析】 考查

21、平方數(shù)和立方數(shù)的學(xué)問點，同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時候有技巧：一般是設(shè)中間的數(shù)，這樣前后的數(shù)關(guān)于中間的數(shù)是對稱的222設(shè)中間數(shù)是 x，就它們的和為 5x ， 中間三數(shù)的和為 3x 5x 是平方數(shù)，設(shè) 5 x5a ，就 x5a ，22223x15a35a 是立方數(shù)，所以a至少含有 3 和 5 的質(zhì)因數(shù)各 2 個， 即 a 至少是 225，中間的數(shù)至少是 1125，那么這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為1123板塊四位值原理【例 19】 美國學(xué)校數(shù)學(xué)奧林匹克 把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換，得到一個新的兩位數(shù) 假如原先的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是45，試求這樣的兩位數(shù)中

22、最大的是多少？【解析】 設(shè)原先的兩位數(shù)為 ab ，交換后的新的兩位數(shù)為ba ，依據(jù)題意，abba10ab10ba9ab45 ，ab5 ，原兩位數(shù)最大時， 十位數(shù)字至多為 9，即 a9 ，b4 ，原先的兩位數(shù)中最大的是94【鞏固】將一個四位數(shù)的數(shù)字次序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù) 這個數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù) ，新數(shù)比原數(shù)大 8802求原先的四位數(shù)【解析】 設(shè)原數(shù)為 abcd ，就新數(shù)為 dcba，dcbaabcd1000d100c10ba1000a100b10cd999 da90 cb 依據(jù)題意，有 999 da90 cb8802 ， 111da10cb97888890 推知 da8 ， cb9 ，

23、得到 d9 ， a1， c9 ， b0 ，原數(shù)為 1099【例 20】 第五屆期望杯培訓(xùn)試題 有 3 個不同的數(shù)字，用它們組成6 個不同的三位數(shù)，假如這6 個三位數(shù)的和是 1554，那么這 3 個數(shù)字分別是多少？【解析】 設(shè)這六個不同的三位數(shù)為abc ,acb, bac,bca, cab, cba ，由于 abc100 a10bc，acb100a10cb ，它們的和是：222abc1554 ，所以abc15542227，由于這三個數(shù)字互不相同且均不為0，所以這三個數(shù)中較小的兩個數(shù)至少為 1， 2，而 7124 ，所以最大的數(shù)最大為4；又 12367 ，所以最大的數(shù)大于3，所以最大的數(shù)為 4，其

24、他兩數(shù)分別是1， 2【鞏固】 迎春杯決賽 有三個數(shù)字能組成6 個不同的三位數(shù)，這6 個三位數(shù)的和是 2886，求全部這樣的 6 個三位數(shù)中最小的三位數(shù)【解析】 設(shè)三個數(shù)字分別為 a、 b、c，那么 6 個不同的三位數(shù)的和為：abcacbbacbcacabcba2abc1002 abc102abc222 abc所以 abc288622213，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位數(shù)與個位數(shù)之和肯定，故個位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為9，此時十位數(shù)為 13193 ，所以全部這樣的 6 個三位數(shù)中最小的三位數(shù)為139【鞏固】a， b， c 分別是 09 中不同的數(shù)碼，用a， b，c 共可

25、組成六個三位數(shù)，假如其中五個三位數(shù)之和是2234 ，那么另一個三位數(shù)是幾？【解析】 由 a ， b ， c 組成的六個數(shù)的和是222abc由于 2234222 10 ，所以a bc10 如abc11，就所求數(shù)為222112234208 ，但 2081011，不合題意如abc12，就所求數(shù)為222122234430 ，但 430712 ，不合題意如 abc如 abc如 abc13，就所求數(shù)為 222 132234652， 65213 ，符合題意14，就所求數(shù)為 222 142234874，但 8741914 ，不合題意15，就所求數(shù)222 1522341096，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意所以，只

26、有abc13時符合題意，所求的三位數(shù)為652板塊五進制問題【例 21】 在幾進制中有 4 13100？【解析】 利用尾數(shù)分析來解決這個問題：由于 4103101210 ，由于式中為 100，尾數(shù)為 0，也就是說已經(jīng)將12 全部進到上一位所以說進位制n 為 12 的約數(shù)，也就是 12，6， 4， 3，2 中的一個 但是式子中顯現(xiàn)了4，所以 n 要比 4 大，不行能是4， 3，2 進制另外，由于41013105210 ，由于 52100，也就是說不到 10 就已經(jīng)進位，才能是100，于是知道 n10 ，那么 n 不能是 12所以， n 只能是 6【鞏固】算式是幾進制數(shù)的乘

27、法？【解析】 注 意到尾數(shù)，在足夠大的進位制中有乘積的個位數(shù)字為4520 ，但是現(xiàn)在為4 ，說明進走20416，所以進位制為 16 的約數(shù)，可能為 16、8、4 或 2由于原式中有數(shù)字5，所以不行能為4、2 進位，而在十進制中有1534253835043214，所以在原式中不到 10 就有進位，即進位制小于10，于是原式為8 進制【例 22】 在 6 進制中有三位數(shù) abc ，化為 9 進制為 cba ，求這個三位數(shù)在十進制中為多少？【解析】 abc 6 =a × 62 b × 6+c= 36a+ 6b+c ； cba 9=c × 92+b × 9+a=

28、 81c+ 9b+a ； 所 以36a+ 6b+c= 81c+ 9b+a ；于是 35a= 3b+ 80c ；由于 35a 是 5 的倍數(shù)， 80c 也是 5 的倍數(shù)所以 3b 也必需是 5 的倍數(shù)，又 3， 5 = 1所以， b= 0 或 5當(dāng) b= 0，就 35a= 80c；就 7a= 16c ； 7， 16 = 1，并且 a、c 0，所以 a= 16， c= 7但是在 6， 9進制，不行以有一個數(shù)字為16當(dāng) b= 5，就 35a= 3×5+ 80c；就 7a= 3+ 16c ；mod 7 后，3+ 2c0所以 c= 2 或者 2+ 7k k 為整數(shù) 由于有 6 進制，所以不行能

29、有 9 或者 9 以上的數(shù)，于是 c= 2；35a= 15+ 80×2，a= 5所以 abc 6 = 552 6= 5×62+ 5×6+ 2= 212這個三位數(shù)在十進制中為 212課后練習(xí)：練習(xí) 1 三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7 倍，求這三個質(zhì)數(shù)【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是a 、 b 、 c ，滿意abc7 abc，就可知 a 、 b 、 c 中必有一個為7，不妨記為 a ，那么 bc7bc，整理得 b1c18 ，又 81 824 ，對應(yīng)的 b2、 c9 舍去 或b3、 c5，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是3， 5，7練習(xí) 2 有一個大于 1 的整數(shù)，除 45,59,1

30、01 所得的余數(shù)相同，求這個數(shù)【解析】 這個題沒有告知我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，依據(jù)同余定理，我們可以得到：這個數(shù)肯定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù) 1014556 ，594514 ，56,1414 ，14的約數(shù)有 1,2,7,14 ，所以這個數(shù)可能為 2,7,14 練習(xí) 3 將1至2021這2021個 自 然 數(shù) ， 按 從 小 到 大 的 次 序 依 次 寫 出 ， 得 一 個 多 位 數(shù) ：1234567891011121320072021，試求這個多位數(shù)除以9 的余數(shù)【解析】 以 19992000 這個八位數(shù)為例，它被9 除的余數(shù)等于19992000 被 9 除的余數(shù)，但是由于 1999 與 1999 被 9 除的余數(shù)相同， 2000 與 2000 被 9 除的余數(shù)相同， 所以 19992000就與 19992000被 9 除的余數(shù)相同由此可得， 從 1 開頭的自然數(shù) 1234567891011121320072021 被 9 除的余數(shù)與前 2021 個自然數(shù)之和除以 9 的余數(shù)相同依據(jù)等差數(shù)列求和公式，這個和為：12021202122021036 ，它被 9 除的余數(shù)為 1另外仍可以利用連續(xù)9