2022年八年級(jí)因式分解難題2

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載20xx年 05 月 21 日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2一填空題（共10 小題）1已知 x+y=10，xy=16，則 x2y+xy2的值為2兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成 2（x1） （x9） ；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x2） （x4） ，請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)：3若多項(xiàng)式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，則m 的值是4分解因式： 4x24x3=5利用因式分解計(jì)算： 2022+202196+982=6abc三邊 a，b，c 滿(mǎn)足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，則 abc的形狀是7計(jì)算： 1222+324

2、2+5262+ 1002+1012=8定義運(yùn)算 ab=（1a）b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2（ 2）=3ab=ba若 a+b=0，則（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，則 a=1或 b=0其中正確結(jié)論的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)） 9如果 1+a+a2+a3=0，代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多項(xiàng)式 x26xb 可化為（ x+a）21，則 b 的值是二解答題（共20 小題）11已知 n 為整數(shù)，試說(shuō)明（ n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除12因式分解： 4x2y4xy+y13因式分解（1）a3ab2精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

3、f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2） （xy）2+4xy14先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3問(wèn)題：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知abc的三邊長(zhǎng) a，b，c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b26a6b+18+| 3c| =0，請(qǐng)問(wèn) abc是怎樣形狀的三角形？15 如果一

4、個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為 “ 和諧數(shù)” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（1）36 和 2016 這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k（其中 k 取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是 4 的倍數(shù)嗎？為什么？（3）介于 1 到 200 之間的所有 “ 和諧數(shù) ” 之和為16如圖 1，有若干張邊長(zhǎng)為 a 的小正方形、長(zhǎng)為b 寬為 a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為 b 的大正方形的紙片精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)

5、，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）如果現(xiàn)有小正方形 1 張，大正方形 2 張，長(zhǎng)方形 3 張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖 2 虛線(xiàn)框中畫(huà)出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系， 將多項(xiàng)式 a2+3ab+2b2分解因式（2） 已知小正方形與大正方形的面積之和為169，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各 8 張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形17 （1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1 所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，

6、如圖2用兩種不同的方法，計(jì)算圖2 中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3 所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫(huà)出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫(huà)出你的拼圖18已知 a+b=1，ab=1，設(shè) s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn（1）計(jì)算 s2；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算 s3的過(guò)程：因?yàn)?a+b=1，ab=1，所

7、以 s3=a3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s2（ 1）=s2+1=你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中 s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4（3）試寫(xiě)出 sn2，sn1，sn三者之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)（ 3）得出的結(jié)論，計(jì)算s619 （1）利用因式分解簡(jiǎn)算： 9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式： 4a（a1）2（1a）20閱讀材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根據(jù)你的

8、觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（2）已知 abc的三邊長(zhǎng) a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b26a8b+25=0，求abc的最大邊 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，則 ab+c=21仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x24x+m 有一個(gè)因式是（ x+3） ，求另一個(gè)因式以及m的值解：設(shè)另一個(gè)因式為 （x+n） ， 得 x24x+m= （x+3）（x+n） ， 則 x24x+m=x2+ （n+3）x+3n精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，

9、共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載n+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一個(gè)因式為（ x7） ，m 的值為 21問(wèn)題：（1）若二次三項(xiàng)式 x25x+6 可分解為（ x2） （x+a） ，則 a=；（2）若二次三項(xiàng)式 2x2+bx5 可分解為（ 2x1） （x+5） ，則 b=；（3）仿照以上方法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5xk 有一個(gè)因式是（2x3） ，求另一個(gè)因式以及k 的值22分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）223已知 a，b，c 是三角形的三邊，且滿(mǎn)足（a+b+c）2=

10、3（a2+b2+c2） ，試確定三角形的形狀24分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab225圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為 2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、 （mn）2、mn 之間的等量關(guān)系是（3）若 x+y=7，xy=10，則（ xy）2=（4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示如圖，它表示了精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)

11、習(xí)必備歡迎下載（5）試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形， 使它的面積能表示 （m+n） （m+3n）=m2+4mn+3n226已知 a、b、c 滿(mǎn)足 ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值27已知：一個(gè)長(zhǎng) 方體 的長(zhǎng) 、寬 、 高分別 為正 整數(shù) a、 b、c，且滿(mǎn)足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積28 （x24x）22（x24x）1529閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x） 1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次（2） 若分解 1+x+x （x

12、+1） +x （x+1）2+ +x （x+1）2004， 則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ +x（x+1）n（n 為正整數(shù)）30對(duì)于多項(xiàng)式 x35x2+x+10，如果我們把 x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x35x2+x+10=0，這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式（x2） （注：把 x=a 代入多項(xiàng)式能使多項(xiàng)式的值為0，則多項(xiàng)式含有因式（ xa） ） ，于是我們可以把多項(xiàng)式寫(xiě)成： x35x2+x+10=（x2） （x2+mx+n） ，（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式x32x213x精品學(xué)習(xí)資料 可選

13、擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載10 的因式精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載20xx年 05 月 21 日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2參考答案與試題解析一填空題（共10 小題）1 （2016 秋?望謨縣期末）已知x+y=10，xy=16，則 x2y+xy2的值為160【分析】 首先提取公因式 xy，進(jìn)而將已知代入求出即可【解答】 解： x+y=10，xy=1

14、6，x2y+xy2=xy（x+y）=1016=160故答案為： 160【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了提取公因式法分解因式， 正確找出公因式是解題關(guān)鍵2 （2016 秋?新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x1） （x9） ；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成 2（x2） （x4） ，請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)：2（x3）2【分析】 根據(jù)多項(xiàng)式的乘法將2（x1） （x9）展開(kāi)得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；將 2（x2） （x4）展開(kāi)得到二次項(xiàng)、一次項(xiàng)從而得到原多項(xiàng)式，再對(duì)該多項(xiàng)式提取公因式2 后利用完全平方公式分解因式【解答】 解： 2（x1） （x9）=

15、2x220 x+18；2（x2） （x4）=2x212x+16；原多項(xiàng)式為 2x212x+182x212x+18=2（x26x+9）=2（x3）2【點(diǎn)評(píng)】 根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題的關(guān)鍵二次三項(xiàng)式分解因式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次項(xiàng)正確精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載3 （2015 春?昌邑市期末）若多項(xiàng)式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，則m 的值是4【分析】 利用完全平方公式（ a+b）2=（ab）

16、2+4ab、 （ab）2=（a+b）24ab計(jì)算即可【解答】 解： x2+mx+4=（x2）2，即 x2+mx+4=x24x+4，m=4故答案為： 4【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式是解題關(guān)鍵4 （2015 秋?利川市期末）分解因式：4x24x3=（2x3） （2x+1）【分析】 ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù) a 分解成兩個(gè)因數(shù) a1，a2的積 a1?a2，把常數(shù)項(xiàng) c 分解成兩個(gè)因數(shù) c1，c2的積 c1?c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng) b，那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果： ax2+bx+c=（a1x+c1）

17、（a2x+c2） ，進(jìn)而得出答案【解答】 解：4x24x3=（2x3） （2x+1） 故答案為：（2x3） （2x+1） 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了十字相乘法分解因式， 正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵5 （2015 春?東陽(yáng)市期末）利用因式分解計(jì)算： 2022+202196+982=90000【分析】 通過(guò)觀察，顯然符合完全平方公式【解答】 解：原式 =2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載=90000【點(diǎn)評(píng)】

18、運(yùn)用公式法可以簡(jiǎn)便計(jì)算一些式子的值6 （2015 秋?浮梁縣校級(jí)期末） abc三邊 a，b，c 滿(mǎn)足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，則abc的形狀是等邊三角形【分析】 分析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以2，再化簡(jiǎn)得（ ab）2+（ac）2+（bc）2=0，得出： a=b=c，即選出答案【解答】 解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等號(hào)兩邊均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即 a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0，即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，解得： a=b=c，所以， abc是等邊三角形故答案為：等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】

19、 此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡(jiǎn)式子得a=b=c，由三邊相等判定 abc是等邊三角形7 （2015 秋?鄂托克旗校級(jí)期末）計(jì)算： 1222+3242+5262+ 1002+1012=5151【分析】 通過(guò)觀察，原式變?yōu)?+（3222）+（5242）+（10121002） ，進(jìn)一步運(yùn)用高斯求和公式即可解決【解答】 解：1222+3242+5262+ 1002+1012=1+（3222）+（5242）+（10121002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+ +（101+100）=（1+101）1012=5151精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

20、 - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載故答案為： 5151【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用， 分組分解，利用平方差公式解決問(wèn)題8 （2015 秋?樂(lè)至縣期末）定義運(yùn)算ab=（1a）b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2（ 2）=3ab=ba若 a+b=0，則（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，則 a=1或 b=0其中正確結(jié)論的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)） 【分析】 根據(jù)題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷【解答】 解： 2（2）=（12）（ 2）=2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故

21、 ab 不一定等于 ba，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若 a+b=0，則（ aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本選項(xiàng)正確；若 ab=0，即（1a）b=0，則 a=1或 b=0，本選項(xiàng)正確，其中正確的有故答案為【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算， 以及有理數(shù)的混合運(yùn)算， 弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵9（2015 春?張掖校級(jí)期末）如果 1+a+a2+a3=0， 代數(shù)式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0【分析】 4 項(xiàng)為一組，分成 2 組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可【解答】 解： 1+a+a2+a3=0，a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a

22、8，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3） ，=0+0，=0故答案是： 0【點(diǎn)評(píng)】 此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問(wèn)題10 （2015 春?昆山市期末）若多項(xiàng)式x26xb 可化為（ x+a）21，則 b 的值是8【分析】 利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可【解答】 解： x26xb=（x3）29b=（x+a）21，a=3，9b=1，解得： a=3，b=8故答案為： 8【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了配方

23、法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵二解答題（共20 小題）11已知 n 為整數(shù)，試說(shuō)明（ n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除【分析】 用平方差公式展開(kāi)（ n+7）2（n3）2，看因式中有沒(méi)有20 即可【解答】 解： （n+7）2（n3）2=（n+7+n3） （n+7n+3）=20（n+2） ，（n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除【點(diǎn)評(píng)】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2b2=（a+b） （ab） 12 （2016 秋?農(nóng)安縣校級(jí)期末）因式分解：4x2y4xy+y【分析】 先提取公因式 y，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解【解答】 解：4x2y4xy+y=y

24、（4x24x+1）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載=y（2x1）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止13 （2015 秋?成都校級(jí)期末）因式分解（1）a3ab2（2） （xy）2+4xy【分析】 （1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （1）原式 =a（a2b2）=a（a+b） （ab） ；

25、（2）原式 =x22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵14 （2015 春?甘肅校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解： m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3問(wèn)題：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值（2）已知abc的三邊長(zhǎng) a，b，c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b26a6b+18+| 3c| =0，請(qǐng)問(wèn) abc是怎樣

26、形狀的三角形？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【分析】 （1）首先把x2+2y22xy+4y+4=0，配方得到（ xy）2+（y+2）2=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=2，代入求得數(shù)值即可；（2）先把 a2+b26a6b+18+| 3c| =0，配方得到（ a3）2+（b3）2+| 3c| =0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3 ，得出三角形的形狀即可【解答】 解： （1）x2+2y22xy+4y+4=0 x2+y22xy+y2+4y+4=0，（xy）2+

27、（y+2）2=0 x=y=2；（2）a2+b26a6b+18+| 3c| =0，a26a+9+b26b+9+| 3c| =0，（a3）2+（b3）2+| 3c| =0a=b=c=3三角形 abc是等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用： 通過(guò)配方， 把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問(wèn)題15 （2015 秋?太和縣期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為 “ 和諧數(shù) ” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（1）36 和 2016 這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎

28、？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k（其中 k 取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是 4 的倍數(shù)嗎？為什么？（3）介于 1 到 200 之間的所有 “ 和諧數(shù) ” 之和為2500【分析】 （1）利用 36=10282；2016=50525032說(shuō)明 36 是“ 和諧數(shù)” ，2016精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載不是“ 和諧數(shù) ” ；（2） 設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2 （n 為自然數(shù)） ，則“ 和諧數(shù) ”= （2n+2）2（2n）2，利

29、用平方差公式展開(kāi)得到（ 2n+2+2n） （2n+22n）=4（2n+1） ，然后利用整除性可說(shuō)明 “ 和諧數(shù) ” 一定是 4 的倍數(shù)；（3）介于 1 到 200 之間的所有 “ 和諧數(shù) ” 中，最小的為： 2202=4，最大的為：502482=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們的和【解答】 解： （1）36 是“ 和諧數(shù) ” ，2016 不是“ 和諧數(shù) ” 理由如下：36=10282；2016=50525032；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k（n 為自然數(shù)），（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k） （2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1） ，4（2k+1）能被 4 整

30、除，“ 和諧數(shù)” 一定是 4 的倍數(shù)；（3）介于 1 到 200 之間的所有 “ 和諧數(shù) ” 之和，s=（2202）+（4222）+（6242）+ +（502482）=502=2500故答案是： 2500【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了因式分解的應(yīng)用： 利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計(jì)算簡(jiǎn)化16 （2015 春?興化市校級(jí)期末）如圖1，有若干張邊長(zhǎng)為 a 的小正方形、長(zhǎng)為 b 寬為 a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b 的大正方形的紙片精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（

31、1）如果現(xiàn)有小正方形 1 張，大正方形 2 張，長(zhǎng)方形 3 張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖 2 虛線(xiàn)框中畫(huà)出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系， 將多項(xiàng)式 a2+3ab+2b2分解因式（2） 已知小正方形與大正方形的面積之和為169，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各 8 張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形【分析】 （1）根據(jù)小正方形 1 張，大正方形 2 張，長(zhǎng)方形 3 張，直接畫(huà)出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，得出 a+b=17，由題意

32、可知：小正方形與大正方形的面積之和為a2+b2=169，將 a+b=17 兩邊同時(shí)平方，可求得ab 的值，從而可求得長(zhǎng)方形的面積；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（ na+mb） ，其中（ n、m 為正整數(shù)）由完全平方公式可知： （na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各8 張，n28，m28，2mn8（n、m 為正整數(shù)）從而可知n2，m2，從而可得出答案【解答】 解： （1）如圖：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載拼成邊為（ a+2b）和（ a+b

33、）的長(zhǎng)方形a2+3ab+2b2=（a+2b） （a+b） ；（2）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，a+b=17小正方形與大正方形的面積之和為169，a2+b2=169將 a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b）2=172，整理得： a2+2ab+b2=289，2ab=289169，ab=60長(zhǎng)方形的面積為60（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（ na+mb） ，其中（ n、m 為正整數(shù)）正方形的面積 =（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2現(xiàn)有三種紙片各8 張，n28，m28，2mn8（n、m 為正整數(shù)）n2，m2共有以下四種情況；n=1，m=1，正方形的邊長(zhǎng)為 a+b；n=1，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為 a+2

34、b；n=2，m=1，正方形的邊長(zhǎng)為 2a+b；n=2，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為 2a+2b【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的運(yùn)用， 要注意結(jié)合圖形解決問(wèn)題， 解題的關(guān)鍵是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載靈活運(yùn)用完全平方公式17 （2014 秋?萊城區(qū)校級(jí)期中）（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2用兩種不同的方法，計(jì)算圖2 中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：a2+2a+1=（a+1）2（2）有若干塊長(zhǎng)方形和

35、正方形硬紙片如圖3 所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫(huà)出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫(huà)出你的拼圖【分析】 （1）要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同的計(jì)算面積的方法，來(lái)推導(dǎo)公式；（2）要能根據(jù)等式畫(huà)出合適的拼圖【解答】 解： （1）長(zhǎng)方形的面積 =a2+2a+1；長(zhǎng)方形的面積 =（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；（2）如圖，可推導(dǎo)出（ a+b）2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（2a+b） （a+2b） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用正方形或長(zhǎng)方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運(yùn)用圖形的面積計(jì)算的不同方法得到多項(xiàng)式的因式分解精品學(xué)習(xí)資料 可選

36、擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載18 （2013 秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知a+b=1，ab=1，設(shè) s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn（1）計(jì)算 s2；（2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算 s3的過(guò)程：因?yàn)?a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3=（a+b） （a2+b2）ab（a+b）=1s2（ 1）=s2+1=4你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中 s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4（3）試寫(xiě)出 sn2，sn1，sn三者之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)（

37、 3）得出的結(jié)論，計(jì)算s6【分析】 （1） （2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入a+b，ab 的值，即可推出結(jié)論；（3）根據(jù)（ 1）所推出的結(jié)論，即可推出sn2+sn1=sn；（4）根據(jù)（ 3）的結(jié)論，即可推出a6+b6=s6=s4+s5=2s4+s3【解答】 解： （1）s2=a2+b2=（a+b）22ab=3；（2）（ a2+b2） （a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b） ，31=a3+b31，a3+b3=4，即 s3=4；s4=（a2+b2）22（ab）2=7，s4=7；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

38、 第 19 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3）s2=3，s3=4，s4=7，s2+s3=s4，sn2+sn1=sn；（3）sn2+sn1=sn，s2=3，s3=4，s4=7，s5=4+7=11，s6=7+11=18【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式的運(yùn)用， 關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出 s2=3，s3=4，s4=7，分析歸納出規(guī)律： sn2+sn1=sn19 （2013 春?重慶校級(jí)期末）（1）利用因式分解簡(jiǎn)算： 9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式： 4a（a1）2（1a）【分析】 （1）利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；（2）先利用提

39、取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】 解： （1）原式 =9.82+20.29.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a1）2（1a）=（a1） （4a24a+1）=（a1） （2a1）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用， 掌握平方差公式和完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵20 （2013 春?惠山區(qū)校級(jí)期末） 閱讀材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁(yè)，共 3

40、1 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（mn）2+（n4）2=0，（ mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（2）已知 abc的三邊長(zhǎng) a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b26a8b+25=0，求abc的最大邊 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，則 ab+c=7【分析】 （1）將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 0，兩非負(fù)數(shù)分別為0 求出 x與 y 的值，即可求出xy 的值；（2）將已知等式 25 分為 9+16，重新

41、結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為 0 求出 a 與 b 的值，根據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c 的長(zhǎng)；（3）由 ab=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0 求出 b 與 c的值，進(jìn)而求出 a 的值，即可求出 ab+c 的值【解答】 解： （1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0（x+y）2+（y+1）2=0 x+y=0 y+1=0解得 x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a26a+9）+（b28b+16）

42、=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得 a=3，b=4三角形兩邊之和第三邊精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載ca+b，c3+4c7，又 c 是正整數(shù)，c 最大為 6；（3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（b+4）b+c26c+13=0，整理得： （b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且 c3=0，即 b=2，c=3，a=2，則 ab+c=2（ 2）+3=7故答案為： 7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，

43、以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)， 熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵21 （2012 秋?溫嶺市校級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x24x+m 有一個(gè)因式是（ x+3） ，求另一個(gè)因式以及m的值解：設(shè)另一個(gè)因式為 （x+n） ， 得 x24x+m= （x+3）（x+n） ， 則 x24x+m=x2+ （n+3）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一個(gè)因式為（ x7） ，m 的值為 21問(wèn)題：（1）若二次三項(xiàng)式 x25x+6 可分解為（ x2） （x+a） ，則 a=3；（2）若二次三項(xiàng)式 2x2+bx5 可分解為（ 2x1） （x+5） ，則 b=9；（3）仿照以上方

44、法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5xk 有一個(gè)因式是（2x3） ，求另一個(gè)因式以及k 的值【分析】 （1）將（x2） （x+a）展開(kāi)，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a 的值；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2） （2x1） （x+5）展開(kāi)，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即可求出b 的值；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（ x+n） ，得 2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x3n，可知 2n3=5，k=3n，繼而求出 n 和 k 的值及另一個(gè)因式【解

45、答】 解： （1）（ x2） （x+a）=x2+（a2）x2a=x25x+6，a2=5，解得： a=3；（2）（ 2x1） （x+5）=2x2+9x5=2x2+bx5，b=9；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（ x+n） ，得 2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x3n，則 2n3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，故另一個(gè)因式為（ x+4） ，k 的值為 12故答案為：（1）3； （2 分） （2）9； （2分） （3）另一個(gè)因式是 x+4，k=12（6分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即

46、互逆運(yùn)算， 二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式22 （2012 春?郯城縣期末）分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）2精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【分析】 （1）直接提取公因式x 即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（3）先提取公因式 y，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解；（4）把（ xy）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可【解答】 解： （1）2x2x=x（2x1） ；（2）1

47、6x21=（4x+1） （4x1） ；（3）6xy29x2yy3，=y（9x26xy+y2） ，=y（3xy）2；（4）4+12（xy）+9（xy）2，= 2+3（xy）2，=（3x3y+2）2【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點(diǎn)在（ 3） ，提取公因式 y 后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解23 （2012 春?碑林區(qū)校級(jí)期末） 已知 a， b， c 是三角形的三邊， 且滿(mǎn)足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2） ，試確定三角形的形狀【分析】 將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題【解答】 解：（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2

48、） ，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b22ab+b2+c22bc+a2+c22ac=0，即（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載ab=0，bc=0，ca=0，a=b=c，故abc為等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題24 （2011 秋?北辰區(qū)校級(jí)期末）分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）

49、2a34a2b+2ab2【分析】 （1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （1）2x44x2y2+2y4=2（x42x2y2+y4）=2（x2y2）2=2（x+y）2（xy）2；（2）2a34a2b+2ab2=2a（a22ab+b2）=2a（ab）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，提取公因式后利用公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底25 （2011 秋?蘇州期末）圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為 2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖中的陰影部分的面積為（mn）2；（2）

50、觀察圖請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、 （mn）2、mn 之間的等量關(guān)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載系是（m+n）2（mn）2=4mn（3）若 x+y=7，xy=10，則（ xy）2=9（4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示如圖，它表示了（m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2（5）試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形， 使它的面積能表示 （m+n） （m+3n）=m2+4mn+3n2【分析】 （1）可直接用正方形的面積公式得到（2）掌握完全平方公式，并掌握和

51、與差的區(qū)別（3）此題可參照第（ 2）題（4）可利用各部分面積和 =長(zhǎng)方形面積列出恒等式（5）可參照第（ 4）題畫(huà)圖【解答】 解： （1）陰影部分的邊長(zhǎng)為（ mn） ，陰影部分的面積為（ mn）2；（2） （m+n）2（mn）2=4mn；（3） （xy）2=（x+y）24xy=7240=9；（4） （m+n） （2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的

52、圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進(jìn)行變形26 （2009 秋?海淀區(qū)期末） 已知 a、b、c 滿(mǎn)足 ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c的值【分析】本題乍看下無(wú)法代數(shù)求值， 也無(wú)法進(jìn)行因式分解； 但是將已知的兩個(gè)式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口由ab=8 可得 a=b+8；將其代入 ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此時(shí)可發(fā)現(xiàn) b2+8b+16 正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c 的值，進(jìn)而可求得a 的值；然后代值運(yùn)算即可【解答】 解：因?yàn)?ab=8，所以 a=b+8 （1 分）又 ab+c2+16=0，所以（ b

53、+8）b+c2+16=0 （2分）即（b+4）2+c2=0又（b+4）20，c20，則 b=4，c=0 （4 分）所以 a=4， （5分）所以 2a+b+c=4 （6 分）【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 頁(yè)，共 31 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載27 （2010 春?北京期末）已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿(mǎn)足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積【分析】我們可先將

54、a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)?（a+1） （b+1） （c+1）1，就得（1+b） （c+1） （a+1）=2007，由于 a、b、c 均為正整數(shù)， 所以（a+1） 、（b+1） 、（c+1） 也為正整數(shù)，而 2007只可分解為 33223， 可得 （a+1） 、（b+1） 、（c+1）的值分別為 3、3、223，所以 a、b、c 值為 2、2、222就可求出長(zhǎng)方體體積 abc了【解答】 解：原式可化為： a+ab+c+ac+ab+abc+b+11=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）1=2006，（1+b） （a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b） （c+1+a+ac）=2007，（1+b） （c+1） （a+1）=2007，2007 只能分解為 33223（a+1） 、 （b+1） 、 （c+1）也只能分別為 3、3、223a、b、c 也只能分別為 2、2、222長(zhǎng)方體的體積 abc=888【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三次的分解因式， 做題當(dāng)中用加減項(xiàng)的方法， 使式子滿(mǎn)足分解因式28 （2007 秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）（x24x