2022年全等三角形的基礎(chǔ)和經(jīng)典例題含有答案

1、第十一章：全等三角形一、基礎(chǔ)知識1. 全等圖形的有關(guān)概念（1）全等圖形的定義能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形。例如：圖 13-1 和圖 13-2 就是全等圖形圖 13-1 圖 13-2 （2）全等多邊形的定義兩個多邊形是全等圖形，則稱為全等多邊形。例如：圖 13-3 和圖 13-4 中的兩對多邊形就是全等多邊形。圖 13-3 圖 13-4 （3）全等多邊形的對應頂點、對應角、對應邊兩個全等的多邊形， 經(jīng)過運動而重合， 相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角。（4）全等多邊形的表示例 如 ： 圖 13-5 中 的兩 個 五 邊 形 是 全 等 的 ， 記 作

2、 五 邊 形 abcde 五 邊 形abcde（這里符號“”表示全等，讀作“全等于”） 。圖 13-5 表示圖形的全等時，要把對應頂點寫在對應的位置。（5）全等多邊形的性質(zhì)全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。a b d c e bacde精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -（6）全等多邊形的識別多邊形相等、對應角相等的兩個多邊形全等。2.

3、 全等三角形的識別（1）根據(jù)定義若兩個三角形的邊、角分別對應相等，則這兩個三角形全等。（2）根據(jù) sss 如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等。相似三角形的識別法中有一個與（sss ）全等識別法相類似，即三條邊對應成比例的兩個三角形相似，而相似比為1 時，就成為全等三角形。（3）根據(jù) sas 如果兩個三角形有兩邊機器夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等。相似三角形的識別法中同樣有一個是與（sas ）全等識別法相類似，即一角對應相等而夾這個角的兩邊對應成比例的兩個三角形相似，當相似比為 1 時，即為全等三角形。（4）根據(jù) asa 如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等，

4、那么這兩個三角形全等。（5）根據(jù) aas 如果兩個三角形有兩個角及其中一角的對邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等。3. 直角三角形全等的識別（1）根據(jù) hl 如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應相等，那么這兩個直角三角形全等。（2）sss 、sas 、asa 、aas對于直角三角形同樣適用。判斷兩個直角三角形全等的方法可分為：已知一銳角和一邊或已知兩邊。4. 證明三角形全等的方法證明三角形全等的一般方法有四種： “sss ” 、 “sas ” 、 “asa ” 、 “aas ” 。每一種都有給出三個獨立的條件， 在具體問題中， 題設(shè)往往只給出一個或兩個條件，其余的需要我們自己去發(fā)掘和

5、證明。判定方法的選擇：已知條件可選擇的判定方法一邊對應一角對應相等sas aas asa 兩角對應相等asa aas 兩邊對應相等sas sss 具體地說，證明角相等的常用方法有：對頂角相等；兩直線平行，同位角、內(nèi)錯精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -角相等；同角（或?qū)牵┑挠嘟牵ㄑa角）相等；角平分線平分的兩角相等；角的等量代換等。證明線

6、段相等的方法有：同一線段；中點的定義；平行四邊形的對邊；等腰三角形的兩腰；邊的等量代換等。為什么“aaa ”和“ssa ”不能判定兩個三角形全等？這是因為有三個角相等，但邊不一定相等，則三角形不一定全等， 如圖 13-6， 可以看出 abc不全等于 ade ；同樣，如果兩邊及其中一邊的對角相等，也不能確定三角形全等，如圖13-7，ab=ab,ac=ad, b=b，但 abc與abd 不全等。圖 13-6 圖 13-7 5. 證明兩個三角形全等如何入手證明兩個三角形全等一般采用“綜合法”與“分析法”兩種。（1）綜合法，就是從已知條件入手，進行推理，逐步向要證的結(jié)論推進，如從已知條件中推導出對應邊

7、或?qū)窍嗟?，從而推導出三角形全等?同時，也可以從三角形全等推導出對應邊、對應角的相等，達到正題的目的。（2）分析法，即從欲證的結(jié)論出發(fā)，分析結(jié)論成立的必需條件，各種條件聯(lián)系已知，尋找它們之間的關(guān)系， 逐步靠攏已知條件， 從而分析出已知與結(jié)論的因果關(guān)系。證題時，分析法與綜合法結(jié)合起來使用更加有效，證三角形全等時， 既要有明顯的已知條件， 又要有隱藏的條件， 通過綜合法羅列已知條件， 再通過分析法找出隱藏條件，從而得證。二、經(jīng)典例題例 1： （1）已知一個三角形有兩邊的長分別為2cm ，13cm ，又知這個三角形的周長為偶數(shù)，求第三邊長。（2）在 abc中，已知 a+c=2b,c-a=80，求

8、 c 。 考點透視 （1）考察三邊關(guān)系的應用； （2）考察三角形內(nèi)角和定理 參考答案 解：（1）設(shè)第三邊為 xcm，則132132x即1115x周長lxx21315的范圍是1511151515x即 2730l又 l 為偶數(shù)l28lx1528a b d e c a d c b 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -a e 66 54 b d

9、c x13即第三邊長為 13cm （2）acb2abcacbbbb()23180b60acb2120又ca80由acca12080得ac20100c100例 2：已知，在 abc中，ad是角平分線，b66，c54，deac于 e，求：adb和ade 考點透視 考察三角形內(nèi)角和定理及推論、角平分線、高線的性質(zhì) 參考答案 解：由三角形內(nèi)角和定理，得bacbc180180665460()又 ad 平分baccadbac12126030adbcadc305484（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）在rt ade中adecad90903060（直角三角形的兩個銳角互余）例 3：已知：在abc

10、和a b c中aabbcd ab，于 d，c da b于 d ，且 cdc d求證：abca b c精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -a ad db c b c 考點透視 如果兩個三角形有兩個角和這兩個角夾邊的高對應相等，那么這兩個三角形全等。 參考答案 證明：在 rt adc 和 rt a d c中aaadca d ccdc d90r

11、t adcrt a d caas()aca c（全等三角形對應邊相等）在abc和a b c中aabbaca cabca b caas()三適時訓練（一）精心選一選1在 abc中， a:b:c=1:2:3 ，且 abc def ，bc=ef ，點 a 的對應頂點是 d，下列說法正確的是（）a. c與f互余 b. c與d互余c. b與f互余 d. a與e互余2如圖， abc中，ab=ac ，ce 、bd分別是 ab 、ac邊上的中線， am ce于 m ，an bd于 n，則圖中全等三角形共有（）a. 3 對 b. 4對 c. 5對 d. 6對3如圖， acd 中，ab cd且 bd cb ，bc

12、e和abd都是等腰 rt，下列結(jié)論 abc dbe ； acb abd ； cbe bed ； ace ade ；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -正確的是（）a. b. c. d. 4如圖， abe和adc是abc分別沿 ab ，ac邊翻折 180形成的，若 1:2: 3=28:5:3 ，則度數(shù)為（）a. 60 b. 70 c. 80

13、 d. 905下列命題正確的是（）a. 兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等b. 有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等c. 有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等d. 一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個rt全等6. 在abc 內(nèi)部取一點 p 使得點 p 到abc 的三邊距離相等，則點p 應是abc 的哪三條線交點（）（a）高（b）角平分線（c）中線（d）垂直平分線已知7. 下列條件能判定 abc def 的一組是（）（a）a=d， c=f， ac=df （b）ab=de ， bc=ef，a=d （c）a=d， b=e，c=f（d）ab=de ，abc 的周長等于 de

14、f 的周長（二）細心填一填1如圖 2-1，一長方形 abcd 紙片，以 ef為折痕折疊，點b落在點 m ，en是mec 的角平分線，則 fen= 2如圖 2-2，在 abc中， bac:abc:acb=3:5:10，且 abc ，則 1:2= 3如圖 2-3 ，若 abc ade ，e=c，1=20，則 2= 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 27 頁 - - - - - - -

15、 - -4如圖 2-4，在正方形 abcd 中，e是 ad中點，f 是 ba延長線上一點， ab=2af ，在圖中可通過（填“平移”， “翻折” ，或“旋轉(zhuǎn)”）使 abe變到adf的位置，這時 be與 df之間的位置關(guān)系是5 如圖 2-5， abc中， c=90 ， ac=bc ， ad平分 cab ， de ab于 e， 若 ab=4cm ，則bde的周長是6. 已知，如圖 2-6，ad=ac ，bd=bc ，o為 ab上一點，那么，圖中共有對全等三角形7. 如圖2-7 ， abc ade ，則， ab= ， e=若bae=120 ， bad=40 ，則 bac= 8. 在abc和abd中，

16、 c= d=90 ，若利用“ aas ”證明 abc abd ，則需要加條件或； 若利用“ hl”證明 abc abd ，則需要加條件，或9. 把兩根鋼條 aa? 、bb? 的中點連在一起， 可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗） ， 如圖 2-9， 若測得 ab=5厘米，則槽寬為米。10. 工人師傅砌門時， 如圖所示，常用木條 ef固定矩形木框 abcd ， 使其不變形，這是利用，用菱形做活動鐵門是利用四邊形的。圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 27 頁 - - - - - - - -

17、 -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -圖 2-4 圖 2-5 圖 2-6 圖 2-7 圖 2-9 圖 2-10 三、認真答一答1如圖， ab=ad ，ac=ae ，且 dab= cae ，be與 cd交于點 p，ap的延長線交bc于 f，試判斷 bpf與cpf的關(guān)系，并加以證明。2如圖， am為abc的中線， ae ab ，af ac ，且 ae=ab ，af=ac ，ma的延長線交 ef于點 p，求證： ap ef。3. 已知：如圖， c 為 be 上一點，點 a 分別在 be

18、兩側(cè).abed,ab=ce,bc=ed. 求證:ac=cd. 4已知：如圖，op 是 aoc 和 bod 的平分線， oa=oc，ob=od. acedb精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -求證： ab=cd5我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形。（1）請寫出一個你學過

19、的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在abc中，點d、e分別在ab、ac上，設(shè)cd、be相交于o，若60a，12dcbebca，請你寫出圖中一個與a相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；（3）在abc中，如果a是不等于60o的銳角，點d、e分別在ab、ac上，且12dcbebca，探究： 滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論 . 6. 已知：如圖，bd 為平行四邊形abcd 的對角線， o 為 bd 的中點， efbd 于點 o，與 ad 、 bc 分別交于點e、f。求證： de=df 。7如圖，在o 中， d、e 分別為半徑oa 、ob 上的點，

20、且ad be點 c 為弧 ab 上一點，連接cd、ce 、co ， aoc boc 求證： cd ce精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -8如圖，已知在 abc 中 ab=ac ， d 為 bc 邊的點 d 作 de ab,df ac,垂足分別為e、f。（1）求證： bed cfd; （2）若 a=90 ，求證：四邊形dfae 是正方形。

21、9如圖，已知abc 為等邊三角形，點d、e 分別在 bc 、ac 邊上，且ae=cd ， ad 與be 相交于點f(1)求證： abe cad ；(2)求 bfd 的度數(shù)10. 八（ 1）班同學到野外上數(shù)學活動課，為測量池塘兩端a、b 的距離，設(shè)計了如下方案：（）如圖1，先在平地上取一個可直接到達a、b 的點 c，連接 ac、bc，并分別延長 ac 至 d，bc 至 e，使 dc=ac ，ec=bc ，最后測出de 的距離即為ab 的長；（）如圖2，先過 b 點作 ab 的垂線 bf，再在 bf 上取 c、d 兩點使 bc=cd ，接著過d 作 bd 的垂線 de ，交 ac 的延長線于e，則

22、測出de 的長即為ab 的距離 . 圖 1 圖 2 閱讀后回答下列問題：（1）方案（）是否可行？請說明理由。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -a e d 2 4 b f c 3 1 （2）方案（）是否可行？請說明理由。（3）方案（）中作bfab，ed bf 的目的是；若僅滿足 abd= bde 90，方案（）是否成立？.11. 已知

23、，如圖ab/cd ，be、ce 分別是abc、bcd的平分線，點e 在 ad 上，求證：bcabcd12. 一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如圖所示形式，使點b，f， c， d 在同一條直線上（1）求證： ab ed（2）若 pbbc，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明13如圖，在abcd 中，對角線ac 、bd 相交于點o. 請找出圖中的一對全等三角形，并給予證明. e f m b c p n d a b e d c f 0 3d，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 2

24、7 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -14. 如圖，直線l 切 o 于點 a，點 p 為直線 l 上一點，直線po 交 o 于點 c、b，點 d 在線段 ap 上，連結(jié)db ，且 ad=db （1）求證： db 為 o 的切線（2）若 ad=1 ，pb=bo ，求弦 ac 的長. 15. 已知：如圖，直徑為oa的m與x軸交于點oa、 ，點bc、把?oa分為三等份，連接mc并延長交y軸于點(0 3)d，（1）求證：omdbao；（2）若直線l：

25、ykxb把m的面積分為二等份，求證：30kbabcdoy x c b a m o 4 2 1 3 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -16. 如圖，四邊形abcd 是矩形， pbc 和 qcd 都是等邊三角形，且點p 在矩形上方，點 q 在矩形內(nèi)求證：（1） pba= pcq=30 ； （2）pa=pq 17. 如圖，o是rtabc的

26、外接圓，點o在ab上，bdab，點b是垂足，odac，連接cd求證：cd是o的切線d b a o c a c b d p q 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -18.abc是等邊三角形，點d是射線bc上的一個動點（點d不與點bc、重合），ade是以ad為邊的等邊三角形，過點e作bc的平行線，分別交射線abac、于點fg、，連接be（

27、1）如圖（ a）所示，當點d在線段bc上時求證：aebadc；探究四邊形bcge是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示， 當點d在bc的延長線上時， 直接寫出 （1）中的兩個結(jié)論是否成立？（3）在（ 2）的情況下，當點d運動到什么位置時，四邊形bcge是菱形？并說明理由19. 如圖，cf、在be上，adacdfbfec，求證：abdea g c d b f e 圖（ a）a c b f e g 圖（ b）a b c f e 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習

28、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -20. 如圖，在 abe 中， ab ae,ad ac, bad eac, bc 、de 交于點 o. 求證： (1) abc aed ；(2) ob oe . 21. 如圖，在rt abc 中， c=90，以 bc 為直徑作 o 交 ab 于點 d，取 ac 的中點e，連結(jié) de、 oe（1）求證： de 是 o 的切線；（2）如果 o 的半徑是1.5cm，ed=2cm ，求 ab 的長22. 如圖，abcd 是正方形 g 是 bc 上的一點， de

29、ag 于 e，bfag 于 f（1）求證：abfdae；（2）求證：deeffb23. 如圖 9， 若 abc 和 ade 為等邊三角形， m ， n 分別 eb， cd 的中點， 易證：cd=be ，amn 是等邊三角形ocebdab a d o c a d e f c g 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -（1） 當把 ade

30、繞 a 點旋轉(zhuǎn)到圖10 的位置時， cd=be 是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由； （4 分）（2）當 ade 繞 a 點旋轉(zhuǎn)到圖11 的位置時， amn 是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當ab=2ad時， ade 與 abc 及 amn 的面積之比；若不是，請說明理由。24. 如圖 9， p 是 bac 內(nèi)的一點，peabpfac， 垂足分別為點ef， ，afae求證： （1）pfpe；（2）點 p 在 bac 的角平分線上25. 已知：如圖，在rtabc 和 rt bad 中， ab 為斜邊， ac=bd ，bc ，ad 相交于點 e(1) 求證： ae=be ；

31、(2) 若 aec=45 ， ac=1 ，求 ce 的長 edcba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -參考答案（一）精心選一選1. d 2. c 3. b 4. c 5. d 6.b 7.a （二）細心填一填1. 902. 1:4 3. 204. 旋轉(zhuǎn)；垂直5. 4cm 6.3 7.ad ， c，80 8. cab= dab ， c

32、ba= dba ， ac=ad ，bc=bd 9. 5 厘米10. 三角形的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性（三）認真答一答1. 相等，過 a 作 am dc ，an be，證明 dac bae ，所以利用全等三角形的對應高相等得到am=an ，所以 bpf= cpf 2. 延長 am 至 n，使 mn=am，證明 amc nmb ，所以 ac=nb ，再證明 eaf abn ，得到 e= ban ，因為 ban+ eap=90 ，所以 e+eap=90 ，所以apef 3證明：abedq，be在abc和ced中，abcebebced，abccedaccd4、證明：op 是 aoc 和 bod 的平分線，,a

33、opcopbopdopaobcod在aob和cod中，,oaocaobcodobodaobcodabcd精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -5、解：（1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可（ 2）與 a 相等的角是bod （或 coe ）四邊形 dbce 是等對邊四邊形. （ 3）此時存在等對邊四邊形dbce. 證明 1：如圖，作c

34、gbe 于 g 點，作 bfcd 交 cd 的延長線于f 點. dcb= ebc=12a，bc 為公共邊 bgc cfb bf=cg bdf= abc+ dcb= abe+ ebc+ dcb= abe+ a gec= abe+ a bdf ceg bd=ce 故四邊形dbce 是等對邊四邊形. 證明 2：如圖，在be 上取一點f，使得 bf=cd ，連接 cf. 易證 bcd cbf ，故 bd=cf ， fcb= dbc. cfe= fcb+ cbf= dbc+ cbf= abe+2 cbf= abe+ a cef= abe+ a cf=ce bf=ce 故四邊形dbce 是等對邊四邊形.

35、6證法一：在平行四邊形abcd 中， ad/bc obf= ode o 為 bd 的中點 ob=od 在 bof 和 doe 中obfodeobodbofdoe bof doe of=oe efbd 于點 o de=df 證法二： o 為 bd 的中點bo=do efbd 于點 o bf=df bfo= dfo 在平行四邊形abcd 中， ad/bc bfo= deo deo= dfo de=df 7證明： oa=ob ad=be oa-ad=ob-be即 od=oe 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 27 頁 - - -

36、 - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -在 odc 和 oec 中ococeocdocoeod odc oec cd=ce 8 （1） deab,df ac, bed= cfd=90 , ab=ac, b=c, d 是 bc 的中點 , bd=cd bed cfd. （ 2） deab,df ac aed= afd=90 a=90四邊形dfae 為矩形 bed cfd de=df 四邊形dfae 為正方形9。 （ 1）證明：abc 為等邊三角形 bac= c=6

37、0, ab=ca, 在 abe 和 cad 中ab=ca, bae= c, ae=cd abe cad （ 2）解 bfd= abe+ bad 又 abe cad abe= cad bfd= cad+ bad= bac=60 10 （1）可以；（2）可以；（3）構(gòu)造三角形全等，可以11. ab/cd abcbcd180又 be、ce 平分abcacd，ebcabcecbbcd1212，ebcecbabcbcd121218090()bec90（三角形內(nèi)角和定理）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 27 頁 - - - - -

38、- - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -在 bc 上取 bfba ，連結(jié) ef 在abe和fbe中abfbabefbebebeabefbe sas()12（全等三角形對應角相等）13180bec131801809090bec又，24901234（等量代換）在cfe和cde中fcedcecece()角平分線定義43cfecde asa()cdcf（全等三角形對應邊相等）bcbfcfabcd12. （ 1）由于 abc 與 def 是一張矩形紙片沿對角線剪開而得到兩張三角形，

39、所以abc def ， 所以 a d， 在anp 和dnc 中， 因為 anp dnc ， 所以 apn dcn ，又 dcn 90 ，所以 apn 90 ，故 ab ed（ 2）答案不唯一，如abc dbp ；pem fbm ； anp dnc 等等以abc dbp 為例證明如下：在abc與dbp 中，因為 a d， b b，pbbc ，所以 abc dbp 13.例： aob cod. 證明：四邊形abcd 為平行四邊形，oa=oc ，ob=od ，又 aob= cod ， aob cod. 14 （1）證明 : 連結(jié) od pa 為 o 切線 oad = 90精品學習資料 可選擇p d

40、f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 27 頁 - - - - - - - - - oa=ob ，da=db ，do=do ， oad obd obd= oad = 90，pa 為 o 的切線（ 2）解：在rtoap 中， pb=ob=oa opa=30 poa=60 =2c ，pd=2bd=2da=2 opa= c=30 ac=ap=3 15. 證明：（ 1）連接bm，bc、把?oa三等分，1560，又o

41、mbm，125302，又 oa 為m直徑，90abo，12aboaom，360，13，90domabo，在omd和bao中，13.omabdomabo，omdbao（asa）（ 2）若直線l把m的面積分為二等份，則直線l必過圓心m，(0 3)d，160，33tan603odom，(3 0)m，把( 3 0)m，代入ykxb得：30kb精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 27 頁

42、 - - - - - - - - -a c b d p q 16. 證明： (1)四邊形 abcd 是矩形，abc= bcd=90 pbc 和 qcd 是等邊三角形，pbc= pcb= qcd=60 ，pba= abc pbc=30 ，pcd= bcd pcb=30 pcq= qcd pcd=30 pba= pcq=30 (2)ab=dc=qc， pba= pcq ， pb=pc ，pab pqc，pa=pq 17. 證明：連接coodaccodacocaodobq，acocaocoddobq又ododocob，codbod90ocdobdoccd，即cd是o的切線18. （1）證明：abc和

43、ade都是等邊三角形，60aeadabaceadbac，又eabeadbad，dacbacbad，eabdac，aebadc法一：由得aebadc，60abec又60bacc，abebac，ebgca g c d b f e 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -又egbc，四邊形bcge是平行四邊形法二：證出aegadb，得egabb

44、c由得aebadc得becg四邊形bcge是平行四邊形（ 2）都成立（ 3）當cdcb（2bdcd或12cdbd或30cad或90bad或30adc）時，四邊形bcge是菱形理由：法一：由得aebadc，becd又cdcb，becb由得四邊形bcge是平行四邊形，四邊形bcge是菱形法二：由得aebadc，becd又四邊形bcge是菱形，becbcdcb法三：四邊形bcge是平行四邊形，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - -

45、- - - - - - - 第 23 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -becgegbc，6060fbebacfabc ，60ffbe，bef是等邊三角形又abbc，四邊形bcge是菱形，abbebf，aefg30eag，60ead，30cad19. 證明：acdfq，acedfb，acbdfe又bfec，bfcfeccf，即bcef又ad，abcdefabde20. 證明： (1) bad eac bac= ead 在 abc 和 aed 中a b c f e 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 27 頁

46、 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 27 頁 - - - - - - - - -abaebaceadacad abc aed(sas) (2)由(1)知 abc= aed ab=ae abe= aeb obe= oeb ob=oe 21. 證明： （1）連結(jié) od由 o、e 分別是 bc、 ac 中點得 oe ab 1=2， b= 3，又 ob=od 2=3而 od=oc ，oe=oe oce ode oce= ode 又 c=90 ，故 ode =90 de 是 o 的切線（ 2）在 r

47、tode 中，由32od，de=2 得52oe又 o、e 分別是 cb、ca 的中點ab=2 5252oe所求 ab 的長是 5cm22. 證明： （1） de ag ，bfag ， aed= afb=90 abcd 是正方形， de ag， baf+ dae=90 ， ade+ dae=90 ， baf = ade 又在正方形abcd 中， ab=ad 在 abf 與 dae 中， afb = dea=90 ，baf = ade ，ab=da ， abf dae （ 2） abf dae ， ae=bf ，de=af 又 af=ae+ef ， af=ef+fb ， de=ef+fb 23. 解： （1）cd=be