教師培訓(xùn)課件：數(shù)學(xué)建模中的風(fēng)險(xiǎn)決策

1、風(fēng)險(xiǎn)決策的例風(fēng)險(xiǎn)決策的例n漁船是否出海？n是否應(yīng)該投資房產(chǎn)業(yè)？n如何填報(bào)高考志愿？共同點(diǎn)：要求在具有不確定因素下作出決策共同點(diǎn)：要求在具有不確定因素下作出決策n為什么說(shuō)這是一個(gè)騙局（隨機(jī)變量及數(shù)學(xué)為什么說(shuō)這是一個(gè)騙局（隨機(jī)變量及數(shù)學(xué)期望）期望） 問(wèn)題提出：?jiǎn)栴}提出：小華在一次旅游途中看到，有人用小華在一次旅游途中看到，有人用 20 枚簽（其中枚簽（其中 10 枚標(biāo)有枚標(biāo)有 5 分分值，分分值，10 枚標(biāo)有枚標(biāo)有 10 分分值）設(shè)賭。讓游客從中抽出分分值）設(shè)賭。讓游客從中抽出 10 枚，以枚，以 10 枚簽的分枚簽的分值總和為獎(jiǎng)、罰依據(jù)。具體獎(jiǎng)罰金額見(jiàn)下表：值總和為獎(jiǎng)、罰依據(jù)。具體獎(jiǎng)罰金額見(jiàn)下表

2、： 這些獎(jiǎng)是不是這么好拿呢？讓我們來(lái)做一番計(jì)算。這些獎(jiǎng)是不是這么好拿呢？讓我們來(lái)做一番計(jì)算。分值分值50，10055，9560，65，85，9070，75，80獎(jiǎng)罰金額獎(jiǎng)罰金額獎(jiǎng)獎(jiǎng)100元元獎(jiǎng)獎(jiǎng)10元元不獎(jiǎng)不罰不獎(jiǎng)不罰罰罰1元元隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布: 用用x 表示獎(jiǎng)罰金額。表示獎(jiǎng)罰金額。 x 以一定的概率取值，我們稱以一定的概率取值，我們稱 x 為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量。 此處，此處，x 的取值范圍為的取值范圍為 -1、0、10、100，我們又稱之為，我們又稱之為離散型隨機(jī)離散型隨機(jī)變量。變量。x 取以上取以上4個(gè)值的概率：個(gè)值的概率：x -1 0 10 100p0.821100.17

3、7811.0825*10-31.0825*10-5數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望: 如何來(lái)計(jì)算平均值？設(shè)想上表中的第二行不是相應(yīng)的概率值，而是如何來(lái)計(jì)算平均值？設(shè)想上表中的第二行不是相應(yīng)的概率值，而是n次試次試驗(yàn)相應(yīng)的頻率值。那么在這驗(yàn)相應(yīng)的頻率值。那么在這 n 次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，x 的的實(shí)際實(shí)際平均值為：平均值為：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，頻率將穩(wěn)定于概率。上式算出的不是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，頻率將穩(wěn)定于概率。上式算出的不是n 次試次試驗(yàn)中驗(yàn)中 x 的的實(shí)際實(shí)際平均值，而是指：如果把試驗(yàn)一直進(jìn)行下去，我們平均值，而是指：如果把試驗(yàn)一直進(jìn)行下去，我們期期望望能得到的能得到的理論上理論上的平均值。數(shù)學(xué)上稱之為的

4、平均值。數(shù)學(xué)上稱之為數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（expectation），），記為記為ex。利用數(shù)學(xué)期望的概念，可以得出這樣的結(jié)論：近似地說(shuō)，所有參加的利用數(shù)學(xué)期望的概念，可以得出這樣的結(jié)論：近似地說(shuō)，所有參加的人平均每人給攤主人平均每人給攤主0.81元。人數(shù)越多，這種說(shuō)法就越精確。元。人數(shù)越多，這種說(shuō)法就越精確。元元）(81. 0100825. 1100100825. 1101778. 008211. 0) 1(53 xn他該如何選擇（風(fēng)險(xiǎn)決策）他該如何選擇（風(fēng)險(xiǎn)決策）數(shù)學(xué)期望最優(yōu)決策和填志愿數(shù)學(xué)期望最優(yōu)決策和填志愿問(wèn)題提出：?jiǎn)栴}提出： 小華參加高考前需填報(bào)三個(gè)志愿。根據(jù)其學(xué)習(xí)成績(jī)及對(duì)各專業(yè)（學(xué)校）小

5、華參加高考前需填報(bào)三個(gè)志愿。根據(jù)其學(xué)習(xí)成績(jī)及對(duì)各專業(yè)（學(xué)校）的喜好程度得到下表：的喜好程度得到下表：專業(yè)專業(yè) 喜好程度喜好程度第一志愿第一志愿第二志愿第二志愿第三志愿第三志愿(學(xué)校學(xué)校) 分值分值錄取概率錄取概率錄取概率錄取概率錄取概率錄取概率 a 10 0.2 0 0 b 9 0.4 0.1 0 c 8 0.6 0.5 0.3 d 6 0.9 0.9 0.7他該如何選擇？他該如何選擇？ 客觀狀況帶有隨機(jī)性的決策稱為客觀狀況帶有隨機(jī)性的決策稱為風(fēng)險(xiǎn)決策。風(fēng)險(xiǎn)決策。 決策準(zhǔn)則是：使決策在平均意義下達(dá)到最優(yōu)。即在客觀狀況帶有決策準(zhǔn)則是：使決策在平均意義下達(dá)到最優(yōu)。即在客觀狀況帶有隨機(jī)性波動(dòng)的情況下

6、，追求的是目標(biāo)均值（數(shù)學(xué)期望）的最優(yōu)化。隨機(jī)性波動(dòng)的情況下，追求的是目標(biāo)均值（數(shù)學(xué)期望）的最優(yōu)化。替小華做參謀替小華做參謀 決策準(zhǔn)則是：使喜好程度得分決策準(zhǔn)則是：使喜好程度得分x 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望ex最高。最高。 學(xué)校錄取學(xué)生是按志愿依次錄取。若第學(xué)校錄取學(xué)生是按志愿依次錄取。若第3志愿還未被志愿還未被錄取，小華將高考落第。所以應(yīng)先考慮第錄取，小華將高考落第。所以應(yīng)先考慮第3志愿。志愿。 c、d 兩種選擇的喜好程度得分期望值分別為：兩種選擇的喜好程度得分期望值分別為： e3(xc) =0.3*8=2.4， e3(xd) =0.7*6 = 4.2。 因?yàn)橐驗(yàn)閑3(xd) e3(xc），），第

7、第3志愿應(yīng)選擇志愿應(yīng)選擇 d 。再考慮第再考慮第2志愿，在志愿，在b、c、d這這3種選擇中，喜好程度得分期望值分別為種選擇中，喜好程度得分期望值分別為 ： e2(xb) = 0.1*9+0.9*4.2 = 4.68 e2(xc)= 0.5*8+0.5*4.2 = 6.1 ； e2(xd) = 0.9*6+0.1*4.2 = 5.82。因?yàn)橐驗(yàn)閑2(xc) e2(xd) e2(xb），第第2志愿應(yīng)選擇志愿應(yīng)選擇c。 最后再考慮第最后再考慮第1志愿。喜好程度得分期望值分別為志愿。喜好程度得分期望值分別為 ：e1(xa)=0.2*10+0.8*6.1=6.88；e1(xb)=0.4*9+0.6*6.

8、1=7.26；e1(xc)=0.6*8+0.4*6.1=7.24；因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篹1(xb) e1(xc) e1(xa) , 所以第所以第1志愿應(yīng)選擇志愿應(yīng)選擇b。小華第小華第1、第、第2、第、第3志愿應(yīng)分別選擇志愿應(yīng)分別選擇b，c，d。 驗(yàn)血問(wèn)題驗(yàn)血問(wèn)題問(wèn)題提出：?jiǎn)栴}提出： 全校全校1500名同學(xué)都參加了學(xué)校組織的體檢。名同學(xué)都參加了學(xué)校組織的體檢。 如果檢驗(yàn)陽(yáng)性率如果檢驗(yàn)陽(yáng)性率 p 較較低，而需檢驗(yàn)的人數(shù)又很多。用下面這種方法進(jìn)行驗(yàn)血是否可以減少化低，而需檢驗(yàn)的人數(shù)又很多。用下面這種方法進(jìn)行驗(yàn)血是否可以減少化驗(yàn)次數(shù)：驗(yàn)次數(shù)： 按按 k 個(gè)人一組進(jìn)行分組個(gè)人一組進(jìn)行分組, 把從把從k 個(gè)人抽來(lái)

9、的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)。個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)。如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就說(shuō)明如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就說(shuō)明 k 個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)。若呈陽(yáng)個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)。若呈陽(yáng)性，則再對(duì)這性，則再對(duì)這 k 個(gè)人的血分別進(jìn)行化驗(yàn)。個(gè)人的血分別進(jìn)行化驗(yàn)。 如果這種方法進(jìn)行驗(yàn)血可以減少化驗(yàn)次數(shù)的話，那么如果這種方法進(jìn)行驗(yàn)血可以減少化驗(yàn)次數(shù)的話，那么 k 等于幾時(shí)，等于幾時(shí)，可以使檢驗(yàn)次數(shù)最少？可以使檢驗(yàn)次數(shù)最少？以以x 表示某人的驗(yàn)血次數(shù)。表示某人的驗(yàn)血次數(shù)。若按常規(guī)方法驗(yàn)血，每人驗(yàn)一次，則若按常規(guī)方法驗(yàn)血，每人驗(yàn)一次，則x=1為常數(shù)；為常數(shù)；若進(jìn)行分組，則若進(jìn)行分組，則 x 為隨機(jī)變量：為隨

10、機(jī)變量：當(dāng)此人所在小組的混合血液呈陰性反應(yīng)時(shí)當(dāng)此人所在小組的混合血液呈陰性反應(yīng)時(shí) x=1/k ；當(dāng)此人所在小組的混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)時(shí)當(dāng)此人所在小組的混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)時(shí) x=1+1/k 。px=1/k=p該小組的混合血液呈陰性反應(yīng)該小組的混合血液呈陰性反應(yīng)=p小組的每一位成員的血液均呈陰性反應(yīng)小組的每一位成員的血液均呈陰性反應(yīng)=（1-p）k； px=1+1/k=p該小組的混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)該小組的混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)=p小組中至少有一位成員的血液呈陽(yáng)性反應(yīng)小組中至少有一位成員的血液呈陽(yáng)性反應(yīng)=1-（1-p）k。x的概率分布為：的概率分布為： x1/k1+1/kp（1-p）k1-（1-p）k平均驗(yàn)

11、血次數(shù)平均驗(yàn)血次數(shù)ex= 1/k*（1-p）k+(1+1/k )*( 1-（1-p）k)=1-（1-p）k+1/k. 當(dāng)當(dāng) p已知時(shí)，我們可以選取已知時(shí)，我們可以選取 k 使之最小。使之最小。例如例如 p=0.1，當(dāng)當(dāng) k = 4時(shí)，時(shí)，ex=1-0.9 k+1/4=0.594。所需的平均驗(yàn)血次數(shù)為所需的平均驗(yàn)血次數(shù)為 n=1500* 0.594= 891次次 面包房進(jìn)貨問(wèn)題面包房進(jìn)貨問(wèn)題問(wèn)題提出：?jiǎn)栴}提出：一家面包房，某種面包每天的需求量為一家面包房，某種面包每天的需求量為100、150、200、250、300的概率分別為的概率分別為0.2、0.25、0.3、0.15和和0.1。每個(gè)面包的進(jìn)

12、貨價(jià)為。每個(gè)面包的進(jìn)貨價(jià)為2.50元，銷售價(jià)為元，銷售價(jià)為4元，若當(dāng)天不能售完，剩下的只能以每只元，若當(dāng)天不能售完，剩下的只能以每只2元的元的價(jià)格處理。每天該進(jìn)多少貨？（進(jìn)貨量必須是價(jià)格處理。每天該進(jìn)多少貨？（進(jìn)貨量必須是50的倍數(shù)）的倍數(shù)）x 為隨機(jī)變量其概率分布為：為隨機(jī)變量其概率分布為： x100150200250300p0.20.250.30.150.1利潤(rùn)用利潤(rùn)用 l 表示；進(jìn)貨量用表示；進(jìn)貨量用 y 表示。有：表示。有： yxyyxyxyxyyxxyxl5 . 15 . 02)5 . 24()(25 . 2()5 . 24(l依賴于進(jìn)貨量依賴于進(jìn)貨量 y 和需求量和需求量 x，所以

13、所以l也是隨機(jī)變量。也是隨機(jī)變量。這是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。這是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題。決定進(jìn)貨量應(yīng)以平均利潤(rùn)決定進(jìn)貨量應(yīng)以平均利潤(rùn) e(l) 為標(biāo)準(zhǔn)。為標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)當(dāng) y=100 時(shí)時(shí), el=1.5y=150(元元)；當(dāng)當(dāng) y=150 時(shí)時(shí), 若若x=100，則則l=2x-0.5y=125（元）；元）； 若若x150，則則l=1.5y=225（元）；元）；l的概率分布為：的概率分布為： l125225p0.20.8el=0.2*125+0.8*225=205(元元)；當(dāng)當(dāng) y=200 時(shí)時(shí) 若若 x =100，則則l=2x-0.5y=100（元）；元）； 若若 x =150，則則l=2x-0.5y =2

14、00（元）；元）； 若若 x 200，則則l=1.5y=300（元）；元）；l的概率分布為：的概率分布為：el=0.2*100+0.25*200+0.55*300=235(元元) l100200300p0.20.250.55當(dāng)當(dāng) y=250 時(shí)時(shí) 若若 x = 100，則則l=2x-0.5y=75（元）；元）；若若 x = 150，則則l=2x-0.5y =175（元）；元）；若若 x = 200，則則l=2x-0.5y =275（元）；元）；若若 x 250，則則l=1.5y=375（元）；元）；l 的概率分布為：的概率分布為： l75175275375p0.20.250.30.25el=0.2*75+0.25*175+0.3*275+0.25*375=235（元）元） 當(dāng)當(dāng) y=300 時(shí)時(shí)l的概率分布為：的概率分布為：比較可得：當(dāng)比較可得：當(dāng) y=200