2022年任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載課題： 3.2.1 任意角的三角函數(shù)（第一課時(shí)）一 教學(xué)目標(biāo)1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2. 理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3. 已知角 終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角的各三角函數(shù)值. 二 教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn) : 任意角的正弦、余弦、正切的定義。難點(diǎn) : 任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；已知角 終邊上一點(diǎn)， 會(huì)求角 的各三角函數(shù)值. 三 復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí) 1： 用弧度制寫出終邊在下列位置的角的集合. （1）坐標(biāo)軸上；（2）第二、四象限. 復(fù)習(xí) 2： 銳角的三角函數(shù)如何定義？在初中，我們?nèi)绻笠粋€(gè)銳角的三角函數(shù)值，經(jīng)常把這個(gè)角放到一個(gè)直角三角形中求其比值，從而得到銳角三角函

2、數(shù)的值。那么，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)更方便的去求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值嗎？我們可以采用以下方法：如圖，設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)o重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么它的終邊在第一象限. 在的終邊上任取一點(diǎn)( , )p a b ， 它與原點(diǎn)的距離220rab. 過(guò)p作 x 軸的垂線， 垂足為m， 則線段om的長(zhǎng)度為 a ，線段mp的長(zhǎng)度為b. 可得：sinmpbopr； cos = ， tanmpom= .四、新課學(xué)習(xí)：知識(shí)點(diǎn) 1：三角函數(shù)的定義認(rèn)真閱讀教材p11-p12，領(lǐng)會(huì)下面的內(nèi)容：由相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn) p在的終邊上的位置的改變而改變，因此我們可以將

3、點(diǎn)p取在使線段op的長(zhǎng)為 r=1 的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的值為：sinmpop_； cosomop_； tanmpom_ 問(wèn)題： 上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示. 那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何得到任意角的三角函數(shù)呢？顯然，我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，然后就可以類似銳角三角函數(shù)求值的方法得到該角的三角函數(shù)值. 注：?jiǎn)挝粓A：在直角坐標(biāo)系中, 我們稱以原點(diǎn)o為圓心 , 以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓. 上述的點(diǎn)p 就是的終邊與單位圓的交點(diǎn)，這樣銳角三角函數(shù)就可以用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示。那么我們可以用

4、同樣的方法得到任意角的三角函數(shù)值。如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)( , )p x y ，那么：（1）y 叫做的正弦 (sine)，記做sin；（2）x 叫做的余弦 (cossine)，記做 cos；（3）yx叫做的正切 (tangent)，記做tan. 即： siny ， cosx ， tan(0)yxx. mp(a,b)oxymp(a,b)mp(a,b)oxy精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí)： 角34與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則 sin34= ，c

5、os34= ，tan34= . 注：1) 當(dāng)()2kkz 時(shí)， 的終邊在 y 軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x都等于 0，所以xytan無(wú)意義 . 2)三角函數(shù)的定義域：函數(shù)定義域xysinrxycosrxytan,2|zkkxx確定三角函數(shù)的定義域時(shí)，要抓住分母不為0 這一關(guān)鍵， 當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)上時(shí)，點(diǎn) p的坐標(biāo)中必有一個(gè)為0. 3）由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù) , 正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。探究：如果知道角終邊上一點(diǎn), 而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求

6、它的三角函數(shù)值呢? 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 是一個(gè)任意角， 終邊上任意一點(diǎn)p（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為( , )x y ，它與原點(diǎn)的距離為2222(| |0)r rxyxy，則：sinyr； cos=rx；tan=xy. 注意： 一個(gè)角的三角函數(shù)值只與這個(gè)角的終邊的位置有關(guān)，而與點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。為計(jì)算方便， 我們把半徑為1的圓（單位圓） 與角的終邊的交點(diǎn)選為點(diǎn)的理想位置。典型例題：例: 求43角的正弦、余弦和正切值變式練習(xí)1 求56角的正弦、余弦和正切值小結(jié)： 作角終邊求角終邊與單位圓的交點(diǎn)利用三角函數(shù)定義來(lái)求, 或在角的終邊上找一個(gè)容易找到的點(diǎn)，利用sinyr， cos=rx，ta

7、n=xy求三角函數(shù)值. 2、求35角的正弦、余弦和正切值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例: 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(4, 3) ，求 sin、cos、tan的值；練習(xí) ：已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(-4, 2) ，求 sin、cos、tan的值；方法總結(jié) ：首先判斷角的終邊是否在單位圓上，再確定做題的方法。例：已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(4a, 3a)(a 0) ，求 2sin+cos的值；例：已知角的終邊在直線y=-3x 上，求 sin,cos,tan的值。.cos,sin

8、,1010cos)0)(3 ,(求，且終邊上一點(diǎn)練習(xí)：已知角xxp的定義域。例：求xxxytancossin的定義域。練習(xí)：求函數(shù)xysincosx當(dāng)堂檢測(cè)1. tan()4（）. a. 1 b. 1 c. 22 d. 222. 7sin6（）. a. 12 b. 12 c. 32 d. 323. 如果角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 始邊在x軸的正半軸重合， 終邊在函數(shù)5(0)yxx的圖象上，那么tan的值為（）. a. 5 b. 5 c. 15 d. 154. cos( 30 ) . 5. 已知點(diǎn)(3 , 4 )paa (0)a在角 的終邊上，則tan= . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

9、- - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載課后作業(yè)：（一）選擇題1、已知角 的終邊過(guò)點(diǎn)p（ 1,2 ）,cos 的值為（） a 55 b5 c552 d252、是第二象限角，p（x, 5 ） 為其終邊上一點(diǎn)， 且 cos=42x，則 sin 的值為 （）a410 b46 c42 d410二填空題3、角的終邊上有一點(diǎn)p（m ，5） ，且)0(,13cosmm，則 sin +cos=_4、已知角 的終邊在直線y = 33x上，則 sin = ；tan= 三 解答題5、已知角終邊上一點(diǎn)p與x軸的距離和與y 軸的距離之比為3

10、4（且均不為零） ，求 2sin+cos的值精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載知識(shí)點(diǎn)二：任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：由于0r，所以任意角的三角函數(shù)的符號(hào)取決于點(diǎn)p所在的象限當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)， 點(diǎn)p在第一象限，0,0 xy， 所以 sin0,cos0,tan0 ；當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)，點(diǎn)p在第二象限，0,0 xy， 所以 sin0,cos0,tan0 ；當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，點(diǎn) p在第三象限，0,0 xy， 所以 sin0,cos0,tan0 ；當(dāng)角

11、的終邊在第四象限時(shí)，點(diǎn) p在第四象限，0,0 xy， 所以 sin0,cos0,tan0 任意角的三角函數(shù)符號(hào)的記憶方法：典型例題：例： 判定下列各角的各三角函數(shù)符號(hào)：（1）4327 （227547tan)445cos)36sin6cos)6230cos105sin)5分析關(guān)鍵是判定角所在的象限練習(xí)： 判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào)。3tan)4)672tan()3)4sin()2250cos)1例： 根據(jù)條件sin0且tan0, 確定是第幾象限的角. 練習(xí)：是第幾象限角？請(qǐng)你判斷0tan0sin練習(xí)：書第15 頁(yè)練習(xí)練習(xí) ：請(qǐng)你求下列各角的三角函數(shù)值并背會(huì)：2 ,611,35,47,34,23,3

12、4,45,67,65,43,32,2,3,4,6,0全正正切正余弦正正弦正x y o 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí) ：求下列三角函數(shù)的值：)611tan()249cos)1例: 求下列各式的值: (1) 5cos1803sin902tan 06sin 270 ；(2) cossintan3sinsincos364344. 鞏固性練習(xí)1計(jì)算： 5sin902cos03tan180cos180 2計(jì)算：213costantansincos24332當(dāng)堂檢測(cè)：1

13、、判別下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：1）sin250 2）cos（4） 3）tan( 66636) 4）tan113 5）sin174 6）cos10202、根據(jù)下列已知，判別 所在象限：1）sin 0且 tan 0 、 tancoscosx呢？當(dāng)堂檢測(cè)：1、作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）3；（2）56；（3）23；（4）13654tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(12與與與、比較大?。?、 利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍;21sin)1(x.21cos)2(x)(21sin204的取值范圍是的上滿足，、在xx，65.d326.c656.b

14、6, 0.a5、求滿足下列條件的角x的范圍：（1）0tansinxx；（2）xxcos|cos|6、求證：2cossin1。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載知識(shí)點(diǎn)五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系推導(dǎo)： 以正弦線、余弦線和半徑三者的長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，而且，由勾股定理有：222opmpom即1cossin22，根據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)zkk,2時(shí)，有tancossin, 討論幾個(gè)問(wèn)題：a.上述兩個(gè)關(guān)系式，在一些什么情況下成立？b.“ sin2cos21”對(duì)嗎？c. 同角三角

15、函數(shù)關(guān)系式可以解決哪些問(wèn)題？（求值：已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)的值；化簡(jiǎn)；證明）d.從上面兩個(gè)公式，你還能推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的其它關(guān)系嗎？22222222222cossin4tancottanseccoscscsin1141cottan; 1seccos; 1cscsin3.cotsincos;tancossin2;tan11cos;cossin21)cos(sin.csc1cot;sec1tan; 1cossin1”的妙用：、“、倒數(shù)關(guān)系：、商數(shù)關(guān)系：、平方關(guān)系：種關(guān)系：注：同角三角函數(shù)的幾12cot2tan; 13cos3sin32sin)(sinsinsinsin21

16、2222）、角的變換：（）、（義；要使上述各種式子有意）、角注意：（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。 在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍， 以便進(jìn)行定號(hào)； 在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。典型例題：例： 已知 cos35，求 sin ，tan 的值 . 練習(xí)： 已知 sin 513，求 cos， tan 的值 . 小結(jié)： 注意符號(hào)（象限確定） ；同角三基本式的運(yùn)用（分析聯(lián)系）；知一求二 .

17、 練習(xí)：已知 tan m（m 0） ，求 sin ，cos的值 . （分象限討論）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載 化簡(jiǎn) costan . （化簡(jiǎn)方法：切化弦） 化簡(jiǎn)下列各式：21cos 1100例： 1）已知 0,的值。求cossin,16960cossin2) 已知 0,的值。求cossin,51cossin3）已知的值。求33cossin,cossinm。求已知）、求）、已知例：cot,sin,178cos2.tan,cos,54sin1小結(jié) ：給值求值：

18、已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值 . 化簡(jiǎn)的要求（化簡(jiǎn)后的式子，三角函數(shù)的種類最少；分母不含根式；項(xiàng)數(shù)最少；能求出值的求出值）例：化簡(jiǎn)：4cos4sin2122cos3cossin3sin2)2sin4cos3cossin)12tan，求值例：已知.sin-cossincossincossincos,cos2sin3的值求練習(xí)：已知例：用多種方法證明：1sincosxxcos1sinxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 14 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載小結(jié)方法：由其它等式而轉(zhuǎn)化（先證交叉乘積相等）；或證和（差），或證商比較法；直接證明左邊等于右邊或右邊等于左邊或可以左右歸一。. 練習(xí)：求證： sin2x tan2x =tan2xsin2x. 練習(xí)： 已知 sin=2sin ，tan=3tan ，求2cos的值 . 已知4sin+4cos=1，求 sin +cos的值 . 小結(jié) ：注意象限定符號(hào)和聯(lián)系關(guān)系式. 靈活運(yùn)用公式，注意平方關(guān)系，切化弦；化繁為簡(jiǎn). 當(dāng)堂檢測(cè)：1. 已知 的一個(gè)三角函數(shù)值，求其它三角函數(shù)值：cos13； tan 4 .tancos,53sin2的值求