大學(xué)數(shù)學(xué)：ch4-習(xí)題課(2)

1、習(xí)題課習(xí)題課(2)冪級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)付氏級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù))(0 xunn 求和求和)(xS展開展開(在收斂域內(nèi)進行在收斂域內(nèi)進行)(0 xunn基本問題基本問題：判別斂散；：判別斂散；求收斂域；求收斂域；求和函數(shù)；求和函數(shù)；級數(shù)展開級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù)為傅立葉級數(shù).xnbxnaxunnnsincos)(當(dāng)為傅氏系數(shù)為傅氏系數(shù)) 時時,時為數(shù)項級數(shù)時為數(shù)項級數(shù);0 xx 當(dāng)nnnxaxu)(當(dāng)時為冪級數(shù)時為冪級數(shù);nnba ,(1、求冪級數(shù)收斂域的方法、求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑先求收斂半徑 R , 再討論再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式

2、冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法處的斂散性處的斂散性 .211(1)nnnxn 如如21.2nnnnx 如如2、冪級數(shù)和函數(shù)的求法、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求部分和式極限求部分和式極限求和求和 映射變換法映射變換法 逐項求導(dǎo)或求積分逐項求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導(dǎo)對和式積分或求導(dǎo))(xS難難直接求和直接求和: 直接變換直接變換,間接求和間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值再代值求部分和等求部分和等 初等變換法初等變換法: 分解、套用公式分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)

3、求和求和nnnxa03、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法 直接展開法直接展開法 間接展開法間接展開法 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì)利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式利用泰勒公式1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法函數(shù)的冪級數(shù)展開法2. 函數(shù)的付式級數(shù)展開法函數(shù)的付式級數(shù)展開法系數(shù)公式及計算技巧系數(shù)公式及計算技巧; 收斂定理收斂定理; 延拓方法延拓方法2111(,)2!xnexxxxn 13211( 1)sin(,)3!(21)!nnxxxxxn 2246111( 1)cos1(,)2!4!6!(2 )!nnxxxxxxn 11( 1)ln(1)( 11)nnnxxxn

4、 2(1)(1)12!(1)(1) (-1,1)!nxxxnxn 記住以下展開式記住以下展開式111( 3 3),(1)_.nnnnnna xnax 1.1.設(shè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為， 則冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為， 則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為一、填空和選擇題一、填空和選擇題( 2,4) 313 x1111112,1.nnnnnnnnnnnnnnnxa xna xna xnaxan ，（） ，收收斂斂半半徑徑相相同同(D) 111212112 () 1nnnnnnna xb xRRRRabxRR 設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù)與與的的收收斂斂半半徑徑分分別別為為與與，當(dāng)當(dāng)時時，求求的的收收斂斂半半徑徑；當(dāng)

5、當(dāng)時時，能能否否例例求求收收斂斂半半徑徑？ 12min,RRR 解解設(shè)設(shè) O1R1R 2R2R 收斂收斂、時，時，當(dāng)當(dāng)nnnnxbxaRx 11收斂。收斂。 1)(nnnxba 210,maxRRR 中一個收斂一個發(fā)散。中一個收斂一個發(fā)散。、時，時，當(dāng)當(dāng)nnnnxbxaRxR 110。發(fā)散發(fā)散 1)(nnnxba發(fā)散。發(fā)散。時，時，當(dāng)當(dāng)nnnxbaRx 1)(例例2.13( 1) n nnnxn 求冪級數(shù)的收斂半徑.求冪級數(shù)的收斂半徑.解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù),lim1nnaannnnalim極限不存在極限不存在1)(kkx,24212kkkxk

6、1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原級數(shù)原級數(shù) =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑其收斂半徑121min,4RRR注意注意: 3. 冪級數(shù)冪級數(shù)1112 ln1nnnnxn的收斂域為的收斂域為 . ( 2,222( 1)(1)nnnn 為偶數(shù)為偶數(shù)0 0為奇數(shù)為奇數(shù)3.(,)2xxeex 2.sincos(,)xxx x 解解121( 1)( ), (0)0,(21)nnnxS xSnn 令則令則121( 1)(21)nnnxnn 1 1. .求求的的和和函函數(shù)數(shù). .122212( )2(

7、1)11nnnSxxxx 202( )(0)112arctanxSxSdxxxx 1211( 1)( )2,(0)021nnnxSxSn ( )2arctan1Sxxx00( )2arctan1xxSx dxxdxx2( )(0)2 arctanln(1)S xSxxx2( )2 arctanln(1)1S xxxxx與與和和函函數(shù)數(shù)。的的收收斂斂域域！求求 753!78!56342xxxx2解解,)!12(2)1()(1211 nnxxsnnn令令兩邊逐項求積分得兩邊逐項求積分得 xnnnxdxnnxdxxs012110)!12(2)1()()sin()(xxxs 故故21100121101

8、2( )( 1)(21)!2 ( 1)(21)!nxxnnnxnnnxS x dxdxnnxdxn 即即),(cossin xxxx),(sin xxx)!12()1()!12()1(1211211 nxxnxnnnnnn24212!4!(2 )!nxxxn 求求：的的收收斂斂域域與與和和函函數(shù)數(shù)),()0(10)!22()!2(lim)()(lim)1(221 xRxnxnxxuxunnnnnn),(2)!2()!2(2!)1(1!)(,!0202000 xeenxnxxneenxenxexxnnnnnnnxxnnxnnx解解3.2421( )2!4!(2 )!nxxxs xn 求求：的的收

9、收斂斂域域與與和和函函數(shù)數(shù)3.321( )3!(21)!nxxsxxn 222( )12!(22)!nxxsxn 242( )12!4!(2 )!nxxxs xn( )( )0sxs x解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x011111( 1)5(5)11532 (5)22221 ()2nnnnxxxxx 32( )(2)(3)32xf xxxxx211032( )( 1) (5)5623(3,7)nnnnnxf xxxxx 解解0111( 1)5(5)1123(5)333nnnnxxxx 1233( )1(1)22fxxx解解23111 3(2

10、3)!11( 1). 1,122 42 4 6(2 )!nnnxxxxxn 由由1233( )1(1)22fxxx有有233111 3(1111222 42 4 6(23)!( 1)1.(2 )!nnxxxnxn （）（）（）（）（）（）（）（）0,234131111( )(1)12222 431 31(23)!1( 1).2 4 64(2 )!4nnxxf xfxxnxn 2 2（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）0,232321( )1(1)3 333(1)(2).(1)2 2221(1)0,2!nnf xxxnxn 又解又解: 直接代公式得直接代公式得的值。的值。求求設(shè)設(shè))0(,)1

11、(1)()100(3fxxxf 23)1(1)1(2)()(xxxf 一一方法方法 111)(nxx二二方法方法 112)1(1nnxx 223)1()1(2nxnnx 21223)1(21)1(21)1(1)(nnxnnxnnxxxf112 nxnnxn 02)1(nnxnf 0)(!)0(!)0()1()(2nfnn !100)101()0(2)100( f例例3例例4111(1)( )lnarctan412.(2)ln(1)1xf xxxxxxxx 將將展展開開為為 的的冪冪級級數(shù)數(shù)將將展展開開為為的的冪冪級級數(shù)數(shù)。解解(1)1)(arctan21)11(ln41)( xxxxf4421

12、11121111141xxxxx 1114 xxnn)11(14)( )0()(0114140 xnxdxxdxxffxfxnnnnx0)0( f對上式兩邊積分得對上式兩邊積分得 11414)(nnnxxf( 11)x )1ln(ln1lnxxxx )1(2ln)1(1ln xx解解(2) 11)1()1()1(1ln(nnnnxx2 , 0(,111 xx即即211ln2ln)1(2ln xx而而 112)1()1(2lnnnnnnx3 , 1(1211 xx即即， 2 , 0() 1()211 () 1(2ln1ln11 xnxxxnnnn2( )arctanln 1.f xxxx六、將展

13、開成麥六、將展開成麥克勞林級數(shù)克勞林級數(shù)解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x12111( 1)2(21)!(1)nnnnxnx 七七、將將級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)展展開開成成的的冪冪級級數(shù)數(shù)解解設(shè)法用已知展開式

14、來解設(shè)法用已知展開式來解的展開式，的展開式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(21( )2( 11)12nf xxxn 八、將函數(shù)內(nèi)展開成八、將函數(shù)內(nèi)展開成以為周期的付氏級數(shù)，并由此求級數(shù)的和以為周期的付氏級數(shù)，并由此求級數(shù)的和解解,)11(2)(是是偶偶函函數(shù)數(shù) xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk