實變函數(shù)題庫集答案21頁

1、實變函數(shù)試題庫及參考答案 本科一、題 1設為集合，則（用描述集合間關系的符號填寫）2設是的子集，則 （用描述集合間關系的符號填寫）3如果中聚點都屬于，則稱是閉集4有限個開集的交是開集5設、是可測集，則（用描述集合間關系的符號填寫）6設是可數(shù)集，則=7設是定義在可測集上的實函數(shù)，如果，是可測集，則稱在上可測8可測函數(shù)列的上極限也是可測函數(shù)9設，則10設在上可積，則在上可積11設為集合，則（用描述集合間關系的符號填寫）12設，則=（其中表示自然數(shù)集的基數(shù)）13設，如果中沒有不屬于，則稱是閉集14任意個開集的并是開集15設、是可測集，且，則16設中只有孤立點，則=17設是定義在可測集上的實函數(shù)，如果

2、，是可測，則稱在上可測18可測函數(shù)列的下極限也是可測函數(shù)19設，則20設是上的單調(diào)增收斂于的非負簡單函數(shù)列，則21設為集合，則22設為有理數(shù)集，則=（其中表示自然數(shù)集的基數(shù)）23設，如果中的每個點都是內(nèi)點，則稱是開集24有限個閉集的交是閉集25設，則026設是中的區(qū)間，則=的體積27設是定義在可測集上的實函數(shù)，如果，是可測集，則稱在上可測28可測函數(shù)列的極限也是可測函數(shù)29設，則30設是上的非負可測函數(shù)列，且單調(diào)增收斂于，由勒維定理，有31設為集合，則=32設為無理數(shù)集，則=（其中表示自然數(shù)集的基數(shù)）33設，如果中沒有不是內(nèi)點的點，則稱是開集34任意個閉集的交是閉集35設，稱是可測集，如果，3

3、6設是外測度為零的集合，且，則=37設是定義在可測集上的實函數(shù)，如果，是可測，（）則稱在上可測38可測函數(shù)列的上確界也是可測函數(shù)39設，則40設，那么由黎斯定理，有子列，使于41.設為兩個集合,則.（等于）42.設,如果滿足(其中表示的導集),則是閉.43.若開區(qū)間為直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間,則滿(i) (ii)44.設為無限集.則的基數(shù)(其中表示自然數(shù)集的基數(shù)) 答案：45.設為可測集, ,則. 答案： 46.設是定義在可測集上的實函數(shù),若對任意實數(shù),都有是可測集上的可測函數(shù).47.設是()的內(nèi)點,則. 答案48.設為可測集上的可測函數(shù)列,且,則由_黎斯_定理可知得,存在的子列,使得.49.

4、設為可測集()上的可測函數(shù),則在上的積分值不一定存在且在上不一定可積.50.若是上的絕對連續(xù)函數(shù),則是上的有界變差函數(shù).51設為集合，則 答案=52設，如果滿足（其中表示的內(nèi)部），則是開集53設為直線上的開集，若開區(qū)間滿足且，則必為的構(gòu)成區(qū)間54設，則的基數(shù)=(其中表示自然數(shù)集的基數(shù))55設為可測集，且，則 答案 =56設是可測集上的可測函數(shù)，則對任意實數(shù)，都有是可測集57若是可數(shù)集，則 答案=58設為可測集上的可測函數(shù)列，為上的可測函數(shù)，如果，則 不一定成立59 設為可測集上的非負可測函數(shù)，則在上的積分值一定存在60若是上的有界變差函數(shù)，則必可表示成兩個遞增函數(shù)的差（或遞減函數(shù)的差）多項選擇

5、題（每題至少有兩個以上的正確答案）1設，則（ ACD ） 是不可數(shù)集 是閉集 中沒有內(nèi)點 2設是無限集，則（ AB ） 可以和自身的某個真子集對等 （為自然數(shù)集的基數(shù)） 3設是上的可測函數(shù)，則（ABD ） 函數(shù)在上可測 在的可測子集上可測 是有界的 是簡單函數(shù)的極限4設是上的有界函數(shù)，且黎曼可積，則（ABC ） 在上可測 在上可積 在上幾乎處處連續(xù) 在上幾乎處處等于某個連續(xù)函數(shù)5設，如果至少有一個內(nèi)點，則（ BD ） 可以等于 可能是可數(shù)集 不可能是可數(shù)集6設是無限集，則（ AB ） 含有可數(shù)子集 不一定有聚點 含有內(nèi)點 是無界的7設是上的可測函數(shù)，則（ BD ） 函數(shù)在上可測 是非負簡單函數(shù)

6、列的極限 是有界的 在的可測子集上可測8設是上的連續(xù)函數(shù)，則（ ABD ） 在上可測 在上可積，且 在上可積，但 在上有界9設是狄利克萊函數(shù)，即，則（ BCD ） 幾乎處處等于 幾乎處處等于 是非負可測函數(shù) 是可積函數(shù)10設，則（ ABD ） 是可測集 的任何子集是可測集 是可數(shù)集 不一定是可數(shù)集11設，則（ AB ） 當是可測集時，是可測函數(shù) 當是可測函數(shù)時，是可測集 當是不可測集時，可以是可測函數(shù) 當是不是可測函數(shù)時，不一定是可測集12設是上的連續(xù)函數(shù)，則（BD ） 在上有界 在上可測 在上可積 在上不一定可積13設在可測集上可積，則（AC ） ，都是上的非負可積函數(shù) 和有一個在上的非負可

7、積 在上可積 在上不一定可積14設是可測集，則（ AD ） 是可測集 的子集是可測集 的可數(shù)子集是可測集15設，則（ CD ） 幾乎處處收斂于 一致收斂于 有子列，使于 可能幾乎處處收斂于16設是上有界函數(shù)，且可積，則（BD ） 在上黎曼可積 在上可測 在上幾乎處處連續(xù) 在上不一定連續(xù)17. 設,則(CD)（A）是可數(shù)集（B）是閉集（C）中的每個點均是聚點（D）18.若()至少有一個內(nèi)點，則（BD）（A）可以等于（B）（C）可能是可數(shù)集（D）不可能是可數(shù)集19設是可測集，則的特征函數(shù)是（ABC）（A）上的符號函數(shù)（C）上的連續(xù)函數(shù)（B）上的可測函數(shù) （D）上的連續(xù)函數(shù)20 設是上的單調(diào)函數(shù)，則

8、（ACD）（A）是上的有界變差函數(shù)（B）是上的絕對連續(xù)函數(shù)（C）在上幾乎處處收斂（D）在上幾乎處處可導21設，則（ AC ）（A）是可數(shù)集 （B）是閉集（C） （D）中的每一點均為的內(nèi)點22若的外測度為0，則（ AB ）（A）是可測集 （B）（C）一定是可數(shù)集 （D）一定不是可數(shù)集23設，為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，為上幾乎處處有限的可測函數(shù)，如果，則下列哪些結(jié)果不一定成立（ ABCD ）（A）存在 （B）在上-可積（C） （D）24若可測集上的可測函數(shù)在上有積分值，則（ AD ）（A）與至少有一個成立（B）且 （C）在上也有-積分值（D）三、 單項選擇1下列集合關系成立的是（ A ） 2若

9、是開集，則（ B ） 4設是上一列非負可測函數(shù)，則（ B） 5下列集合關系成立的是（ A ） 6若是閉集，則（ C ） 7設為無理數(shù)集，則（ C ） 為閉集 是不可測集 9下列集合關系成立的是（B ） 10設，則( A ) 11設為康托集，則（ B ） 是可數(shù)集 是不可數(shù)集 是開集13下列集合關系成立的是（ A） 若則 若則 若則 若則14設，則（ A ） 15設，則（ B ） 是中閉集 是中完備集16設，是上的可測函數(shù)，則（ B ） 不一定是可測集 是可測集 是不可測集 不一定是可測集7下列集合關系成立的是（A）（A） （B）（C） （D）18. 若是開集，則 （ B ）（A）的導集 （B）

10、的開核（C） （D）的導集19. 設的康托集，則(C)（A）為可數(shù)集 （B）為開集（C） （D）20、設是中的可測集，是上的簡單函數(shù)，則 （ D ）（A）是上的連續(xù)函數(shù) （B）是上的單調(diào)函數(shù)（C）在上一定不可積 （D）是上的可測函數(shù)21下列集合關系成立的是（ A ）（A） （B）（C） （D）22. 若是閉集，則 （ B ）（A） （B）（C） （D）23. 設的有理數(shù)集，則（ C ）（A） （B）為閉集（C） （D）為不可測集24.設是中的可測集，為上的可測函數(shù)，若，則 （ A ）（A）在上，不一定恒為零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 四、判斷題1. 可數(shù)個閉集的并是閉集. （

11、× ）2. 可數(shù)個可測集的并是可測集. （ ）3. 相等的集合是對等的. （ ）4. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體是可測集. （ ）5. 可數(shù)個集的交是集. （ × ）6. 可數(shù)個可測函數(shù)的和使可測函數(shù). （ ）7. 對等的集合是相等的. (× )8. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體是零測集. （ × ）9. 可數(shù)個集的并是集. （ ）10. 零測集上的函數(shù)是可測函數(shù). （ ）11. 對等的集合不一定相等. （ ）12. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體是零測集.（ ）13. 可數(shù)個開集的交是開集 （ × ）14. 可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù).

12、（ ）15. 對等的集合有相同的基數(shù). （ ）16. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體的測度大于 （ × ）17. 可列個閉集的并集仍為閉集 （ × ）18. 任何無限集均含有一個可列子集 （ ）19. 設為可測集，則一定存在集，使，且. （ ）20. 設為零測集，為上的實函數(shù)，則不一定是上的可測函數(shù)（ × ）21. 設為可測集上的非負可測函數(shù)，則 （ × ） 22. 可列個開集的交集仍為開集 （× ）23. 任何無限集均是可列集 （ × ）24. 設為可測集，則一定存在集，使，且. （ ）25. 設為零測集，則為上的可測函數(shù)的充要條件

13、是：實數(shù)都有是可測集 （ ）26. 設為可測集上的可測函數(shù)，則一定存在. （ × ） 五、簡答題1. 簡述無限集中有基數(shù)最小的集合，但沒有最大的集合.答：因為任何無限集均含有可數(shù)集，所以可數(shù)集是無限集中基數(shù)最小的，但無限集沒有基數(shù)最大的，這是由于任何集合，的冪集的基數(shù)大于的基數(shù).2. 簡述點集的邊界點，聚點和內(nèi)點的關系.答: 內(nèi)點一定是聚點，邊界點不一定是聚點，點集的邊界點或為孤立點或為聚點.3. 簡單函數(shù)、可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關系？答：連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)可表示成簡單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)的極限4. 上單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關系？答：單調(diào)函數(shù)是

14、有界變差函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)之差.5. 簡述集合對等的基本性質(zhì).答：；若，則；若，且，則.6. 簡述點集的內(nèi)點、聚點、邊界點和孤立點之間關系.答：內(nèi)點一定是聚點，內(nèi)點不是孤立點，邊界點由點集的孤立點和聚點組成.7. 可測集與開集、集有什么關系？答：設是可測集，則，開集，使，使，或 集，使，且.8. 上單調(diào)函數(shù)、有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)有什么關系？答：絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù)，反之不然；有界變差函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù).9. 簡述證明集合對等的伯恩斯坦定理.答：若，又，則10. 簡述中開集的結(jié)構(gòu).答: 設為中開集，則可表示成中至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)

15、間的并.11. 可測集與閉集、集有什么關系？答：設是可測集，則，閉集，使或 集，使.12. 為什么說絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微？答：因為絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差，由若當分解定理，它可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限的導數(shù)，所以絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微.13. 簡述連續(xù)集的基數(shù)大于可數(shù)集的基數(shù)的理由.答:連續(xù)集是無限集，因而包含可數(shù)子集，又連續(xù)集是不可數(shù)集，所以連續(xù)集的基數(shù)大于可數(shù)集的基數(shù).14. 簡述中開集的結(jié)構(gòu).答：中開集可表示成可數(shù)個互不相交的半開半閉區(qū)間的并15. 可測函數(shù)列幾乎處處收斂、依測度收斂和近一致收斂的關系？答：設是可測集上的一列可測函數(shù)，那當時，于，必有.反之不

16、成立，但不論還是，存在子列，使于.當時，于，由定理可得近一致收斂于，反之，無需條件，結(jié)論也成立.16. 為什么說有界變差函數(shù)幾乎處處可微？答：由若當分解定理，有界變差函數(shù)可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差，而單調(diào)函數(shù)幾乎處處可微，所以有界變差函數(shù)幾乎處處可微.17. 簡述無窮多個開集的交集是否必為開集？答：不一定，如18. 可測集上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有什么關系？答：簡單函數(shù)必是可測函數(shù)但可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù)，可測函數(shù)一定可表示成簡單函數(shù)列的極限形式.19. 上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有什么關系？答：單調(diào)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成單調(diào)函數(shù)之差.20.

17、簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集？答：不一定 如21. 可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關系？答：上連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)但上的可測函數(shù)不一定時連續(xù)函數(shù)，上可測函數(shù)在上是“基本上”連續(xù)的函數(shù)22. 上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關系？答：絕對連續(xù)函數(shù)必為有界變差函數(shù)但有界變差函數(shù)不一定為絕對連續(xù)函數(shù)六、計算題1. 設，其中為中有理數(shù)集，求.解：因為，所以于，于是，而在上連續(xù)，從而黎曼可積，故由黎曼積分與勒貝格積分的關系，因此.2. 設為中全體有理數(shù)，求.解：顯然在上可測，另外由定義知，于所以 因此.3. 設，為康托集，求.解：因為，所以于于是而在上連續(xù)，所以因此.4. 設，求.解：因為

18、在上連續(xù)，所以可測又而，所以.因此由有界控制收斂定理5. 設，為中有理數(shù)集，求.解：因為，所以于于是而在上連續(xù)，所以黎曼可積，由牛頓萊布尼公式因此6. 設，求.解：因為在上連續(xù)，所以可測又而，所以.因此由有界控制收斂定理7. 設，為康托集，求.解：因為，所以于于是而在上連續(xù)，所以因此.8. 求.解：令顯然在上可測，且因為不難驗證，當足夠大時，是單調(diào)遞減非負函數(shù)，且，所以由勒貝格控制收斂定理故.9. 設，求.證明 記是中有理數(shù)集，是中無理數(shù)集，則，且，所以 .10 求.證明 易知對任意，設，則，當時，.則是單調(diào)減函數(shù)且非負（）；又，由單調(diào)收斂定理得，即，再由控制收斂定理得11. 設，其中為康托集

19、，求.解：因為為康托集，故，所以所以12. 求，求.解：易知：令，則所以又因為在上可積，所以由控制收斂定理，得 七、證明題1證明集合等式：證明2設是中的無理數(shù)集，則是可測集，且證明 設是中的有理數(shù)集，則是可數(shù)集，從而，因此是可測集，從而可測，又，故是可測集.由于，所以，故3設是上的可測函數(shù)，則是可測集證明 設為全體有理數(shù)所成之集，則因為是上的可測函數(shù)，所以，是可測集，于是由可測集性質(zhì)知是可測集4設是上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)，有證明 因為在上可測，所以在上非負可測，由非負可測函數(shù)積分性質(zhì)， 而，所以 5設是上的可積函數(shù)，是的一列可測子集，且，則證明 因為，所以，當時，又在上可積，所以由積分的絕

20、對連續(xù)性，當時于是當時，因此，即6證明集合等式：證明 7設是的可測子集，且，則證明 因為，所以，于是另一方面，所以 于是8設是定義在可測集上的實函數(shù)，為的可測子集（），且，則在上可測的充要條件是在每個上可測證明 對任何實數(shù)，因為 所以在上可測的充要條件是對每個，在每個上可測9設是上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)，有證明 因為在上可測，所以是非負可測函數(shù)，于是由非負可測函數(shù)積分性質(zhì)，而，所以 10設是上的可積函數(shù)，為的一列可測子集，如果則證明 因在上可積，由積分的絕對連續(xù)性知，對任意，存在，對任何，當時有，由于，故對上述的，存在，當時，且有，于是 ，即 11證明集合等式：證明 12設是零測集，則的任何子集是可測集，且證明 設，由外測度的單調(diào)性和非負性，所以 ，于是由卡氏條件易知是可測集13設是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，且，則.證明 對任何正數(shù)，由于 所以 于是 故14設是上可積函數(shù)，則在上也是可積的證明 因是上可積，所以在上可積，從而 可積，又故在上可積15設是可測集上的非負可測函數(shù)，如果，則于證明 反證，令，則由的可測性知，是可測集.下證，若不然，則由于，所以存在，使 于是因此，矛盾，故于16證明等式：證明 17設是有界集，則.證明 因為是有界集，所以存在開區(qū)間，使 由外測度的單調(diào)性，而（其中表示區(qū)間的體積），所以 18上的