2022年一元二次方程知識點

1、一元二次方程知識點歸納1. 一元二次方程 ：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四個特點：(1) 含有一個未知數；(2) 且未知數次數最高次數是2；(3) 是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理。如果能整理為 ax2+bx+c=0(a0)的形式，則這個方程就為一元二次方程。（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0 時，應滿足（ a0）3. （重點）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個關于x 的一元二次方程，經過整理， ?都能化成如下形式ax2+bx

2、+c=0（a0） 。一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次項， a是二次項系數； bx 是一次項， b 是一次項系數； c 是常數項。練習：知識點 1.只含有一個未知數， 并且含有未知數的最高次數是2 的整式方程叫一元二次方程。1、判別下列方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“”，并說明理由. (1)2x2-x-3=0. (2)4y-y2=0. (3) t2=0. (4) x3-x2=1. (5) x2-2y-1=0. (6) 21x-3=0. (7)xx32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x2-x4+6=0. (1

3、0)3x2=4x-3. 1、若關于 x的方程 a(x1)2=2x22 是一元二次方程，則a 的值是（）（a）2 （b）2 （c ）0 （d ）不等于 2 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -2、 已知關于x的方程03122pxnxm， 當時， 方程為一次方程；當時，兩根中有一個為零a。3、已知關于x的方程2220mmxxm：（1） m 為

4、何值時方程為一元一次方程；（2） m 為何值時方程為一元二次方程。知識點二 .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：200axbxca，其中2ax是二次項，a叫二次項系數； bx是一次項， b 叫一次項系數，c是常數項。特別警示：（1） “0a”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分；（2）二次項系數、 一次項系數及常數項都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項系數時，必須先將方程化為一般形式。例題：1、指出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項. 2(2)5102.20 xx2(3)2150 x2(4)30 xx(5)3)2(2x2、 關于x的方 程062

5、32xx中a是； b 是；c是。知識點三 .一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值，叫方程的解。例題：1、已知方程2390 xxm的一個根是 1，則 m 的值是。2、設a是一元二次方程052xx的較大根， b 是0232xx較小根，那么ba的值是（）（a）-4 （b）-3 （c）1 （d）2 3、已知關于x的一元二次方程220 xkx的一個解與方程131xx的解相同。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

6、 - - - - - 第 2 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -（1） 求 k 的值；（2） 求方程220 xkx的另一個解。4. （重點）一元二次方程的解法（1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如bax2)(的一元二次方程。根據平方根的定義可知，ax是 b 的平方根，當0b時，bax，bax，當 b0，m3，n213. 四、忽視兩未知數的值中有一個是增根的情況題目 4 a為何值時，方程)1(411xxaxxxxx只有一個實數根 . 錯解：原方程化為0)1(222axx. 此方程有兩個相等的實數根時，分式方

7、程只有一個實根，0)1 (24)2(2a，21a. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -錯因：當方程0)1 (222axx的兩實根中有一個是原方程的增根，另一根是原方程的根時，命題也成立. 正解：把x0 代入0)1(222axx，得al；把x1 代入0)1 (222axx，得a5. 當1a21，2a1，3a5 時，原分式方程只有一個實

8、數根. 五、討論不定次數的方程的解時，只考慮是二次方程時的情況，忽視是一次方程時的情況 . 題目 5 已知關于x的方程02) 1(2kkxxk有實根，求k的取值范圍 . 錯解：當2k10(2k)4k(k1)0，即22k14k4k4k0，時，方程有實根，k0 且k1 時，方程有實根 . 錯因：只考慮了方程是一元二次方程時方程有根的情況.本題并沒有說明方程有“二次”和“兩根”的條件，允許它是一次方程. 正解：當k1o，即k1 時，方程化為012x，1x2-. 當k0 時，方程有實根 . 六、不理解一元二次方程的定義題目 6 方程(m1)xm212mx30 是關于 x 的一元二次方程，求m 的值.

9、錯解：由題意可得m212，m1錯因：一元二次方程滿足的條件是：只含有一個未知數； 未知數的最高次數為 2；整式方程方程經整理可轉化為一般形式：ax2bxc0(a0)本題在解題過程中忽略了一元二次方程系數不為零的條件正解： 由題意可得， m212，且 m10，m1 且 m1，m 的值是1精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -七、二次三項式

10、的配方與一元二次方程的配方的知識混淆題目 7 用配方法求 2x212x14的最小值錯解： 2x212x14x26x92(x3)22當 x3 時，原多項式的最小值是2錯因：一元二次方程配方時，二次項系數化為1，方程兩邊同時除以二次項系數，而二次三項式的配方不能除以二次項系數，而應提取二次項系數 要注意等式與代數式變形的區(qū)別正解： 2x212x142(x26x7)2(x26x92)2(x3)24當 x3 時，原多項式的最小值是-4. 八、解方程中錯誤使用等式的性質題目 8 解方程 x26x錯解：x26x，解這個方程，得 x6錯因：本題想利用等式的性質進行求解，但方程兩邊不能同除以值為零的代數式正解

11、： x26x，x26x0，x(x6)0，x10，x26中考考點解讀：根與系數的關系1已知關于x的方程062mxx的一個根為2，則_m，另一個根是。2若 x1，x2是 一 元 二 次 方 程 x2+4x+3=0的 兩 個 根 ，則 x1x2的 值 是a.4. b.3. c.-4. d.-3. 3孔明同學在解一元二次方程230 xxc時，正確解得11x，22x，則c的值為4已知 x=1 是方程 x2+bx2=0 的一個根，則方程的另一個根是( ). a .1 b.2 c.2 d.1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 15 頁

12、- - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -5 已 知a、 b 是 一 元 二 次 方 程2210 xx的 兩 個 實 數 根 ， 則 代 數 式2ababab的值等于6已知關于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一個根是 -a（a0） ，則 a-b 值為a.-1 b.0 c.1 d.2 7方程 x2-2x-1=0 的兩個實數根分別為x1，x2，則（x1-1 ） （x1-1）=_。8關于 x 的一元二次方程2(1)10axxa的一個根為 0，則實數 a 的

13、值為a 1b0 c 1 d 1或 1 9閱讀材料：如果21xx 、是一元二次方程)0(02acbxax的兩根，那么，abxx21，acxx21。這就是著名的韋達定理?，F在我們利用韋達定理解決問題：已知nm與是方程03622xx的兩根（1）填空：nm，nm；（2）計算nm11的值。10 設一元二次方程(1)(2)(0)xxm m的兩根分別為,， 且， 則,滿足（）a. 12 b.12c. 12 d. 1且2解 方 程 ：11 一元二次方程 x( x2) 2x 的根是（）a1 b2 c1 和 2 d1 和 2 12 一 元 二 次 方 程x2 4=0的 解 是； 方 程0 x2x2的 解 為_ 。

14、13已知 1 是關于x的一元二次方程2(1)10mxx的一個根，則m的值是（）a、1 b、1 c、0 d、無法確定精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -14 （ 1） x2+3x+1=0. （ 2） x24x1=0 列方程 : 15某品牌服裝原價 173 元，連續(xù)兩次降價00 x后售價價為 127 元，下面所列方程中正確的是（）a200

15、173 1127xb00173 1 2127xc200173 1127xd200127 1173x16 某城市居民最低生活保障在20xx 年是 240元， 經過連續(xù)兩年的增加， 到 20xx年提高到 345.6 元， 則該城市兩年最低生活保障的平均年增長率是. 17為落實國務院房地產調控政策，使“ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建設力度 20xx 年市政府共投資 2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到 20xx年底三年共累計投資9.5 億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同(1)求每年市政府投資的增長率；(2)若這兩年內的建設成本不變，求到20xx 年底共建設了多少萬

16、平方米廉租房根的判別式18若方程290 xkx有兩個相等的實數根，則k= _19已知關于x的一元二次方程20(0)mxnxkm有兩個實數根，則下列關于判別式24nmk的判斷正確的是 (a) 240nmk (b)240nmk (c)240nmk (d)240nmk20關于 x 的一元二次方程 x2（m2）xm1=0有兩個相等的實數根， 則 m精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -的值是a0 b8 c422d 0 或