第11章穩(wěn)恒電流與真空中的恒定磁場習(xí)題解答和分析

1、第十一章 電流與磁場11-1 電源中的非靜電力與靜電力有什么不同？答：在電路中，電源中非靜電力的作用是，迫使正電荷經(jīng)過電源內(nèi)部由低電位的電源負(fù)極移動(dòng)到高電位的電源正極，使兩極間維持一電位差。而靜電場的作用是在外電路中把正電荷由高電位的地方移動(dòng)到低電位的地方，起到推動(dòng)電流的作用；在電源內(nèi)部正好相反，靜電場起的是抵制電流的作用。 電源中存在的電場有兩種：1、非靜電起源的場；2、穩(wěn)恒場。把這兩種場與靜電場比較，靜電場由靜止電荷所激發(fā)，它不隨時(shí)間的變化而變化。非靜電場不由靜止電荷產(chǎn)生，它的大小決定于單位正電荷所受的非靜電力，。當(dāng)然電源種類不同，的起因也不同。11-2靜電場與恒定電場相同處和不同處？為什

2、么恒定電場中仍可應(yīng)用電勢概念？答：穩(wěn)恒電場與靜電場有相同之處，即是它們都不隨時(shí)間的變化而變化，基本規(guī)律相同，并且都是位場。但穩(wěn)恒電場由分布不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生，電荷本身卻在移動(dòng)。正因?yàn)榻⒎€(wěn)恒電場的電荷分布不隨時(shí)間變化，因此靜電場的兩條基本定理，即高斯定理和環(huán)路定理仍然適用，所以仍可引入電勢的概念。11-3一根銅導(dǎo)線表面涂以銀層，當(dāng)兩端加上電壓后，在銅線和銀層中，電場強(qiáng)度是否相同？電流密度是否相同？電流強(qiáng)度是否相同？為什么？ 答：此題涉及知識(shí)點(diǎn)：電流強(qiáng)度，電流密度概念，電場強(qiáng)度概念，歐姆定律的微分形式。設(shè)銅線材料橫截面均勻，銀層的材料和厚度也均勻。由于加在兩者上的電壓相同，兩者的長度又相等，

3、故銅線和銀層的場強(qiáng)相同。由于銅線和銀層的電導(dǎo)率不同，根據(jù)知，它們中的電流密度不相同。電流強(qiáng)度，銅線和銀層的不同但相差不太大，而它們的橫截面積一般相差較大，所以通過兩者的電流強(qiáng)度，一般說來是不相同的。11-4一束質(zhì)子發(fā)生側(cè)向偏轉(zhuǎn)，造成這個(gè)偏轉(zhuǎn)的原因可否是：（1）電場？（2）磁場？（3）若是電場和磁場在起作用，如何判斷是哪一種場？答：造成這個(gè)偏轉(zhuǎn)的原因可以是電場或磁場?？梢愿淖冑|(zhì)子的運(yùn)動(dòng)方向，通過質(zhì)子觀察運(yùn)動(dòng)軌跡來判斷是電場還是磁場在起作用。11-5 三個(gè)粒子，當(dāng)它們通過磁場時(shí)沿著如題圖115所示的路徑運(yùn)動(dòng)，對(duì)每個(gè)粒子可作出什么判斷？答：根據(jù)帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力規(guī)律，通過觀察運(yùn)動(dòng)軌跡的不

4、同可以判斷三種粒子是否帶電和帶電種類。11-6 一長直載流導(dǎo)線如題11-6圖所示，沿Oy軸正向放置，在原點(diǎn)O處取一電流元，求該電流元在（a，0，0），（0，a，0），（a，a，0），（a，a，a）各點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：根據(jù)畢奧-薩伐爾定律求解。´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ &#

5、180; ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 

6、0; ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 題11-5圖解：由畢奧-薩伐爾定律原點(diǎn)O處的電流元在（a，0，0）點(diǎn)產(chǎn)生的為：在（0，a，0）點(diǎn)產(chǎn)生的為：題11-6圖在（a，a，0）點(diǎn)產(chǎn)生的為：在（a，a，a）點(diǎn)產(chǎn)生的為11-7 用兩根彼此

7、平行的長直導(dǎo)線將半徑為R的均勻?qū)w圓環(huán)聯(lián)到電源上，如題11-7圖所示，b點(diǎn)為切點(diǎn)，求O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律分別求出載流直導(dǎo)線L1和L2以及導(dǎo)體圓環(huán)上并聯(lián)的大圓弧和小圓弧在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再利用磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和疊加求解。解：先看導(dǎo)體圓環(huán)，由于和并聯(lián)，設(shè)大圓弧有電流，小圓弧有電流，必有：由于圓環(huán)材料相同，電阻率相同，截面積S相同，實(shí)際電阻與圓環(huán)弧的弧長和有關(guān)，即：題11-7圖則在O點(diǎn)產(chǎn)生的的大小為而在O點(diǎn)產(chǎn)生的的大小為和方向相反，大小相等.即。直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的。直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的，方向垂直紙面向外。則O點(diǎn)總的磁感強(qiáng)度大小為11-8 一載有電流的長導(dǎo)線彎折成如題11-

8、8圖所示的形狀，CD為1/4圓弧，半徑為R，圓心O在AC，EF的延長線上.求O點(diǎn)處磁場的場強(qiáng)。分析：O點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為各段載流導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生磁感強(qiáng)度的矢量和。解：因?yàn)镺點(diǎn)在AC和EF的延長線上，故AC和EF段對(duì)O點(diǎn)的磁場沒有貢獻(xiàn)。CD段：DE段：O點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度為題圖11-9方同垂直紙面向外.題11-8圖11-9 一無限長薄電流板均勻通有電流，電流板寬為，求在電流板同一平面內(nèi)距板邊為的P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：微分無限長薄電流板，對(duì)微分電流應(yīng)用無限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場公式求解。并將再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。注意利用場的對(duì)稱性。解：在電流板上距P點(diǎn)x處取寬為并平行于電流的無限長窄條，狹條中的電流

9、為在P點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為：方向垂直紙面向里。整個(gè)電流板上各窄條電流在P點(diǎn)處產(chǎn)生的方向相同，故11-10 在半徑的“無限長”半圓柱形金屬薄片中，有電流自下而上地通過，如題11-10圖所示。試求圓柱軸線上一點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：微分半圓柱形金屬薄片，對(duì)微分電流應(yīng)用無限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場公式求解。并將場強(qiáng)矢量分解后再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。注意利用場的對(duì)稱性。 題11-10圖 解11-10圖解：無限長載流半圓形金屬薄片可看成由許多寬為的無限長電流窄條所組成，每根導(dǎo)線上的電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場大小為，方向按右手螺旋法則確定，如解11-10圖所示。，由于各電流窄條產(chǎn)生的磁場方向各不相同，P點(diǎn)的總

10、磁場應(yīng)化矢量積分為標(biāo)量積分，即11-11 在半徑為R及r的兩圓周之間，有一總匝數(shù)為N的均勻密繞平面線圈（如題11-11圖）通有電流，求線圈中心（即兩圓圓心）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：微分密繞平面線圈，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于載流螺旋線繞得很密，可以將它看成由許多同心的圓電流所組成，在沿徑向r到R范圍內(nèi)，單位長度的線圈匝數(shù)為任取半徑r，寬為dr的電流環(huán)，該電流環(huán)共有電流為題11-11圖該電流環(huán)在線圈中心產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為圓心處總磁感強(qiáng)度大小方向垂直紙面向外。11-12 如題11-12圖所示，在頂角為的圓錐臺(tái)上密繞以線

11、圈，共N匝，通以電流，繞有線圈部分的上下底半徑分別為和.求圓錐頂O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.分析：微分密繞線圈，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁場公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：只要將題11-11中的均勻密繞平面線圈沿通過中心的軸垂直上提，便與本題條件相一致，故解題思路也相似。如解11-12圖建立坐標(biāo)，取半徑為r，寬為dr的電流環(huán)的密繞線圈，其含有匝數(shù)為，通電流為因?yàn)?，。半徑為r的一小匝電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的大小為所有電流產(chǎn)生的磁場方向均沿x軸，所以其磁感強(qiáng)度大小為 題11-12圖 解11-12圖11-13 半徑為R的木球上繞有細(xì)導(dǎo)線，所繞線圈很緊密，相鄰的線圈彼此平

12、行地靠著，以單層蓋住半個(gè)球面共有N匝，如題11-13圖所示。設(shè)導(dǎo)線中通有電流，求在球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：考慮線圈沿圓弧均勻分布，微分密繞線圈，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解11-13圖解：建立如解11-13圖所示坐標(biāo)，軸垂直線圈平面，考慮線圈沿圓弧均勻分布，故在內(nèi)含有線圈的匝數(shù)為線圈中通電流時(shí)，中心O點(diǎn)處磁感強(qiáng)度為題11-13圖因?yàn)?對(duì)整個(gè)半球積分求得O點(diǎn)總磁感強(qiáng)度為11-14 一個(gè)塑料圓盤，半徑為R，帶電量q均勻分布于表面，圓盤繞通過圓心垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為.試證明（1）在圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（2）圓

13、盤的磁偶極矩為分析：均勻帶電圓盤以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)相當(dāng)于圓電流，微分帶電圓盤，計(jì)算出相應(yīng)的微分電流，利用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場公式求解。并將矢量再積分求解總的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：（1）在圓盤上取一個(gè)半徑為、寬為的細(xì)圓環(huán)，其所帶電量為題1115圖圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)后相當(dāng)于圓電流若干個(gè)圓電流在圓心產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為（2）細(xì)圓環(huán)的磁矩為轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤的總磁矩為，方向沿軸向。11-15 已知一均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T，方向沿x軸正方向，如題11-15圖所示。試求（1）通過圖中abcd面的磁通量；（2）通過圖中befc面的磁通量；（3）通過圖中aefd面的磁通量。分析：應(yīng)用磁通量概念求解。解：（1）取各面由內(nèi)向外為法線

14、正方向。則（2）（3）11-16 如題11-16圖所示，在長直導(dǎo)線AB內(nèi)通有電流，有一與之共面的等邊三角形CDE，其高為，平行于直導(dǎo)線的一邊CE到直導(dǎo)線的距離為。求穿過此三角形線圈的磁通量。分析：由于磁場不均勻，將三角形面積進(jìn)行微分，應(yīng)用磁通量概念求出穿過面元的磁通量，然后利用積分求出穿過三角形線圈的磁通量。 題11-16圖 解11-16圖解：建立如解11-16圖所示坐標(biāo)，取距電流AB為遠(yuǎn)處的寬為且與AB平行的狹條為面積元?jiǎng)t通過等邊三角形的磁通量為11-17 一根很長的銅導(dǎo)線，載有電流10A，在導(dǎo)線內(nèi)部，通過中心線作一平面S，如題圖11-17所示。試計(jì)算通過導(dǎo)線內(nèi)1m長的S平面的磁通量。分析：

15、先求出磁場的分布，由于磁場沿徑向不均勻，將平面S無窮分割，應(yīng)用磁通量概念求出穿過面元的磁通量，再利用積分求總磁通量。解：與銅導(dǎo)線軸線相距為r的P點(diǎn)處其磁感強(qiáng)度為題11-17圖 （r<R，R為導(dǎo)線半徑）。于是通過單位長銅導(dǎo)線內(nèi)平面S的磁通量為11-18 如題11-18圖所示的空心柱形導(dǎo)體，柱的內(nèi)外半徑分別為和，導(dǎo)體內(nèi)載有電流，設(shè)電流均勻分布在導(dǎo)體的橫截面上。求證導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)（）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B由下式給出：分析：應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。注意環(huán)路中電流的計(jì)算，應(yīng)該是先求出載流導(dǎo)體內(nèi)電流密度，再求出穿過環(huán)路的電流。證明：載流導(dǎo)體內(nèi)電流密度為由對(duì)稱性可知，取以軸為圓心，為半徑的圓周為積分回路，則由安培

16、環(huán)路定理得:從而有:題11-19圖如果實(shí)心圓柱，此時(shí)。題11-18圖11-19 有一根很長的同軸電纜，由兩個(gè)同軸圓筒狀導(dǎo)體組成，這兩個(gè)圓筒狀導(dǎo)體的尺寸如題11-19圖所示。在這兩導(dǎo)體中，有大小相等而方向相反的電流流過。（1）求內(nèi)圓筒導(dǎo)體內(nèi)各點(diǎn)（）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；（2）求兩導(dǎo)體之間（）的B；（3）求外圓筒導(dǎo)體內(nèi)（）的B；（4）求電纜外（）各點(diǎn)的B。分析：應(yīng)用安培環(huán)路定理求解。求外圓筒導(dǎo)體內(nèi)（）的B時(shí)，注意環(huán)路中電流的計(jì)算，應(yīng)該是先求出外圓導(dǎo)體內(nèi)電流密度，再結(jié)合內(nèi)圓筒的電流，求出穿過環(huán)路的電流。解：在電纜的橫截面，以截面的軸為圓心，將不同的半徑作圓弧并取其為安培積分回路，然后，應(yīng)用安培環(huán)路定理求解

17、，可得離軸不同距離處的磁場分布。(1)當(dāng)時(shí)， ，得B=0；(2)當(dāng)時(shí)，同理可得(3)當(dāng)時(shí)，有得(4)當(dāng)時(shí)，B=0。11-20 題11-20圖中所示為一根外半徑為的無限長圓柱形導(dǎo)體管，管中空心部分半徑為，并與圓柱不同軸.兩軸間距離?，F(xiàn)有電流密度為的電流沿導(dǎo)體管流動(dòng)，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。分析：此題屬于非對(duì)稱分布磁場的問題，因而不能直接應(yīng)用安培環(huán)路定理一次性求解，但可用補(bǔ)償法求解。即將無限長載流圓柱形導(dǎo)體管看作是由半徑為的實(shí)心載流圓柱體和一根與圓柱軸平行并相距的半徑為的反向載流圓柱體疊加而成（它們的場都可以分別直接應(yīng)用安培環(huán)路定理求解）。則空間任一點(diǎn)的場就可視作該兩個(gè)載流導(dǎo)體產(chǎn)生場的矢量疊

18、加。注意補(bǔ)償電流的計(jì)算時(shí)，應(yīng)該是先求出原來導(dǎo)體內(nèi)電流密度，按照此電流密度進(jìn)行補(bǔ)償。解：如解11-20圖所示，設(shè)半徑為的載流圓柱其電流垂直紙面向外，電流密度為 題11-20圖 解11-20圖它在空腔中P點(diǎn)產(chǎn)生的場為，其方向如解11-20圖所示，由安培環(huán)路定理可得；式中為從O點(diǎn)引向P點(diǎn)的矢徑。同理可求得半徑為的反向載流的小圓柱在P點(diǎn)產(chǎn)生磁場，方向如解11-21圖，即；式中為從O¢點(diǎn)引向P點(diǎn)的矢徑。則 式中為從指向的矢量。由于，所以得的方向垂直，而大小為,空腔內(nèi)的磁場為均勻磁場。11-21 一電子在的勻強(qiáng)磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑，某時(shí)刻電子在A點(diǎn)，速度向上，如題11-21圖所示。（1）試

19、畫出電子運(yùn)動(dòng)的軌道；（2）求電子速度的大??；（3）求電子動(dòng)能。分析：應(yīng)用運(yùn)動(dòng)電荷在勻強(qiáng)磁場中所受洛倫茲力公式并結(jié)合牛頓第二定律求解。解：（1）由洛倫茲力公式：得電子的運(yùn)動(dòng)軌跡為由A點(diǎn)出發(fā)剛開始向右轉(zhuǎn)彎半徑為r的圓形軌道。（2）由：得：（3）題11-22圖題11-21圖11-22 把2.0keV的一個(gè)正電子射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場內(nèi)（題11-22圖），其速度矢量與成89°角，路徑成螺旋線，其軸在的方向.試求這螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期、螺距p和半徑。分析：應(yīng)用洛倫茲力分析帶電粒子在均勻磁場中的運(yùn)動(dòng)求解。注意分析在的方向和垂直的運(yùn)動(dòng)不同特點(diǎn)。解：帶電粒子在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)與成q=89

20、6;時(shí)，其軌跡為螺旋線。則11-23 在霍耳效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，寬1.0cm，長4.0cm，厚的導(dǎo)體，沿長度方向載有3.0A的電流，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.5T的磁場垂直地通過該薄導(dǎo)體時(shí)，產(chǎn)生的橫向霍耳電壓（在寬度兩端），試由這些數(shù)據(jù)求（1）載流子的漂移速度；（2）每立方厘米的載流子數(shù)目；（3）假設(shè)載流子是電子，試就一給定的電流和磁場方向在圖上畫出霍耳電壓的極性。分析：帶電粒子在均勻電場和磁場中運(yùn)動(dòng)。利用霍耳效應(yīng)相關(guān)公式求解。解：（1）載流子的漂移速度（2）每立方厘米的載流子數(shù)目因?yàn)殡娏髅芏龋核暂d流子密度（3）略11-24 某瞬間a點(diǎn)有一質(zhì)子A以沿題11-24圖中所示方向運(yùn)動(dòng)。相距遠(yuǎn)處的b點(diǎn)有另一質(zhì)子B

21、以沿圖示方向運(yùn)動(dòng)。在同一平面內(nèi)，求質(zhì)子B所受的洛倫茲力的大小和方向。分析：當(dāng)考察兩運(yùn)動(dòng)電荷的相互作用時(shí)，可從運(yùn)動(dòng)電荷B在運(yùn)動(dòng)電荷A形成的磁場中運(yùn)動(dòng)著手，求得所受磁力的大小和方向。解：質(zhì)子A以運(yùn)動(dòng)經(jīng)過a點(diǎn)的瞬間在b點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為，方向垂直紙面向外。質(zhì)子B以運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)過b的同一瞬間受洛倫茲力為方向垂直和組成的平面。11-25 如題11-25圖所示，在長直導(dǎo)線旁有一矩形線圈，導(dǎo)線中通有電流，線圈中通有電流。求矩形線圈上受到的合力是多少？已知。分析：應(yīng)用安培力公式求解載流導(dǎo)線在磁場中所受的安培力。上下兩邊受力大小相等，方向相反，互相抵消。左右兩邊在不同大小的均勻磁場中。注意利用右手定則來判斷安培力

22、方向。解：根據(jù)安培力公式:可知矩形線圈上下兩邊受力大小相等，方向相反，互相抵消，左右兩邊受力大小不等，方向相反，且左邊受力較大。矩形線圈受合力為題11-26圖題11-25圖題11-24圖11-26 在長直電流旁有一等腰梯形載流線框ABCD，通有電流，已知BC，AD邊的傾斜角為。如題11-26圖所示，AB邊與平行，AB距為，梯形高b，上、下底分別為c，d長。試求此梯形線框所受的作用力的大小和方向。分析：本題求載流導(dǎo)線在磁場中所受安培力，BC和AD兩邊受力的大小隨位置改變而改變，方向也不在同一直線上，通常采用力的正交分解再合成的辦法求解。解：由安培力公式得,方向向左。,方向向右。而BC和AD各電流

23、元受力的大小隨位置在改變，方向也不相同。同理得分別將和分解成與AB平行與垂直的分量；顯然，二者平行于AB的分量大小相等方向相反而互相抵消，而垂直于AB的分量其方向與相同。故整個(gè)梯形載流線圈受力11-27 載有電流的長直導(dǎo)線AB旁有一同平面的導(dǎo)線ab，ab長為9cm，通以電流。求當(dāng)ab垂直AB，a與垂足O點(diǎn)的距離為1cm時(shí)，導(dǎo)線ab所受的力，以及對(duì)O點(diǎn)的力矩的大小。分析：本題中各電流元受安培力方向相同，而大小隨位置變化（B隨位置變化）而變化，故需通過積分求解合力。各電流元受磁力矩方向也相同,大小也隨位置變化而變化，導(dǎo)線對(duì)O點(diǎn)的磁力矩也需通過積分求解。O1cm題11-27圖baBA解：電流ab中任意電流元受力大小為。對(duì)O點(diǎn)力矩為11-28 截面積為S，密度為的銅導(dǎo)線，被彎成正方形的三邊，可以繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如題11-28圖所示。導(dǎo)線放在方向?yàn)樨Q直向上的勻強(qiáng)磁場中，當(dāng)導(dǎo)線中的電流為時(shí)，導(dǎo)線離開原來的豎直位置偏轉(zhuǎn)一角度為而平衡，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。如。磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？分析：載流線框繞轉(zhuǎn)動(dòng)，由于沒有平動(dòng)只有轉(zhuǎn)動(dòng)，