第三講二次全等

1、二次全等（講義）1.已知：如圖，點(diǎn)c為線段ab±一點(diǎn)，zacm, acbn是等邊三角形，am=ac=cm, bc=cn=bn,zacm=zbcn=60°,連接an交cm于點(diǎn)e,連接bm交cn于點(diǎn)f. 求證：©acanacmb；乙cenacfb.2.已知：如圖，在正方形abcd中，ad=ab, zd=zdab=zabc=90° , e, f分別為dc, bc邊上 的點(diǎn)，且zeaf=45°,延長(zhǎng)cb到點(diǎn)g,使bg=de,連接ef, ag. 求證：（daadeaabg；zafe竺zkafg.3. 已知：如圖，za=zd=90°, be=ec

2、.求證：aabcadcb.4.已知：如圖，點(diǎn)a, e, f, c在同一直線上，ae=cf,過e, f分別作de±ac, bf±ac,連接 ab, cd, bd, bd 交 ac 于點(diǎn) g若 ab=cd,求證：adegabfg.5.已知：如圖，ab, cd相交于點(diǎn)o, ao=bo, co=do,過點(diǎn)o作ef交ac于點(diǎn)e,交bd于點(diǎn)f.求 證：oe=of.6. 已知：如圖，ab=ac, bd=dc, ad與bc交于點(diǎn)o久求證：adj_bc/ 7. 知：如圖，在aabc中，點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)，df±ab, dejlac,垂足芬氟是f9 e,少京6e,試猜想ab和ac的數(shù)量

3、關(guān)系，并證明你的猜想.8. 已知：如圖，ab=ae, bc=ed, zb=ze, f 是 cd 中點(diǎn), 求證：afj_cd二次全等（每日一題）姓名的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.2.已知：如圖，o是線段ac, fedf=be.求證:ad=bc.的中點(diǎn)，oe_lab于e,1.巳知：如圖，ac平分zbad, ce_lab于e, cf_lad于f,且bc=dc.試猜想be與df有怎樣4.已知：如圖，在四邊形abcd中，ad=bc, ab=dc, e, f分別為ad, cb延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且de=bf,u!3.已知：如圖，點(diǎn)e在直線ac上，ed±cd于d, ebjlcb于b,且cd=cb.求證：ad=a

4、b.試說明ze=zf.二次全等（隨堂測(cè)試）1. 如圖，ad 平分nbac, de_lab 于 e, dfj_ac 于 f, 且 db=dc,求證：eb=fc.二次全等（作業(yè)）1.已知：如圖，zabc是等邊三角形，ab=bc=ac,zacb=zabc=60° , zedf=60°, db=dc,zdbc=zdcb=30° , zbdc=120° ,延長(zhǎng) ac 到點(diǎn) g,使 cg=be. 求證：ebd#zgcd；zefd竺gfd2.已知：如圖，ab=ac, db=dc, f是ad的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn).求證：aabfaacf.如圖，ab=ac, ad=ae, ab

5、, dc相交于點(diǎn)m, ac, be相交于點(diǎn)n,已知：求證：adm竺 aaen.3.zdab=zeac.4. 已知：如圖，ac±bc, ad±bd, ad=bc, ce±ab, df±ab,垂足分別是e, f.求證：ce=df.5. 已知：如圖，點(diǎn)c, d在線段be±,且bd=ec, ca_lba于a, dfef于f,且ab=ef求證:【參考答案 1】1.證明： v zacm=zbcn=60° a zmcn=60°a zacn=zmcb=120° n ref在zkcan和cmb中ac = ma己知）< zacn

6、 = zmcb（已證）cn = cb （已知）aacanacmb （sas） azcna=zcbm （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） v zecn=60°, zfcb=60°a zecn=zfcb 在zcen和acfb中zecn = zfcb （已證）< cn = cb（己知） zenc =fbc（已證）/.acenacfb （asa）2.證明：在aade和左abg中ad = ab（己知）< zd = zabg（ b知i）de = bg（已知）aaadeaabg (sas) aae=ag (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)zead=zgab （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） v zeaf

7、=45°, zbad=90° zbaf+zead=45°/.zbaf+zgab=45°即 zgaf=zeaf=45°在zkafe 和zafg 中 '曲=ag（已證） < zeaf = zgaf（b證）= "（公共邊）aaafeaafg （sas）3. 證明：在aabe和左dce中= 知）< zaeb = zdec（對(duì)頂角相等）be = ce（己知）aaabeadce （aas）aab=dc （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 rtaabc 和 rtadcb 中ab = dc（已證）< bc = cb（公共邊）aaab

8、cadcb （hl）4. 證明：v ae=cf/. ae+fe=cf+fe 艮|3 af=cevde±ac, bf±acazafb=zced=90° 在 rtaabf 和 rtacde 中af = ce（已證）ab = cd（已知）aaabfacde （hl） /.bf=de （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 在 rtadeg 和 rtabfg 中zdeg = zbfgc 已證）< zegd = zfgb（對(duì)頂角相等）de = bf（已證）5.aadegabfg （aas） 證明：在zdob和coa中'。=。0（已知）< zdob = zcoa（對(duì)頂角

9、相等）bo = a0（已知）筮 s wki/.adobacoa （sas） a zb=za （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）zb = /a （已證）< bo = ao （已知）zfob = zeoa （對(duì)頂角相等）aabfoaaeo （asa）6.證明：在aabd和左acd中m = （已知）< bd = cd（已知）ad = ad（公共邊）z. oe=of （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）笛a(bǔ) an囪.abd絲 acd （sss）azbad=zcad （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在zbfo 和zkaeo 中在zkbao和cao中= ac（已矢口）< zbad = zcadc 已證）a0 = a0

10、（公共邊）7.aabaoacao （sas）v zaob+zaoc=180°解：ab=ac,理由如下azaob=zaoc （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）zaob=90°即 ad1bc在 rtaafd 和 rtaaed 中 jdf = z）e（a 知）< ad = ad（公共邊）artaafdrtaaed （hl） aaf=ae （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）點(diǎn)d為bc的中點(diǎn)/.bd=cd在 rtabfd 和 rtaced 中df = de（巳矢dbd = cd（己證）artabfdrtaced（hl） /.bf=ce（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）a af+bf=ae+ce 即 ab=a

11、c8.證明：如圖，連接ac, ad.在abc和zaed中加=af（己知i）< zb = ze（已知）bc = ed（已知） abc竺 aed （ sas ）/. ac=ad （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.f是cd中點(diǎn) .cf=df在mcf和zkadf中ac = ad （已證）< = "（公共邊）cf = df （已證）aaacfaadf （sss）/. zcfa=zdfa （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）vzcfa+zdfa=180° zcfa=90° /.af±cd【參考答案2】1. 解：be=df,理由如下：lac 平分zbad.z1=z2vce&#

12、177;ab, cf±ad. zf=zaec=zceb=90° eaacfiaace 中z1 = z2 （已證）< zf = zaec（ b ije ） "=ac（公共邊）aaacfaace （aas） a cf=ce在 rtacbe 和 rtacdf 中jce = cf（巳證） bc=da 已知）aacbeacdf （hl） /. be=df2. 證明：如圖，voe±ab, of±cd.zaeo=zcfo=90°,.,o 是線段 ac, fe 的中點(diǎn) aao=co, oe=of 在 rtaaeo 和 rtacfo 中ao =

13、coc 巳證）< oe = oe（已證）i.aeo絲cfo （hl） .ae=cf, zoae=zocfv df=be :. df+cf=be+ae 即 cd=ab在zadc和acba中cd = abc 已證）< zocf = zoaec b證）ac = ac（公共邊）aaadcacba （sas） aad=bc3. 證明：如圖，fdeved±cd, eb±cba zedc=zebc=90°在 rtaedc 和 rtaebc 中jcd = cb（巳知） < ec = ec（公共邊）aaedcaebc （hl） aed=eb, zdec=zbecz

14、aed=zaeb在zaed 和zkaeb 中ed = eb （已證）< zaed = zaeb（已證）曲=曲（公共邊）aaaedaaeb （sas） aad=ab4.證明：如圖，連接db4£aadb和左cbd中ad = bc（已知）< ab = dc（己知）bd = bd （公共邊）aaadbacbd （sss） a zadb=zdbc. zedb = zdbf 在zkedb 和zfbd 中de = bf（已知）<edb= zdbf（已證）bd = bd（公共邊）、aaedbafbd （sas）ze=zf【參考答案3】1.證明略.【參考答案4】1.證明：v zabc

15、=zacb=60°, zdbc=zdcb=30°zdbe=zabc+zdbc=90°zdcg=180° -zacb-zdcb =90°zdbe=zdcg在zidbe 和zkdcg 中db = dc（已知）< zdbe = zdcgc 已證）be = cg（己知）.dbe絲zkdcg （sas）z.de=dg （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）zbde=zcdg （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）第1題圖v zbdc=120°, zedf=60°i zbde+zfdc=60°/.zcdg+zfdc=60°zedf=zgd

16、f=60°在aefd和中de = dg（已證）v zedf = zgdfc 己證）df = df（公共邊）、aaefdagfd （sas）2. 證明：在aabd和aacd中ab = ac（已知）< db = dc（己知） ad = ad（公共邊）aaabdaacd （sss）azbad=zcad （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 在aabf和左acf中ab = acc 矢口）第2題圖< zbap = zcazxb證） 時(shí)="（公共邊）aaabfaacf （sas）3. 證明：vzdab=zeaczdab+zbac=zeac+zbacbpzdac=zeab在zkdac 和

17、zeab 中，ac = abc b 知）< zdac = zeab（已證）ad = ae（ b 知）/.adacaeab （sas）azd=ze （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在aadm和aaen中zd ab = zeac（己知）< ad = ae（已知）zd = ze（ b 證）/.aadmaaen （asa）4. 證明：vac±bc, ad±bdazacb=zbda=90°在 rtaacb 和 rtabda 中，bc = aix 已知）< ab = ba（公共邊）第4題圖aaacbabda （hl）aac=bd （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）zcab=zdba （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）vce±ab, df±a