建筑力學第五章_靜定結構位移計算

1、1第五章 靜定結構的位移計算2一、位移的概念一、位移的概念CPABC 結構上某點位置的改變稱為結構上某點位置的改變稱為位移，結構的位移有兩大類：位移，結構的位移有兩大類：線位移和角位移。線位移和角位移。截面的移動稱為線位移；截截面的移動稱為線位移；截面的轉動稱為角位移。面的轉動稱為角位移。計算位移的目的計算位移的目的 1 1、校核結構的剛度，保證、校核結構的剛度，保證結構的正常使用。結構的正常使用。 2 2、為超靜定結構的內力計、為超靜定結構的內力計算打下基礎。算打下基礎。產生位移的主要因素產生位移的主要因素（1 1）荷載作用；）荷載作用；（2 2）溫度變化和材料脹縮；）溫度變化和材料脹縮；（

2、3 3）支座沉降和制造誤差。）支座沉降和制造誤差。3虛功和虛功原理虛功和虛功原理功、廣義力、廣義位移功、廣義力、廣義位移物理上定義：物理上定義：W = FS F集中力；集中力；S線位移線位移現在將此式的定義擴大：現在將此式的定義擴大： W = P 式中：式中： W廣義功廣義功； P廣義力廣義力； 與與P相應的相應的廣義位移廣義位移功的正負號規(guī)定：當力功的正負號規(guī)定：當力P P與相應位移與相應位移 方向一致時，功為正；方向一致時，功為正；兩者方向相反時，功為負。兩者方向相反時，功為負。虛功虛功1 1、 定義：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，稱為定義：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，稱為虛

3、功。虛功。其它因素一般指溫度變化、支座的移動或另外的荷載等。其它因素一般指溫度變化、支座的移動或另外的荷載等。二、位移計算的一般公式二、位移計算的一般公式4虛功的表達式：虛功的表達式： W = P注意注意： （1 1）力）力P與與位移必須是相應的。位移必須是相應的。 （2 2）力）力P與位移與位移是互相獨立，彼此無關的，即無因果是互相獨立，彼此無關的，即無因果 關系。關系。 （3 3）虛功的正負號規(guī)定與前面相同。）虛功的正負號規(guī)定與前面相同。P1ABP2123虛功：虛功：W = P12“虛虛”字是強調位移和做功的力無關的特點！字是強調位移和做功的力無關的特點！5變形體體系的虛功原理變形體體系的

4、虛功原理 變形體體系在任意平衡力系作用下，體系上所有外力變形體體系在任意平衡力系作用下，體系上所有外力在體系幾何可能位移和變形上所作的虛功恒等于體系上所在體系幾何可能位移和變形上所作的虛功恒等于體系上所有內力所作的虛功。有內力所作的虛功。W外外= W內內即：即：kkiiPR cMdQdNd 6 單位荷載法單位荷載法虛擬單位荷載的建立虛擬單位荷載的建立(1)(1) 欲求欲求A A點的水平線位移時，在點的水平線位移時，在A A點沿水平方向加一單位集點沿水平方向加一單位集中力如圖中力如圖(b)(b)所示；所示；(2)(2) 欲求欲求A A點的角位移，在點的角位移，在A A點加一單位力偶如圖點加一單位

5、力偶如圖(c)(c)所示；所示；(3)(3) 欲求欲求A A、B B兩點的相對線位移，在兩點的相對線位移，在A A、B B兩點沿兩點沿ABAB連線方連線方向加一對反向的單位集中力，如圖向加一對反向的單位集中力，如圖(d)(d)所示；所示；(4)(4) 欲求欲求A A、B B兩截面的相對角位移，在兩截面的相對角位移，在A A、B B兩截面處加一對兩截面處加一對反向的單位力偶，如圖反向的單位力偶，如圖(e)(e)所示。所示。7位移狀態(tài)（實際）位移狀態(tài)（實際）CCP力狀態(tài)（虛設）力狀態(tài)（虛設） 如果在需求位移處沿位移方向虛設一個相應的單位力如果在需求位移處沿位移方向虛設一個相應的單位力P=1 ，由虛

6、功原理可得：，由虛功原理可得：= 1 正負號規(guī)定：當力和位移方向一致時，乘積為正，反之正負號規(guī)定：當力和位移方向一致時，乘積為正，反之為負。所以，由上式求得為負。所以，由上式求得 的如果是正值，說明位移的如果是正值，說明位移 的方向的方向與所設單位荷載方向一致；反之，則相反。與所設單位荷載方向一致；反之，則相反。1iiMdQdNdR c 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式8如果結構只有荷載作用，因支座位移為零，則可得如果結構只有荷載作用，因支座位移為零，則可得1MdQdNd 由材料力學公式，實際荷載下桿件內力由材料力學公式，實際荷載下桿件內力MMP P、F FQPQP、F FNPNP

7、作用下所引起的相應變形作用下所引起的相應變形dd、dd、dd分別為：分別為：pppM dsdEIkQ dsdGAN dsdEA91、荷載作用下位移的計算公式、荷載作用下位移的計算公式M, FQ, FN 虛設單位荷載引起的內力虛設單位荷載引起的內力MP , FQP , FNP 實際荷載引起的內力實際荷載引起的內力k 剪力不均勻系數剪力不均勻系數正負號規(guī)定：正負號規(guī)定：軸力軸力 以拉力為正以拉力為正剪力剪力 以順轉以順轉 為正為正彎矩彎矩 只規(guī)定乘積的正負號，同側受拉時乘積只規(guī)定乘積的正負號，同側受拉時乘積MPM取正，取正，反之為負。反之為負。QPQNPNPkFFFFM MdxdxdxEIGAEA

8、 102 2、各類結構的位移計算公式、各類結構的位移計算公式1 1、梁和剛架、梁和剛架2 2、桁架、桁架3 3、組合結構、組合結構（梁式桿）（梁式桿）（鏈桿）（鏈桿）PM MdxEI NPNNPNFFFFdxlEAEA QPQNPNPkFFFFM MdxdxdxEIGAEA NPNPFFM MdxlEIEA 11荷載作用下位移計算的步驟荷載作用下位移計算的步驟1 1、沿需求位移的位置和方向虛設、沿需求位移的位置和方向虛設相應相應的單位荷載；的單位荷載； 2 2、根據靜力平衡條件，列出在單位荷載作用下各桿段內力、根據靜力平衡條件，列出在單位荷載作用下各桿段內力 方程；方程；3 3、列出實際荷載作

9、用下各桿段內力方程；、列出實際荷載作用下各桿段內力方程； 4 4、將各內力方程分別代入公式，分段積分后再求和即可計、將各內力方程分別代入公式，分段積分后再求和即可計算出所求位移。算出所求位移。12 四、圖乘法求靜定結構的位移四、圖乘法求靜定結構的位移1 1）圖乘法的應用條件）圖乘法的應用條件 1 1、桿件為直桿；、桿件為直桿； 2 2、各桿段的、各桿段的EI分別等于常數；分別等于常數； 3 3、M、MP圖中至少有一個是直線圖形。圖中至少有一個是直線圖形。2 2）圖乘法的計算公式）圖乘法的計算公式 = = i yiEI 為任一彎矩圖（直線或曲線均可）的面積為任一彎矩圖（直線或曲線均可）的面積 y

10、為面積為為面積為 的彎矩圖圖形的形心對應的直線彎矩圖的縱坐的彎矩圖圖形的形心對應的直線彎矩圖的縱坐標，即標，即y必須在直線圖上量取。必須在直線圖上量取。 公式正負號規(guī)定：公式正負號規(guī)定：若若 與與y 在桿件的同一側時，乘積取正值，在桿件的同一側時，乘積取正值，反之，則取負值。反之，則取負值。ABABy形心1 1、圖乘法公式、圖乘法公式133 3）幾種常見圖形的面積和形心位置）幾種常見圖形的面積和形心位置 注意：在應用拋物線圖形公式時，必須為標準拋注意：在應用拋物線圖形公式時，必須為標準拋物線，即物線，即頂點在中點或端點的拋物線。頂點在中點或端點的拋物線。l32l31hl21hl32l21l21

11、hhl83l85hl32頂點指其切線平行于底邊的點，即在頂點處頂點指其切線平行于底邊的點，即在頂點處Q = 0。l43hl41hl31頂點頂點頂點142 2、圖乘分段和疊加、圖乘分段和疊加1 1、分段、分段 （1 1）一個圖形是曲線，另一個圖形是由直線組成的折線，）一個圖形是曲線，另一個圖形是由直線組成的折線，則應分段計算。如：則應分段計算。如：123y3y1y2)(1332211yyyEI （2 2）桿件各段有不同的）桿件各段有不同的EI，則應在，則應在EI變化處分段，分段進變化處分段，分段進行圖乘。如：行圖乘。如：EI1EI2EI1EI211y1y222211111yEIyEI152 2、

12、疊加、疊加 在圖形的面積的計算或形心位置的確定比較復雜時，在圖形的面積的計算或形心位置的確定比較復雜時，可將復雜圖形分解為計算簡單的圖形，疊加計算。可將復雜圖形分解為計算簡單的圖形，疊加計算。（1 1）兩個圖形都是梯形）兩個圖形都是梯形abcd12y1y2)(12211yyEI16 （2 2）當彎矩圖為非標準拋物線時，要將圖形分解成）當彎矩圖為非標準拋物線時，要將圖形分解成兩個簡單圖形分別計算，再疊加。例如：兩個簡單圖形分別計算，再疊加。例如：qL2/8A AB BMMBABAMMABABA AB BMMBABAMMABABA AB BqL2/8AB17 例例1 1：試用圖乘法計算如圖所：試用

13、圖乘法計算如圖所示簡支梁跨中截面示簡支梁跨中截面C的豎向位的豎向位移移C和和B端的角位移端的角位移 B。EI為為常數。常數。ABCqL /2L /2解：解：1 1、計算、計算C CABCqL2/8MMP P圖圖CABMM圖圖P = 1L /41EI1= 2= 2( 23L218qL258L4)=5qL4384EI2 2、計算、計算B BABMM圖圖m = 11EI1B B = = ( 2318qL212)L=qL324EIiiCyEI1y1y218 例例2 2：計算圖示懸臂剛架在：計算圖示懸臂剛架在CC點作用荷載時，梁中點點作用荷載時，梁中點D D的撓度。的撓度。EI為常數為常數PLABCLD

14、P=1ABCD解：1、在D點設單位豎向力2、作Mp圖和M圖PLPLPLPABCM MP P圖圖2l2l2lM M圖圖3、圖乘法計算21y2y18222121lllPly6512222lllPly 2iiDyEI1 322482926581PlEIPllPllEI19例例3 3：求圖示剛架：求圖示剛架C C截面的豎向位移截面的豎向位移C C 。EI為常數為常數10kN/mABC6m6m20kN30045300ABCM MP P圖（圖（kNmkNm) )ABCM M圖（圖（m)m)P = 166解：作解：作MMP P圖和圖和MM圖圖EI1= = ( 3006 )6123006 )4 (432345

15、6 ) 3 (EI1EI13860 kNm3=6iiCyEI120五、梁的位移及剛度校核五、梁的位移及剛度校核 1 1、 梁的位移梁的位移 撓度：撓度：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移用用w w 表示，規(guī)定表示，規(guī)定w w 向下為正。向下為正。 轉角：轉角： 橫截面的角位移橫截面的角位移 ，規(guī)定順時針轉為正，規(guī)定順時針轉為正21 在工程設計手冊中列有常見梁的位移的計算在工程設計手冊中列有常見梁的位移的計算結果（如表所示），可供計算時查用。結果（如表所示），可供計算時查用。表表 梁的撓度與轉角公式梁的撓度與轉角公式 22PBF lEI3max3PF lwEIB

16、MlEI2max2MlwEI2.懸臂梁 彎曲力偶作用在自由端1.懸臂梁 集中荷載作用在自由端最大撓度轉角荷載類型22續(xù)表續(xù)表36BqlEI4max8qlwEI2labA216PBF lEIab2l3max48PF lwEI時4.簡支梁 集中荷載作用跨中位置上3.懸臂梁 均勻分布荷載作用在梁上時236簡支梁彎曲力偶作用在梁的一端5簡支梁 均勻分布荷載作用在梁上A324BqlEI4max5384qlwEI6AM lEIB3M lEI2max9 3MlwEI3lx -（在處）續(xù)表續(xù)表-242 2梁的剛度校核梁的剛度校核梁的位移過大，則不能正常工作梁的位移過大，則不能正常工作 對于梁的撓度，其許可值以

17、許可的撓度與梁跨長對于梁的撓度，其許可值以許可的撓度與梁跨長之比之比wl為標準 在工程上，吊車梁的在工程上，吊車梁的 1/600 1/600 wl鐵路鋼桁梁的鐵路鋼桁梁的 1/9001/900wl梁的剛度條件為梁的剛度條件為: :maxwwll25 例：圖示簡支梁由工字鋼制成，例：圖示簡支梁由工字鋼制成， 跨度中點處承受跨度中點處承受集中載荷集中載荷 Fp。已知。已知Fp=40KN，跨度，跨度l=3m ，許用應，許用應力力 =160MPa，許用撓度，許用撓度w= l/500，彈性模量，彈性模量E=2105MPa ，試選擇工字鋼的型號。，試選擇工字鋼的型號。 26解解 （1 1）按強度條件選擇工

18、字鋼型號）按強度條件選擇工字鋼型號梁的最大彎矩為：梁的最大彎矩為： max4PF lM3340 103 104Nmm 73 10 N mm按彎曲正應力強度條件選截面按彎曲正應力強度條件選截面m ax7m ax5333101601.87510187.5MWMNm mWM P am mcm27查型鋼表選用查型鋼表選用20a20a工字鋼工字鋼, ,其彎曲截面系數為其彎曲截面系數為237cm3237cm3，慣性矩，慣性矩I=2370cm4I=2370cm4（2 2）校核梁的剛度）校核梁的剛度33357440 10(3000)4848 2 102.37 10pF lNmmwEIMPamm w300065

19、00mmmm=4.75mm=4.75mm=梁的剛度足夠梁的剛度足夠 所以，選用所以，選用20a20a工字鋼工字鋼 283 3、提高梁抗彎剛度的措施、提高梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉角與梁的抗彎剛度梁的撓度和轉角與梁的抗彎剛度EI 、梁的跨度、梁的跨度L 、荷載作用情況有關，那么，要提高梁的抗、荷載作用情況有關，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：彎剛度可以采取以下措施：(1)(1) 增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度EI 增大梁的增大梁的EI值主要是設法增大梁截面的慣性矩值主要是設法增大梁截面的慣性矩I 值，一般不采用增大值，一般不采用增大E 值的方法。值的方法。 在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，可提高慣性矩狀，可提高慣性矩I 。 29（2 2）減小梁的跨度）減小梁的跨度L L梁的變