常見的三個(gè)離散動態(tài)系統(tǒng)模型

1、至清水 講解 QQ371533351常見的三個(gè)離散動態(tài)系統(tǒng)模型要理解并預(yù)測由差分方程 Xn1 =Axn所描述的動態(tài)系統(tǒng)的長期行為或演化,關(guān)鍵在于掌握矩陣A的特征值與特征向量在本節(jié)中，我們將通過應(yīng)用實(shí)例來介紹矩陣對角化在離散動 態(tài)系統(tǒng)模型中的應(yīng)用這些應(yīng)用實(shí)例主要針對生態(tài)問題，是因?yàn)橄鄬τ谖锢韱栴}或工程問題 它們更容易說明和解釋，但實(shí)際上動態(tài)系統(tǒng)在許多科學(xué)領(lǐng)域中都會出現(xiàn)分布圖示引言教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題區(qū)域人口遷移預(yù)測問題捕食者與被捕食者系統(tǒng)內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題4-5例題選講例1(E01)(教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題)某城市有15萬人具有本科以上學(xué)歷，其中有 1.5萬人是教師，據(jù)調(diào)查，平均每年有10%的人

2、從教師職業(yè)轉(zhuǎn)為其他職業(yè)，只有1%的人從其他職業(yè)轉(zhuǎn)為教師職業(yè)，試預(yù)測10年以后這15萬人中還有多少人在從事教育職業(yè)。用Xn表示第n年后做教師職業(yè)和其他職業(yè)的人數(shù)，則X0 =，Z1.513.5 '用矩陣A=(aj)=卩.9° 0.01 j表示教師職業(yè)和其他職業(yè)間的轉(zhuǎn)移，其中電.10 0.99 丿an =0.90表示每年有 90%的人原來是教師現(xiàn)在還是教師；a21 =0.10表示每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)為其他職業(yè)。顯然0.011.5 1.485 1D (=I0,99 AJ3.5 丿 *3.515 丿即一年以后，從事教師職業(yè)和其他職業(yè)的人數(shù)分別為1.485萬和13.515萬。又2

3、八nX2 二 AX1 =A X0 ,Xn = Xn 4 = A X0 ,所以X10二A10X0,為計(jì)算A10先需要把A對角化。x1 =Ax00.90©.10E A = -0.9-0.1-0.01九一0.99一0.9)( ' 0.99) 0.001 二 2 1.89 0.8 9 10.0 0 11 =1, '2 =0.89 ,'1 ，故 A可對角化.至清水 講解 QQ3715333511 =1, '2 =0.89 ,'1 ，故 A可對角化.至清水 講解 QQ371533351Y2 -1.89，0.890 =01 =1, '2 =0.89

4、,'1 ，故 A可對角化.至清水 講解 QQ371533351P2令 P =（p1, p2）=1 ,一11IP-*AP =A =0.89，A”P，A10”0p，而 P二=_丄-1們 1i=11、11i_101 丿11Q0-1丿_ 10 111 丫10 丫11 丫1.5、X10 =PA P-X0:|一火101 1-UJ3.5 J11Q00.89 丿 *01 1110.311817 10-1 01 Y 1.51.5425 ii i=i1 丿Q3.5 丿 Q3.4575 丿所以10年后，15萬人中有1.54萬人仍是教師，有13.45萬人從事其他職業(yè)。例2 （區(qū)域人口遷移預(yù)測問題）使用

5、7; 3.7中的人口遷移模型的數(shù)據(jù)，忽略其它因素對人口規(guī)模 的影響，計(jì)算2022年的人口分布.解遷移矩陣M*0.95©050.12、的全部特征值是 人=1, ?吃=0.83,其對應(yīng)的特征向量0.88 丿分別是2.4，p2 =2.41 ''1 0 '1 0、-令 P =（P1, P2 ）=，有 PJMP =，則 M = PPU T0.83 丿,0 0.83 丿因?yàn)?'2,故M可對角化.因2002年的初始人口為X0_ 5000000-7800000,故對2022年,有x20 =Mx19 -=M20xPM20P4x02.41-1 人0 0.8320 人 11

6、02.41 J 50000008938145-178000003861855將1 =1代入（E A） x=0，得其對應(yīng)特征向量將j =0.89代入（E _A） x=0，得其對應(yīng)特征向量即2022年中國的城市人口約為8938145,農(nóng)村人口為 3861855.記貓頭鷹和鼠在時(shí)間 n的數(shù)量數(shù)量（單位：千）.假定生態(tài)學(xué)家已建立了貓頭鷹與鼠的自然系統(tǒng)模型:為xn，其中n是以月份為單位的時(shí)間，On是研究區(qū)域中的貓頭鷹,M n是鼠的On .1 = 0.4On 0.3M n M n d _ pO n 1.2M n其中p是一個(gè)待定的正參數(shù).第一個(gè)方程中的0.4On表明，如果沒有鼠做食物,每個(gè)月只有40%的貓頭

7、鷹可以存活，第二個(gè)方程中的1.2M n表明，如果沒有貓頭鷹捕食,鼠的數(shù)量每個(gè)月會增加20%.如果鼠充足，貓頭鷹的數(shù)量將會增加0.3Mn，負(fù)項(xiàng)- pOn用以表示貓頭鷹的捕食所導(dǎo)致野鼠的死亡數(shù)（事實(shí)上，平均每個(gè)月一只貓頭鷹吃掉鼠約1000 p只）.當(dāng)捕0.40.3、解 當(dāng)p =0.325時(shí)，（1）的系數(shù)矩陣 A =，求得A的全部特征值c 0.325 1.2 y2%、0.55，花=1.05，其對應(yīng)的特征向量分別是pi =,P2 =<13,'26、初始向量 X0 =C1 P1 +C2P2 .令 P=（P1,P2 ）=，當(dāng)n H0時(shí)，貝yJ 13食參數(shù)p =0.325時(shí)，則兩個(gè)種群都會增長

8、.估計(jì)這個(gè)長期增長率及貓頭鷹與鼠的最終比值Xn 二 PAP 如。'2<160.55n1301.051x°c10.55nc21.05n'6 '<13j假定c20，則對總夠大的n , 0.55n趨于0，進(jìn)而Xn:c2p2 = C2 1.05n例3 （捕食者與被捕食者系統(tǒng)）某森林中，貓頭鷹以鼠為食n越大（2）式的近似程度越高，故對于充分大的nXn十禿 01.05=1.05Xn訂3丿（3）式的近似表明，最后Xn的每個(gè)元素（貓頭鷹和鼠的數(shù)量）幾乎每個(gè)月都近似地增長了0.05倍，即有5%的月增長率.由式知，Xn約為6,13 -的倍數(shù)，所以Xn中元素的比值約為至清水 講解 QQ371533351變化，這個(gè)系統(tǒng)將如何變化？通過計(jì)算狀態(tài)向量為，X15來求解至清水 講解 QQ3715333516: 13,即