初一數(shù)學競賽教程含例題練習及答案⑼

1、中考數(shù)學復習資料，細心整編吐血舉薦, 如如有用請打賞支持，感謝不盡！初一數(shù)學競賽講座 第 9 講應用問題選講我們知道，數(shù)學是一門基礎學科；我們在學校中學習數(shù)學的目的，一方面是為學習其它學科和學習更深的數(shù)學學問打下一個基礎，更重要的是為了現(xiàn)在和將來運用所學的數(shù)學學問去解決一些日常生活、科學試驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟活動中所遇到的實際問題；運用數(shù)學學問解決實際問題的基本思路是：先將這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題（我們稱之為建立數(shù)學模型），然后解答這個數(shù)學問題，從而解決這個實際問題；即：這里，建立數(shù)學模型是關鍵的一步；也就是說，要通過審題，將實際問題與自己學過的數(shù)學學問、數(shù)學方法聯(lián)系起來，將其歸結(jié)到某

2、一類型的數(shù)學問題，然后解答這個數(shù)學問題；下面介紹一些典型的數(shù)學模型；一、兩個量變化時，和肯定的問題兩個變化著的量，假如在變化的過程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間有什么關系呢？觀看下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，假如在變化的過程中，和始終保持不變，那么它們的差越小，積就越大；如它們能夠相等，就當它們相等時，積最大；這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的；例 1 農(nóng)夫叔叔阿根想用20 塊長 2 米、寬 1.2 米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩；為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2 米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應是多少？解：如上圖，設長方形的長和

3、寬分別為x 米和 y 米，就有x2y 1.2 ×20 24；長方形的面積為由于 x 和 2y 的和等于 24 是一個定值，故它們的乘積當它們相等時最大，此時長方形面積s 也最大；于是有x=12， y 6；例 2 假如將進貨單價為40 元的商品按 50 元售出，那么每個的利潤是10 元，但只能賣出500 個；當這種商品每個漲價1 元時，其銷售量就削減10 個；為了賺得最多的利潤，售價應定為多少？解：設每個商品售價為（50+x）元，就銷量為（500-10x）個；總共可以獲利:（50x-40 ）×（ 500-10x ）=10×（ 10+x）×（ 50-x）（元

4、）；因（ 10+x） +（ 50x）=60 為肯定值，故當10+x=50x 即 x=20時，它們的積最大；此時，每個的銷售價為5020=70（元）；例 3 如一個長方體的表面積為54 厘米 2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應為多少厘米？解：設長、寬、高分別為x， y， z 厘米，體積為v 厘 米 3； 2（xy yz+zx）=54， xyyz+zx=27；22由于 v =（xyz ） =（ xy）（ yz ）（ zx ），2故當 xy=yz=zx即 x=y=z=3 時， v 有最大值，從而v 也有最大值；例 4 有一塊長 24 厘米的正方形厚紙片， 在它的四個角各剪去一個小正方

5、形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？解：如上圖，設剪去的小正方形的邊長為x 厘米，就紙盒的容積為v=x（24-2x ）（ 24-2x ）=2 ×2x（12-x ）（ 12-x ） ；因 為 2x+（12-x ）+（12-x ）=24是一個定值，故當2x=12-x 12-x ，即 x=4 時，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大；二、兩個量變化時，積肯定的問題兩個變化著的量，假如在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關系呢？觀看下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，假如在變化的過程中，乘積始終保持

6、不變，那么它們的差越小，和就越?。蝗缢鼈兡軌蛳嗟?，就當它們相等時，和最??；例 5 長方形的面積為144 cm 2，當它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？解：設長方形的長和寬分別為xcm 和 ycm，就有xy 144；故當 x=y=12 時， x+y 有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值；例 6 用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm3 ，長方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設長方體的長、寬、高分別為xcm，ycm， zcm，就有 xyz 216；鐵絲長度的和為4 （x y z ），故當 x y=z6 時，所用鐵絲最短；例 7 農(nóng)場方案挖一個

7、面積為432 m2 的長方形養(yǎng)魚池，魚池四周兩側(cè)分別有3m和 4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應為多少？解：如下列圖，設水池的長和寬分別為xm和 ym，就有xy 432；占地總面積為s=（x6）（ y8）cm2；于是 s=xy+6y+8x48 6y+8x+480；我們知道 6y ×8x=48× 432 為肯定值，故當 6y=8x時，s 最小，此時有 6y=8x=144，故 y=24，x=18；例 8 某游泳館出售冬季同學游泳卡，每張240 元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次；某班有48 名同學，老師準備組織同學集體去游泳，除需購買如干

8、張游泳卡外，每次游泳仍需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學，每次的包車費均為40 元；如要使每個同學游8 次，每人最少交多少錢？解：設一共買了x 張卡，一共去游泳y 次，就共有xy=48× 8=384（ 人 次 ）， 總用費為（ 240x 40y）元；由于 240x×40y=240×40× 384 是肯定值，故當240x=40y ，即 y=6x 時，和最??；易求得x=8，y=48；此時總用費為240×840×48=3840（元），平均每人最少交3840 ÷48=80（ 元 ）；三、利用不等關系來解答的應用題例 9 某公司在 a，

9、 b 兩地分別庫存有某機器16 臺和 12 臺，現(xiàn)要運往甲、乙兩家客戶的所在地，其中甲方 15 臺，乙方 13 臺；已知從a 地運一臺到甲方的運費為500 元，到乙方的運費為400 元，從 b 地運一臺到甲方的運費為300 元，到乙方的運費為600 元；已知運費由公司承擔，公司應設計 怎樣的調(diào)運方案，才能使這些機器的總運費最?。拷猓涸O由 a 地運往甲方x 臺，就 a 地運往乙方（ 16-x ）臺， b 地運往甲方（ 15-x ）臺， b 地運往乙方（ x3）臺；于是總運價為：s=500x+400（16-x ） 300（ 15-x ）+600（x-3 ）400x+9100；明顯，x 要滿意不等式

10、3x 15，于是當 x=3 時，總運價最省， 為 400 × 3 9100=10300（元）；調(diào)運方案為：由a 地運往甲方 3 臺， a 地運往乙方13 臺， b 地運往甲方12 臺， b 地運往乙方0臺；例 10 某校打算出版“作文集”，費用是30 冊以內(nèi)為80 元，超過 30 冊的每冊增加1.20 元；當印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50 元以內(nèi)？解：明顯印刷的冊數(shù)應當大于30；設印刷了（ 30x）冊，于是總用費為（80+1.2x ）元；故有 80+1.2x 1.5×（ 30+x），以內(nèi)；例 11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳 40；其次種含錳10，含鎳 90；

11、第三種含銅 20，含錳 50，含鎳 30；現(xiàn)各取適當數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳45的新合金，重量為1 千克；（1）求新合金中其次種合金的重量的范疇；（2）求新合金中含錳的重量的范疇；解：設第一種合金用量為x 千克，其次種合金用量為y 千克，第三種合金用量為z 千克，依題意有（1）假如不取第一種合金，即x=0，那么新合金中其次種合金重量最?。唤獾脃=0.25 ；假如不取第三種合金，即z=0，那么新合金中其次種合金重量最大；解得y0.5 ；新合金中其次種合金的重量范疇是0.25 克 到 0.5 克 ；（2）由可得z1.5-3y ，x=2y0.5 ；故新合金中含錳的重量為s40 x+10 y+5

12、0 z=40（ 2y-0.5 ） 10y50（ 1.5-3y ）0.55-0.6y；由于 0.25 y0.5 ，所以 0.25 s0.4 ，即新合金中含錳的重量范疇是0.25 克 到 0.4 克； 例 12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100 個，每個由三根長為2.3 米、1.7 米、1.3 米的鋁合金材料組裝而成；市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3 米；問：至少要買回多少根原材料，才能滿意要求（不計損耗）？解：每根原材料的切割有下表的七種情形：明顯，三種方案損耗較小；方案依次切割原材料42 根、14 根、29 根、1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各100 根

13、，共用原材料42 14 291=86（根）；練習 91銷售某種西服，當每件售價為100 元時可售出1000 件；假如定價每下降1，那么銷售量將 提高 0.5 ，又知道這批西服是每件80 元成本購進的；問：應如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為4m2 的窗戶，當a b 的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最??？3有一個長為80cm、寬為 40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應當如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？34某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為64000m；在建造時，槽底的造價 是四壁的 2 倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時，造價最?。?

14、a 城有化肥 200 噸， b 城有化肥 300 噸，現(xiàn)要將化肥運往 c，d 兩村；已知從 a 城運往 c，d 兩村的運價分別是每噸 20 元和 25 元，從 b 城運往 c， d 兩村的運價分別是每噸 15 元和 22 元；某個體戶承包了這項運輸任務，請你幫他算一算，如何調(diào)運才能使運費最省？6有兩個同學參與4 次數(shù)學測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90 分的整數(shù)；他們又參加了第 5 次測驗，這樣 5 次的平均分數(shù)都提高到了90 分，求第 5 次測驗二人的得分（滿分為 100 分）；7某機械廠要把一批長7300 毫米的鋼筋截成長290 毫米、210 毫米和 150 毫米的鋼筋各一段組成一套

15、鋼筋架子；現(xiàn)在做100 套鋼筋架子，至少要用去長為7300 毫米的鋼筋多少根？8下表所示為x，y，z 三種食品原料的維生素含量（單位：單位/ 千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100 千克的混合物，要求混合物至少需含44000 單位的維生素a及 48000單位的維生素b0 假如所用的食物中x，y，z 的重量依次為x 千克、 y 千克、 z 千克，那么請定出x，y，z 的值，使得成本為最少；練習 9 答案：1.91 元 ；解：設定價為每件（100-x ）元，就銷售量為1000（1+0.5 x）件；利潤為（100-x-80 ）× 1000（1+0.5 x）=500×（ 20-

16、x ）（ 2+x） ；由于（ 20-x ）+（ 2+x）=22 為肯定值，故當 20-x=2+x 即 x=9 時利潤最高；此時每件定價為100-9=91（元）；2.2 3；解：窗戶的框架長為3a+2b ，而 ab=4 是一個定值，從而3a× 2b=6ab=24也是一個定值，故當3a=2b即 a b=23 時窗戶框架所用材料最省；3.32000cm3解：設木盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，就它的容積為v=xyzcm3；由于 xy+2xz+2yz=40×80=3200為肯定值，故它們的積22xy× 2xz×2yz=4（ xyz ） =4v ，在

17、xy=2xz=2yz 時最大，從而v 也最大，此時有x=y=2z；經(jīng)運算得x=40，y=40，z=20；詳細制作方式如下： 先取原木板的一半 （40cm×40cm）作為木盒的底面， 再將剩下的一半分成20 cm×40 cm 大小的四等份，每份作為木盒的一個側(cè)面就可以了；4.1 1；解：設四壁的造價是a 元/m2，就底面造價為2a 元/m2；又設其底面邊長為xm，高為 ym，就有 x2y=64000；總造價為2a×4xy+2a× x22=2a（2xy+x ）=2a（ xy+xy+x ）；由于 xy× xy×x2=（x2y）2 =6400

18、02 為肯定值，故當xy=xy=x 2 即 xy=11 時，總造價最??；5. 解：設 a 城化肥運往c村 x 噸，就運往d 村（200-x ）噸； b 城化肥運往c村（ 220-x ）噸，運往 d 村（ 80+x）噸，總運費y 元，就y=20x+25（ 200-x ）+15（ 220-x ）+22（80+x）=2x+10060；又易知 0x200，故當 x=0 時，運費最省，為10060 元；運輸方案如下： a 城化肥運往c村 0 噸，運往 d 村 200 噸； b 城化肥運往c村 220 噸，運往 d村80 噸；6.98 ，94；解：設某一同學前4 次的平均分為x 分，第 5 次的得分為y 分，就其 5 次總分為4x+y=5×90=450；于是 y