傅里葉描述子研究應(yīng)用docx

1、 傅里葉描述子研究應(yīng)用姓 名：李羅川學(xué) 號：ZY1403222完成時間：2015年 05 月 06 日目錄1傅里葉描述子概述11.1概念與特點11.2現(xiàn)狀與發(fā)展12一維傅里葉描述子33二維傅里葉描述子6參考文獻(xiàn)91 傅里葉描述子概述1.1 概念與特點傅里葉分析的理論始于1822年,當(dāng)時是由法國數(shù)學(xué)家傅里葉(Fourier J)提出的傅里葉級數(shù)的概念。目前,傅里葉理論已經(jīng)發(fā)展了近二百年,作為一種有力的信號分析處理工具,廣泛應(yīng)用在各個領(lǐng)域,但在20世紀(jì)六十年代初,才被Cosgriff引用到形狀分析領(lǐng)域中來。傅里葉描述子(Fourier Descriptor)是一種基于頻域變換的形狀表示算法。傅里葉

2、描述子是首先將物體輪廓線表示成一個一維的輪廓線函數(shù)，然后對該函數(shù)作傅里葉變換，由傅里葉系數(shù)構(gòu)成形狀描述子。同一形狀不同的輪廓線函數(shù)，會產(chǎn)生不同的傅里葉描述子，如切角函數(shù)、曲率函數(shù)、中心距離函數(shù)、三角形面積函數(shù)等。FD是目前形狀表示方法中應(yīng)用最多的描述子之一。通過把形狀在頻域進(jìn)行表示,可以很好的解決描述子對存在噪聲和邊界變化的敏感度。傅里葉描述子按照基于輪廓和基于區(qū)域的分類方式可以分為兩類:基于輪廓的一維傅里葉描述子(1-D FD)和基于區(qū)域的二維傅進(jìn)葉描述子(2-D FD)。傅里葉描述子不僅是目前應(yīng)用最廣泛的描述子,而且是最具有發(fā)展?jié)摿Φ男螤畋硎舅惴ㄖ弧８道锶~描述子作為全局形狀特征的一種描述

3、方式，具有計算簡單，抗噪性強，較高的形狀區(qū)分能力，但不包含局部形狀信息，對形狀的細(xì)節(jié)辨識能力較弱。1.2 現(xiàn)狀與發(fā)展傅里葉描述子(Fourier Descriptor)是目前形狀表示方法中應(yīng)用最多的描述子之一。傅里葉描述子按照基于輪廓和基于區(qū)域的分類方式可以分為兩類:基于輪廓的一維傅里葉描述子(1-D FD)和基于區(qū)域的二維傅進(jìn)葉描述子(2-D FD)。傳統(tǒng)的一維傅里葉描述子只能處理根據(jù)形狀圖像提取出的閉合曲線,它依賴于邊緣檢測算法對形狀輪廓線的準(zhǔn)確提取。Lin和Mitchell等經(jīng)過研究和變形將1-D FD應(yīng)用于部分閉合曲線。Arbter等首次提出了具有仿射變換不變性的1-DFDo Gran

4、lund提出了可以描述軸對稱形狀的傅里葉不變量。Eichmann等利用短時傅里葉變換(SFD)來提取傅里葉描述子。同時,Zhang和Lu證明了 SFD描述子在形狀檢索上的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)的傅里葉描述子31。這是因為SFD雖然不能提取目標(biāo)形狀的整體特征,但是它在提取目標(biāo)物體的局部特征時有很高的準(zhǔn)確率。目前,有些研究者們提出了同樣是基于變換域的小波形狀描述子(WaveletDescriptor)。因為小波變換在時域和頻域同時具有多分辨率使得WD存在一定的優(yōu)勢,但是隨著WD在時域上分辨率的增加,頻域上的分辨率肯定會有所降低,并且通常我們都采用少量的低頻系數(shù)來進(jìn)行形狀表示。更重要的是,WD特征向量之間的

5、相似度比較方法比較復(fù)雜,使得WD不適合用于實時的形狀檢索。設(shè)L為小波變換的分辨率級數(shù),N為標(biāo)準(zhǔn)化后的形狀邊界像素點個數(shù),則WD形狀匹配時的計算復(fù)雜度為。不但WD形狀匹配的復(fù)雜度高,而且還依賴于目標(biāo)物體的輪廓邊界的復(fù)雜度。因此,小波傅里葉描述子因為具有難以克服的缺點而難以普遍運用。1-D FD在已經(jīng)發(fā)展成熟的Fourier的強大理論支持下,使得1-D FD具有很多利用其他特征提取的形狀描述子不能具備的優(yōu)點,如計算簡單、每個傅里葉系數(shù)都有明確的物理意義、容易進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,使得形狀匹配時的計算復(fù)雜度很低和能同時提取局部和全局的形狀特征等特點。1-D FD克服了其他簡單的全局描述符都具有的缺點,并且具有

6、很好的抗噪能力和容易進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的特點。目前,1-DFD主要用于進(jìn)行特征識別和目標(biāo)分類中。其中累積角函數(shù)和復(fù)坐標(biāo)函數(shù)是兩種最常用也是最經(jīng)典的提取一維傅里葉描述子的方法。同時,Zhang和Lu經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)質(zhì)心函數(shù)同樣也是一種提取1-DFD很好的方法。并且他們也發(fā)現(xiàn),10個傅里葉系數(shù)已經(jīng)能夠很好的進(jìn)行形狀表示,這與以前經(jīng)常采用的60個系數(shù)進(jìn)行對比,很大程度上降低了計算復(fù)雜度。并且同時證明了 1-DFD在檢索準(zhǔn)確率性能和魯棒性上的性能都優(yōu)于曲率尺度空間描述子(CSS)。這些研究成果都是我們對一維傅里葉描述子進(jìn)行研究的理論基礎(chǔ)和實驗依據(jù)。二維傅里葉描述(2-D FD)和Zernike矩方法是兩種非常經(jīng)典

7、的基于區(qū)域的形狀表示算法。雖然Zemike矩描述子具有很好的魯棒性能,但是它也有一定的缺點。首先,Zemike矩的計算核計算復(fù)雜,所有形狀首先要標(biāo)準(zhǔn)化成單位圓后才能提取矩特征。其次,Zemike矩的徑向特征和環(huán)形特征不一致,前者存在于時域,而后者存在于頻域中。并且,在徑向方向,Zemike矩不允許進(jìn)行形狀的多分辨率分析。第三,Zemike矩的環(huán)形特征在頻域中不能均勻分布,這可能會損失一部分形狀表示中需要用到的重要特征。為了克服這些缺點,Zhang和Lu在2002年提出了二維傅里葉描述子。2-D FD通過在形狀圖像的極坐標(biāo)光柵中應(yīng)用二維傅里葉變換得到。與Zemike矩描述子相比較,2-D FD更

8、加容易計算,而且特征向量中的數(shù)值代表是純頻域特征。由于可以同時對形狀的徑向和環(huán)向進(jìn)行多分辨率分析,所以2-DFD在形狀檢索中有更優(yōu)的性能。對于經(jīng)過平移,旋轉(zhuǎn)和尺度變換的形狀,2-D FD都能進(jìn)行準(zhǔn)確的描述,并得到極為相似的特征向量。Zhang和Lu已經(jīng)證明,2-DFD在形狀表示上的性能優(yōu)于基于輪廓的形狀表示描述子如曲率尺度空間描述子(CSS)、1-DFD和基丁區(qū)域的形狀表示描述子如Zemike矩、幾何矩和基于網(wǎng)格的形狀表示算法等等。2 一維傅里葉描述子經(jīng)典的l-D傅里葉描述子是將一維傅里葉變換直接應(yīng)用在形狀圖像的封閉輪廓線上,然后將得到的傅里葉系數(shù)組成的向量直接作為目標(biāo)形狀的特征由于傅里葉描述

9、子表示的是形狀的頻域特征,所以其具有很好的抗噪能力和對邊界細(xì)微變化的不敏感性。一維傅里葉描述子的計算下圖顯示了一個由N個像素點組成的封閉邊界,其中任意一點的坐標(biāo)為將XY坐標(biāo)系與復(fù)數(shù)坐標(biāo)系UV平面重合,這樣邊界上的每個點都可以用一個復(fù)數(shù),即。以邊界上任意一個點為起點,沿著逆時針方向跟蹤形狀的邊界,就可以得到一個復(fù)數(shù)序列,這種復(fù)數(shù)坐標(biāo)的表示方法的優(yōu)點是將一個二維的目標(biāo)形狀轉(zhuǎn)變成了一維函數(shù)。對離散序列進(jìn)行一維離散傅里葉變換(DFT),得到: 傅里葉系數(shù)組成的一維行向量就是傅里葉描述子,可以代表目標(biāo)形狀邊界所具有的特征。將傅里葉系數(shù)進(jìn)行DFT反變換,就可以還原表示形狀邊界的復(fù)數(shù)序列通常,我們只保留傅里

10、葉系數(shù)的前K個系數(shù)作為傅里葉描述子就可以近似的表示目標(biāo)形狀,換言之,傅里葉系數(shù)的低頻系數(shù)決定了目標(biāo)的整體形狀,高頻系數(shù)描述的是形狀的細(xì)節(jié)部分但是,傅里葉描述子中存在的主要問題是應(yīng)該保留多少個傅里葉系數(shù)來表示形狀,或者說特征向量的維數(shù)應(yīng)該怎樣選取。通常來說,保留的傅里葉系數(shù)越少,描述子的魯棒性越好,但其形狀之間的區(qū)分能力越弱;反之,如果保留的傅里葉描述子越多,則反應(yīng)形狀細(xì)節(jié)部分特征的能力越強,但對噪聲也越敏感。所以,目前沒有一個通用的選擇標(biāo)準(zhǔn),需要在實驗中根據(jù)具體的應(yīng)用來進(jìn)行特征向量維數(shù)的最優(yōu)選擇。一維傅里葉描述子的不變性構(gòu)造利用傅里葉系數(shù)組成的特征向量并不具有形狀的平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換不變性。

11、由于邊界的起始點是任意選擇的,所以描述子也需要具備對起始點變化的不變性。當(dāng)形狀發(fā)生平移變換時,復(fù)數(shù)坐標(biāo)序列在水平和垂直方向上都附加一個位移常量,變?yōu)楦鶕?jù)傅里葉變換的性質(zhì),當(dāng)函數(shù)加上一個常量后,傅里葉變換的結(jié)果除直流分量a(0)以外,對其他傅里葉系數(shù)沒有影響,如下式所示,我們可以通過舍棄a(0)項的方法解決。當(dāng)形狀發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換,旋轉(zhuǎn)角為時,復(fù)數(shù)坐標(biāo)序列變?yōu)橥瑯痈鶕?jù)傅里葉變換的性質(zhì),此時的傅里葉變換結(jié)果為如下式所示,因此,旋轉(zhuǎn)變換只是帶給每一個傅里葉系數(shù)都乘上一個常數(shù)項的影響,所以我們可以通過選取傅里葉系數(shù)的幅度值,忽略其相位值的方法解決。當(dāng)形狀發(fā)生尺度變換,尺度變換因子為時,復(fù)數(shù)坐標(biāo)序列變?yōu)椤４?/p>

12、時DFT變換結(jié)果也是將每一個傅里葉系數(shù)都乘以一個因子,如下式所示,我們可以通過將傅里葉系數(shù)的每一項都除以a(l)項,消除尺度因子對傅里葉系數(shù)的影響。當(dāng)形狀輪廓的起始點移位個像素點時,復(fù)數(shù)坐標(biāo)序列變?yōu)?。此時DFT變換結(jié)果下式所示。此時傅里葉系數(shù)的變化也可以通過只選取傅里葉系數(shù)的幅度值解決,或者也可以將起始點的變換看作形狀邊界進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn)變換。因此,進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換歸一化后的一維傅里葉描述子表示為:其中,K為選取的傅里葉描述子的個數(shù)。傅里葉分析的理論始于1822年,當(dāng)時是由法國數(shù)學(xué)家傅里葉(Fourier J)提出的傅里葉級數(shù)的概念。目前,傅里葉理論已經(jīng)發(fā)展了近二百年,作為一種有力

13、的信號分析處理工具,廣泛應(yīng)用在各個領(lǐng)域,但在20世紀(jì)六十年代初,才被Cosgriff引用到形狀分析領(lǐng)域中來目前,基于一維傅里葉變換的1-D傅里葉描述子和基于二維傅里葉變換的2-D傅里葉描述子已經(jīng)成為形狀分析領(lǐng)域的經(jīng)典算法。3 二維傅里葉描述子123一維傅里葉描述子是基于輪廓的形狀描述子,它只利用形狀圖像邊界上的像素信息,所以1-DFD依賴于邊緣檢測算子對形狀邊界曲線的準(zhǔn)確提取,但是由于其算法簡單,計算速度快,適用于形狀比較簡單和對檢索速度要求比較高的情況,但是其平均檢索精度還有待進(jìn)一步提高。二維傅里葉描述子是基于區(qū)域的形狀描述子,它利用了圖像整個形狀區(qū)域的像素信息,因此應(yīng)用范圍廣,檢索準(zhǔn)確率高

14、并且形狀區(qū)分能力強,但是由于其信息量大,算法復(fù)雜,所以對形狀圖像的特征提取比較長_?？梢哉f,1-DFD和2-DFD有各自的優(yōu)缺點,需要根據(jù)具體的應(yīng)用要求進(jìn)行選擇。經(jīng)典的2-D傅里葉描述子如果對一幅離散的形狀圖像直接進(jìn)行二維離散傅里葉變換,得到:其中U和V分別代表頻域圖像中的第U行和第V列的頻域信息,對形狀圖像應(yīng)用二維傅里葉變換可以完全不用考慮形狀的邊界信息,但是這樣得到的傅里葉描述子是不具有旋轉(zhuǎn)不變性的。經(jīng)典的2-D FD是由Zhang和Lu在2002年提出的,也稱作GFD(GenericFourier Descriptorp,他們首先想到的是將二維DFT變換應(yīng)用在極坐標(biāo)系下采樣的圖像中,得到

15、其中, R 和T 分別為徑向頻率和角頻率。然而由于式中的存在于正弦函數(shù)中, 使得的物理意義不再是第m個角頻率,因此提取出的特征向量PF失去了在環(huán)向方向上的物理意義。為了解決這個問題,Zhang和Lu提出了一個修正的極坐標(biāo)傅里葉變換。即首先將形狀圖像放在極坐標(biāo)空間中進(jìn)行重新采樣得到,其中極坐標(biāo)的原點放置在形狀的質(zhì)心.上 R是區(qū)域形狀內(nèi)的半徑。其中:然后將重新放回至二維笛卡爾坐標(biāo)系中進(jìn)行表示,得到一幅橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為r的矩形圖像。對其進(jìn)行二維DFT變換,得到:其中R和 T 同樣分別為徑向頻率和角度頻率。接下來需要考慮特征向量的平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換的不變性。首先得到的特征向量FD2是具有平移不變性

16、的,因為在極坐標(biāo)中是以圖像的質(zhì)心為坐標(biāo)原點的。為了得到尺度不變性,我們需要將特征向量中的第一個系數(shù)除以區(qū)域形狀內(nèi)部的面積,而其他的系數(shù)除以第一個系數(shù)來進(jìn)行尺度歸一化。旋轉(zhuǎn)不變性可以通過忽略傅里葉系數(shù)的相位信息,只保留其幅值信息來得到保證。因此,具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換不變性的特征向量FD2為:其中area為區(qū)域形狀內(nèi)部的面積,m為選取的徑向頻率系數(shù)的個數(shù),n為選取的環(huán)向頻率系數(shù)的個數(shù)。與一維傅葉描述子相同,一般根據(jù)其體情況來選取FD2其中的一部分低頻系數(shù)組成二維傅里葉描述子特征向量。參考文獻(xiàn)1章毓晉等.閣像工程M.北京:潔華大學(xué)出版社,2005.2丁險峰,吳洪,張宏江等.形狀匹配綜述J.自動化

17、學(xué)報,2001' 27(5): 678-694.3Zhang D S, Lu G Review of shape representation and description techniques J.Pattern Recognition, 2004, 37(1): 1-19.4ConellJ H,Brady M. Learning shape descriptionsC/ Proceedings ofInternational Joint Conference on Artificial Intelligence, 1985: 922-925.5周瑜,劉俊濤,白翔.形狀匹配方法研究與展望J.自動化學(xué)報,2012,28(6):879-910.6趙小川.現(xiàn)代數(shù)字圖像處理技術(shù)提高及應(yīng)用案例詳解M,