高中數(shù)學(xué)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1、-作者xxxx-日期xxxx高中數(shù)學(xué)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示【精品文檔】高中數(shù)學(xué)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、內(nèi)容解析通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，可以將平面內(nèi)任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示；反之，任一有序?qū)崝?shù)對(duì)就表示一個(gè)向量，這樣就給出了向量的另一種表示坐標(biāo)表示，向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積都可以用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，使得向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)，這樣許多幾何問(wèn)題的解決，就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化了思維過(guò)程。1、 平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2、 平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相

2、同的兩個(gè)單位向量作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）為向量的坐標(biāo)，記作=（x，y），其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。3、 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則 即兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；（2）若即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)；（3）若A(x1,y1) , B(x2,y2) ，則= (x2-x1 , y2-y1)即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。二、目標(biāo)解析1、認(rèn)知目標(biāo)：理解平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的正交分解、坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)用坐標(biāo)表示

3、平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)閱讀概括、觀察猜想、歸納類(lèi)比、分析綜合等思維能力，化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用及從特殊到一般的研究方法。3、情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，培養(yǎng)自主研究，勇于探索、討論交流、閱讀自學(xué)等優(yōu)秀學(xué)習(xí)品質(zhì)。三、問(wèn)題診斷1、平面向量的坐標(biāo)與向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)，只有始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等。2、兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，這樣，相等的向量坐標(biāo)相同，但其起點(diǎn)、終點(diǎn)卻可以不同。如A（1，2）、B（3，4）、C（-2，1）、D（0，3），則四、學(xué)習(xí)行為平面向量正交分解自學(xué)輔

4、導(dǎo)式，平面向量的坐標(biāo)表示引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算自主探究式。五、教學(xué)支持條件多媒體（主要是幾何畫(huà)板軟件），實(shí)物投影儀六、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧，引出課題平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。 該定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)平面內(nèi)任一向量，在給定基底的前提下，有且只有一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)與其對(duì)應(yīng)；而由有序?qū)崝?shù)對(duì)，可以很自然地聯(lián)想到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)。那么：向量和坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系呢？這就是今天要研究的課題：平面向量的坐標(biāo)表示。 有序?qū)崝?shù)對(duì)向量 ？ 坐標(biāo) 此環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)定理過(guò)程由學(xué)生回憶并作答，教師簡(jiǎn)單分析，由此引出課題。（二）三層探究

5、，建構(gòu)新知 首先讓學(xué)生閱讀課本P105思考題前一段文字，從光滑斜面上木塊重力G分解中理解正交分解定義：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 說(shuō)明：選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會(huì)為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便。探究活動(dòng)1：平面向量的坐標(biāo)表示的定義問(wèn)題1：如圖，取與x軸，y軸同向的單位向量、為基底，分別用、表示向量。 易得； ； ； 根據(jù)定理，對(duì)，有唯一和它對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（2，3），我們稱(chēng)(2，3）為的坐標(biāo)，即=(2，3)。類(lèi)似地，。問(wèn)題2：更一般地，怎樣定義平面內(nèi)任意一個(gè)向量的坐標(biāo)？學(xué)生思考，討論，作答。（教師要給學(xué)生充足時(shí)間，并參與討論、指導(dǎo)、修整）平面向量的坐標(biāo)表示的定義：在直角

6、坐標(biāo)系內(nèi)，取與x軸，y軸同向的單位向量、為基底，任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使，則稱(chēng)（x,y）為向量的坐標(biāo)。記作=（x,y）。 師生共同剖析定義，注意并理解定義中的關(guān)鍵詞：基底的選擇，有序?qū)崝?shù)對(duì)。問(wèn)題3：寫(xiě)出下圖中各向量的坐標(biāo)。 學(xué)生思考，作答。探究活動(dòng)2：向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系問(wèn)題4：在問(wèn)題3相應(yīng)的課件中，任意拖動(dòng)點(diǎn)A，求不同位置下的向量的坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此得到它們之間有何關(guān)系？學(xué)生在觀察及回答過(guò)程中得出結(jié)論：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的有向線段表示的向量坐標(biāo)就是其終點(diǎn)坐標(biāo).即：=(x,y)A(x,y)問(wèn)題5：向量的坐標(biāo)與表示該向量的

7、有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？在得出特殊情形下的向量坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系后，給出問(wèn)題5讓學(xué)生思考，探究討論，在教師的引導(dǎo)下完成證明。 結(jié)論：若A(x1,y1) , B(x2,y2) 則= (x2-x1 , y2-y1)即：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)與起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)的差 探究活動(dòng)3：向量的坐標(biāo)運(yùn)算 問(wèn)題6：當(dāng)向量用有向線段表示時(shí)，我們可以對(duì)其進(jìn)行加、減、數(shù)乘等運(yùn)算，向量用坐標(biāo)表示了之后，相應(yīng)的運(yùn)算法則是什么？即：若，則 給學(xué)生充分時(shí)間進(jìn)行自主探究，利用實(shí)物投影展示部分學(xué)生探究證明過(guò)程。 結(jié)論：若，則。 以加法為例進(jìn)行證明（其余類(lèi)似可得）： 學(xué)生用文字語(yǔ)言概括向量的

8、坐標(biāo)運(yùn)算法則：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差），實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量的相應(yīng)坐標(biāo)。 學(xué)生反思總結(jié)證明過(guò)程中的關(guān)鍵步驟：從數(shù)到形和從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。（三）練習(xí)反饋，鞏固新知練習(xí)1：已知，求。變式：已知，求。例題與變式都由學(xué)生先完成，然后講評(píng)。注意和數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別和聯(lián)系。練習(xí)2：已知平行四邊形ABCD的點(diǎn)A、B、C分別為（-2，1）、（-1，3），（3，4），求D點(diǎn)坐標(biāo)。變式：上題中將條件“平行四邊形ABCD”改為“A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成四邊形”，則結(jié)果又如何？師生共同探索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多種解題思路，并對(duì)方法進(jìn)行總結(jié)。練習(xí)3：已知A（11，12）、B（4，5）、C（10，11），求證：A、B、C三點(diǎn)共線。變式：已知A（k，12）、B（4，5）、C（10，k），且A、B、C三點(diǎn)共線，求k的值。學(xué)生完成。反思解法，歸納一般結(jié)論。（四）總結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)1、平面向量的坐標(biāo)表示的定義，向量坐標(biāo)運(yùn)算法則。2、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。3、觀察猜想、歸納類(lèi)比等合情推理及分析、綜合等邏輯推理的方法。（五）布置作業(yè)，深化拓展1、書(shū)面作業(yè) 課本