常見的二次曲面及其方程ppt課件

1、第五節(jié) 常見的二次曲面及其方程一、根本內(nèi)容二、小結(jié)二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之三元二次方程所表示的曲面稱之相應(yīng)地平面被稱為一次曲面相應(yīng)地平面被稱為一次曲面討論二次曲面性狀的截痕法：討論二次曲面性狀的截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，調(diào)查其交線即截痕的外形，然后相截，調(diào)查其交線即截痕的外形，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、根本內(nèi)容ozyx一橢球面一橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)

2、面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：1222

3、22 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為二拋物面二拋物面zqypx 2222 與與 同號同號pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：1用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn))0 , 0 , 0(O設(shè)設(shè)0, 0 qp原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 11

4、212122zzqzypzx當(dāng)當(dāng) 變動時(shí)，這種橢變動時(shí)，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z2用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得拋物線截得拋物線與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點(diǎn)頂點(diǎn) qyy2, 02113用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.同理當(dāng)同理當(dāng) 時(shí)可類似討論時(shí)可類似討論.0, 0 qpzxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如

5、下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：當(dāng)特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p由由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)而成的xozpzx22 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動時(shí)，這種圓變動時(shí)，這種圓的中心都在的中心都在 軸上軸上.1zzzqypx 2222 與與 同號同號pq雙曲拋物面馬鞍面雙曲拋物面馬鞍面用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo三雙曲面三雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax1用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面

6、與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點(diǎn)截得中心在原點(diǎn) 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當(dāng)當(dāng) 變動時(shí)，這種橢變動時(shí)，這種橢圓的中心都在圓的中心都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax2用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點(diǎn)的雙曲線截得中心在原點(diǎn)的雙曲線. 012222yczax實(shí)軸與實(shí)軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz 122122221yybyczax雙曲線的中心都在雙曲線的中心都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線

7、.1yy )(1by ,)1(221by x實(shí)軸與實(shí)軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實(shí)軸與實(shí)軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點(diǎn)截痕為一對相交于點(diǎn) 的直線的直線.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點(diǎn)截痕為一對相交于點(diǎn) 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax3用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形 xyoz平面平面 的截痕是兩對相交直線的截痕是兩對相交直線.ax 雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法橢球面、拋物面、雙曲面、截