課時講練通版人教版高中數(shù)學(xué)選修生活中的優(yōu)化問題舉例高考必備PPT課件

1、類型一類型一: :面積、體面積、體( (容容) )積有關(guān)的最值問題積有關(guān)的最值問題【典例典例1 1】如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是一塊邊長為是一塊邊長為4km4km的正方形的正方形地域地域, ,地域內(nèi)有一條河流地域內(nèi)有一條河流MD,MD,其經(jīng)過的路線是以其經(jīng)過的路線是以ABAB的中點的中點M M為頂點且開口向右的拋物線為頂點且開口向右的拋物線( (河流寬度忽略不計河流寬度忽略不計).).新長新長城公司準備投資建一個大型矩形游樂園城公司準備投資建一個大型矩形游樂園PQCN,PQCN,問如何施問如何施工才能使游樂園的面積最大工才能使游樂園的面積最大? ?并求出最大面積并求出最大面積.

2、 .第1頁/共60頁第2頁/共60頁【解題指南解題指南】首先依據(jù)圖形建立合適的坐標系首先依據(jù)圖形建立合適的坐標系, ,設(shè)出點設(shè)出點的坐標的坐標, ,引入變量構(gòu)建與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式引入變量構(gòu)建與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式, ,再利再利用導(dǎo)數(shù)求最值用導(dǎo)數(shù)求最值. .第3頁/共60頁【解析解析】以以M M為原點為原點,AB,AB所在直線為所在直線為y y軸建立直角坐標系軸建立直角坐標系, ,則則D(4,2).D(4,2).第4頁/共60頁設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為y y2 2=2px.=2px.因為點因為點D D在拋物線上在拋物線上, ,所以所以2 22 2=8p,=8p,解得解得p= .p= .所

3、以拋物線方程為所以拋物線方程為y y2 2=x(0 x4).=x(0 x4).設(shè)設(shè)P(yP(y2 2,y)(0y2),y)(0y2)是曲線是曲線MDMD上任一點上任一點, ,12第5頁/共60頁則則|PQ|=2+y,|PN|=4-y|PQ|=2+y,|PN|=4-y2 2. .所以矩形游樂園的面積為所以矩形游樂園的面積為S=|PQ|S=|PQ|PN|=(2+y)(4-y|PN|=(2+y)(4-y2 2)=8-y)=8-y3 3-2y-2y2 2+4y.+4y.求導(dǎo)得求導(dǎo)得S=-3yS=-3y2 2-4y+4,-4y+4,令令S=0,S=0,得得3y3y2 2+4y-4=0,+4y-4=0,解

4、得解得y= y= 或或y=-2(y=-2(舍舍).).當當yy 時時,S0,S0,函數(shù)函數(shù)S S為增函數(shù)為增函數(shù); ;當當y y 時時,S0,S0,函數(shù)函數(shù)S S為減函數(shù)為減函數(shù). .232(0 )3，2(2)3，第6頁/共60頁所以當所以當y= y= 時時,S,S有最大值有最大值, ,得得|PQ|=2+y=2+ = ,|PQ|=2+y=2+ = ,|PN|=4-y|PN|=4-y2 2=4-=4-所以游樂園最大面積為所以游樂園最大面積為S Smaxmax= (km= (km2 2),),即游樂園的兩鄰邊分別為即游樂園的兩鄰邊分別為 km, kmkm, km時時, ,面積最大面積最大, ,最最

5、大面積為大面積為 kmkm2 2. .2323832232( ).398 3225639278332925627第7頁/共60頁【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的基本流程利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的基本流程第8頁/共60頁【鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練】(2016(2016廣州高二檢測廣州高二檢測) )有一塊邊長為有一塊邊長為a a的的正方形鐵板正方形鐵板, ,現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形方形, ,做成一個長方體形的無蓋容器做成一個長方體形的無蓋容器. .為使其容積最大為使其容積最大, ,截下的小正方形邊長應(yīng)為多少截下的小正方形邊長應(yīng)為多少? ?第9頁

6、/共60頁【解析解析】設(shè)截下的小正方形邊長為設(shè)截下的小正方形邊長為x,x,容器容積為容器容積為V(x),V(x),則則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a-2x,a-2x,高為高為x,x,第10頁/共60頁V(x)=(a-2x)V(x)=(a-2x)2 2x,0 x .x,0 x .即即V(x)=4xV(x)=4x3 3-4ax-4ax2 2+a+a2 2x,0 x .x,0 x .實際問題歸結(jié)為求實際問題歸結(jié)為求V(x)V(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值點上的最大值點. .為為此此, ,先求先求V(x)V(x)的極值點的極值點. .在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)內(nèi), ,a2

7、a(0, )2a(0, )2a2第11頁/共60頁V(x)=12xV(x)=12x2 2-8ax+a-8ax+a2 2. .令令V(x)=0,V(x)=0,得得12x12x2 2-8ax+a-8ax+a2 2=0.=0.解得解得x x1 1= a,x= a,x2 2= a(= a(舍去舍去).).x x1 1= a= a在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)內(nèi), ,且且當當0 xx0 x0;,V(x)0;當當x x1 1x x 時時,V(x)0.,V(x)0,f(r)0,得得2r ;2r ;令令f(r)0,f(r)0,得得0r2,0r0,y0,得得2r ;2r ;令令y0,y0,得得0r2,0r2,故當故當r r

8、時時, ,函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞減, ,故當故當r= r= 時時,y,yminmin= = 32216 r812816 r,rr 4323(0 2，32310.3第24頁/共60頁【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟步驟(1)(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系分析實際問題中各量之間的關(guān)系, ,列出實際問題的列出實際問題的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型, ,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x).y=f(x).(2)(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),f(x),解方程解方程f(x)=0.f(x)=0.第25頁/共

9、60頁(3)(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和使比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)=0f(x)=0成立的點的數(shù)值成立的點的數(shù)值的大小的大小, ,最大最大( (小小) )者為最大者為最大( (小小) )值值. .(4)(4)寫出答案寫出答案. . 第26頁/共60頁【鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練】現(xiàn)有一批貨物由海上從現(xiàn)有一批貨物由海上從A A地運往地運往B B地地, ,已知已知輪船的最大航行速度為輪船的最大航行速度為3535海里海里/ /時時,A,A地至地至B B地之間的航地之間的航行距離約為行距離約為500500海里海里, ,每小時的運輸成本由燃料費和其每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成余費用組成, ,輪船每小時

10、的燃料費與輪船速度的平方成輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比正比( (比例系數(shù)為比例系數(shù)為0.6),0.6),其余費用為每小時其余費用為每小時960960元元. .第27頁/共60頁(1)(1)把全程運輸成本把全程運輸成本y(y(元元) )表示為速度表示為速度x(x(海里海里/ /時時) )的函的函數(shù)數(shù). .(2)(2)為了使全程運輸成本最小為了使全程運輸成本最小, ,輪船應(yīng)以多大速度行駛輪船應(yīng)以多大速度行駛? ? 第28頁/共60頁【解析解析】(1)(1)依題意得依題意得y= (960+0.6xy= (960+0.6x2 2)= )= +300 x,+300 x,且由題意知且由題意知,

11、 ,函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為(0,35,(0,35,即即y= +300 x(0 x35).y= +300 x(0 x35).500 x480 000 x480 000 x第29頁/共60頁(2)(2)由由(1)(1)知知,y=- +300,y=- +300,令令y=0,y=0,解得解得x=40 x=40或或x=-40(x=-40(舍去舍去).).因為函數(shù)的定義域為因為函數(shù)的定義域為(0,35,(0,35,所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值點極值點. .又當又當0 x350 x35時時,y0,y0,所以所以y= +300 xy= +300 x在在(0,35(0,35上單調(diào)遞減上

12、單調(diào)遞減, , 2480 000 x480 000 x第30頁/共60頁故當故當x=35x=35時時, ,函數(shù)函數(shù)y= +300 xy= +300 x取得最小值取得最小值. .故為了使全程運輸成本最小故為了使全程運輸成本最小, ,輪船應(yīng)以輪船應(yīng)以3535海里海里/ /時的速時的速度行駛度行駛. .480 000 x第31頁/共60頁類型三類型三: :利潤最大問題利潤最大問題【典例典例3 3】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明, ,該商品每該商品每日的銷售量日的銷售量y(y(單位單位: :千克千克) )與銷售價格與銷售價格x(x(單位單位: :元元/ /千克千克) )滿足關(guān)

13、系式滿足關(guān)系式y(tǒng)= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2, ,其中其中3x6,a3x6,a為常數(shù)為常數(shù). .已已知銷售價格為知銷售價格為5 5元元/ /千克時千克時, ,每日可售出該商品每日可售出該商品1111千克千克. .ax 3第32頁/共60頁(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)若該商品的成本為若該商品的成本為3 3元元/ /千克千克, ,試確定銷售價格試確定銷售價格x x的值的值, ,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大. . 第33頁/共60頁【解題指南解題指南】(1)(1)利用條件銷售價格為利用條件銷售價格為5 5元元/ /千

14、克時千克時, ,每每日可售出該商品日可售出該商品1111千克代入求解千克代入求解. .(2)(2)建立利潤的函數(shù)關(guān)系式建立利潤的函數(shù)關(guān)系式, ,對函數(shù)式求導(dǎo)對函數(shù)式求導(dǎo), ,利用導(dǎo)數(shù)求利用導(dǎo)數(shù)求最值最值. .第34頁/共60頁【解析解析】(1)(1)因為因為x=5x=5時時,y=11,y=11,所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知, ,該商品每日的銷售量該商品每日的銷售量y= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2, ,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)=(x-3) f(x)=(x-3

15、) =2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6.,3x6.a22x 32210 x 6 x 3第35頁/共60頁從而從而,f(x)=10(x-6),f(x)=10(x-6)2 2+2(x-3)(x-6)+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).=30(x-4)(x-6).于是于是, ,當當x x變化時變化時,f(x),f(x),f(x),f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表: :x x(3,4)(3,4)4 4(4,6)(4,6)f(x)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大值極大值4242單調(diào)遞減單調(diào)遞減第36頁/共60頁

16、由上表可得由上表可得,x=4,x=4是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(3,6)(3,6)內(nèi)的極大值點內(nèi)的極大值點, ,也是最大值點也是最大值點. .所以所以, ,當當x=4x=4時時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)取得最大值取得最大值, ,且最大值等于且最大值等于42.42.答答: :當銷售價格為當銷售價格為4 4元元/ /千克時千克時, ,商場每日銷售該商品所商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大獲得的利潤最大. .第37頁/共60頁【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】利潤問題中的等量關(guān)系利潤問題中的等量關(guān)系解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題, ,應(yīng)靈活運用題設(shè)條件應(yīng)靈活運用題設(shè)條件

17、, ,建立利潤的函數(shù)關(guān)系建立利潤的函數(shù)關(guān)系, ,常見的基本等量關(guān)系有常見的基本等量關(guān)系有: :利潤利潤= =收入收入- -成本成本; ;利潤利潤= =每件產(chǎn)品的利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)銷售件數(shù). .第38頁/共60頁【鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練】(2016(2016沈陽高二檢測沈陽高二檢測) )某商品每件成本某商品每件成本9 9元元, ,售價為售價為3030元元, ,每星期賣出每星期賣出432432件件, ,如果降低價格如果降低價格, ,銷售銷售量將會增加量將會增加, ,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值降低值x(x(單位單位: :元元,0 x30),0 x

18、30)的平方成正比的平方成正比, ,已知商品已知商品單價降低單價降低2 2元時元時, ,一星期將多賣出一星期將多賣出2424件件. .第39頁/共60頁(1)(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成將一個星期的商品銷售利潤表示成x x的函數(shù)的函數(shù). .(2)(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大? ? 第40頁/共60頁【解題指南解題指南】(1)(1)先求出比例系數(shù)先求出比例系數(shù), ,再依據(jù)題設(shè)求出多再依據(jù)題設(shè)求出多賣的商品數(shù)賣的商品數(shù), ,再根據(jù)銷售利潤再根據(jù)銷售利潤= =銷售收入銷售收入- -成本成本, ,列出函列出函數(shù)關(guān)系式數(shù)關(guān)系式, ,即可得

19、到答案即可得到答案.(2).(2)根據(jù)根據(jù)f(x)f(x)的解析式的解析式, ,用導(dǎo)用導(dǎo)數(shù)求最值數(shù)求最值. .第41頁/共60頁【解析解析】(1)(1)設(shè)商品降價設(shè)商品降價x x元元, ,則多賣出的商品件數(shù)為則多賣出的商品件數(shù)為kxkx2 2, ,若記商品一個星期的獲利為若記商品一個星期的獲利為f(x),f(x),則依題意有則依題意有f(x)=(30-x-9)f(x)=(30-x-9)(432+kx(432+kx2 2)=(21-x)(432+kx)=(21-x)(432+kx2 2).).又由已知條件又由已知條件,24=k,24=k2 22 2, ,于是有于是有k=6.k=6.所以所以f(x

20、)=-6xf(x)=-6x3 3+126x+126x2 2-432x+9072,x0,30.-432x+9072,x0,30.第42頁/共60頁(2)(2)根據(jù)根據(jù)(1)(1)有有f(x)=-18xf(x)=-18x2 2+252x-432+252x-432=-18(x-2)(x-12),=-18(x-2)(x-12),當當x x變化時變化時,f(x),f(x),f(x),f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表: : x x0,2)0,2)2 2(2,12)(2,12)1212(12,30(12,30f(x)f(x)- -0 0+ +0 0- -f(x)f(x)單調(diào)遞單調(diào)遞減減 極極小小值值

21、單調(diào)遞單調(diào)遞增增 極大極大值值單調(diào)遞減單調(diào)遞減 第43頁/共60頁故當故當x=12x=12時時,f(x),f(x)取到極大值取到極大值, ,因為因為f(0)=9072,f(12)=f(0)=9072,f(12)=11664,11664,所以定價為所以定價為30-12=18(30-12=18(元元) )時能使一個星期的商品銷售時能使一個星期的商品銷售利潤最大利潤最大. .第44頁/共60頁類型四類型四: :效率最高問題效率最高問題【典例典例4 4】我們知道我們知道, ,汽油的消耗量汽油的消耗量w(w(單位單位:L):L)與汽車的與汽車的速度速度v(v(單位單位:km/h):km/h)之間有一定的

22、關(guān)系之間有一定的關(guān)系, ,汽油的消耗量汽油的消耗量w w是汽車速度是汽車速度v v的函數(shù)的函數(shù). .通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù), ,并對數(shù)據(jù)進并對數(shù)據(jù)進行分析、研究行分析、研究, ,人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn), ,汽車在行駛過程中汽車在行駛過程中, ,汽油平均汽油平均第45頁/共60頁消耗率消耗率g(g(即每小時的汽油消耗量即每小時的汽油消耗量, ,單位單位:L/h):L/h)與汽車行與汽車行駛的平均速度駛的平均速度v(v(單位單位:km/h):km/h)之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系系g=f(v).g=f(v).且點且點(90,5)(90,5)為直線為直線y=kxy=kx與函

23、數(shù)與函數(shù)g=f(v)g=f(v)相切時相切時的切點的切點, ,那么汽車平均速度為多少時那么汽車平均速度為多少時, ,汽油使用率最高汽油使用率最高, ,此時的每千米耗油量大約是多少此時的每千米耗油量大約是多少L?L?第46頁/共60頁第47頁/共60頁【解題指南解題指南】研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量與汽車行駛路程的比值與汽車行駛路程的比值. .如果用如果用G G表示每千米平均的表示每千米平均的汽油消耗量汽油消耗量, ,那么那么G= ,G= ,其中其中,w,w表示汽油消耗量表示汽油消耗量( (單單位位:L),s:L),s表示汽車行駛的路程表示汽車行駛的路程(

24、 (單位單位:km).:km).從圖中不能直從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題接解決汽油使用效率最高的問題. .因此因此, ,我們首先需要我們首先需要ws第48頁/共60頁將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率g(g(即每小時的汽油耗量即每小時的汽油耗量, ,單位單位:L/h):L/h)與汽車行駛的平均速度與汽車行駛的平均速度v(v(單位單位:km/h):km/h)之間的之間的關(guān)系的問題關(guān)系的問題. .然后利用圖象中的數(shù)據(jù)信息然后利用圖象中的數(shù)據(jù)信息. .解決汽油使解決汽油使用效率最高的問題用效率最高的問題. .第49頁/共60頁【解析解析】設(shè)設(shè)G G表示每千米平均的汽油消

25、耗量表示每千米平均的汽油消耗量,s,s表示汽車表示汽車行駛的路程行駛的路程( (單位單位:km).:km).因為因為G=G=這樣這樣, ,問題就轉(zhuǎn)化為求問題就轉(zhuǎn)化為求 的最小值的最小值. .從圖象上看從圖象上看, , 表示表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率, ,進一步發(fā)現(xiàn)進一步發(fā)現(xiàn), ,當直當直線與曲線相切時線與曲線相切時, ,其斜率最小其斜率最小. .在此切點處速度約為在此切點處速度約為90km/h.90km/h.wwgt.ssvtgvgv第50頁/共60頁因此因此, ,當汽車行駛距離一定時當汽車行駛距離一定時, ,要使汽油的使用效率要使汽油的使用效率最高最高,

26、 ,即每千米的汽油消耗量最小即每千米的汽油消耗量最小, ,此時的車速約為此時的車速約為90km/h,90km/h,從數(shù)值上看從數(shù)值上看, ,每千米的耗油量就是圖中的切線每千米的耗油量就是圖中的切線的斜率的斜率, ,即即f(90),f(90),約為約為 (L/km).(L/km).519018第51頁/共60頁【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】1.1.效率最高效率最高單位時間內(nèi)完成任務(wù)量最多單位時間內(nèi)完成任務(wù)量最多總?cè)蝿?wù)與總?cè)蝿?wù)與完成任務(wù)的總時間的比最大完成任務(wù)的總時間的比最大. .2.2.效率最高問題的解題途徑效率最高問題的解題途徑第52頁/共60頁【鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練】如圖如圖, ,一海島駐一海島駐扎一支部隊扎一支部隊, ,海島離岸邊最近海島離岸邊