第六章__不等式

1、十年高考分類解析與應(yīng)試策略數(shù)學(xué)第六章 不等式考點(diǎn)闡釋不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容， 是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和重要工具， 因而也 是數(shù)學(xué)高考的考查重點(diǎn)， 在歷年的高考數(shù)學(xué)試題中有相當(dāng)?shù)谋戎兀?這些試題不僅考查有關(guān)不 等式的基本知識(shí)、基本技能、基本方法，而且注重考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力，以及分析 問題和解決問題的能力 .不等式的性質(zhì)在解不等式、 證不等式中的應(yīng)用、 證明不等式既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)， 要求掌 握證明不等式的基本方法：作差比較法、綜合法、分析法，重點(diǎn)掌握作差比較法.熟練掌握一元一次不等式（組） 、一元二次不等式的解法，在此基礎(chǔ)上掌握簡單的無理不等式、指數(shù) 不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法

2、.試題類編一、選擇題1. （ 2003 京春文， 1）設(shè) a，b，c，d R，且 a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是（）A. a+c>b+dB.a c>bdabC.ac>bdD.dc2.（ 2002 京皖春，1）不等式組103x 0的解集是A x 1<x<1B x0<x< Cx 0<x<1D x 1< x< 3.（ 2002全國， 3）不等式（ 1 x）（ 1 x）> 0的解集是（）Ax0x<1B.x x< 0且 x 1Cx 1<x<1D.xx< 1且 x1C.x| x<1

3、 或 x>35.（ 2001 京春）若實(shí)數(shù)A.18B.6 C.2 3D.24 3x14.（2001 河南、廣東， 1）不等式 xx 13>0的解集為（）B.x| x>3A.x| x<1D.x|1< x<3a、b 滿足 a+b=2，則 3a+3b 的最小值是（6.（ 2001 上海春）若 a、b 為實(shí)數(shù)，則 a>b>0是 a2>b2的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分條件也非必要條件1 a b7.（2000 全國，7）若 a>b>1，P lga lgb ，Q （ lga lgb）， R lg（），則（

4、 ）A.R< P< QB.P< Q< RC.Q< P<RD.P< R<Q8.（ 2000 全國， 6）中華人民共和國個(gè)人所得稅法規(guī)定，公民全月工資、薪金所得 不超過 800 元的部分不必納稅，超過 800 元的部分為全月應(yīng)納稅所得額 .此項(xiàng)稅款按下表分 段累進(jìn)計(jì)算：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過 500 元的部分5%超過 500 元至 2000 元的部分10%超過 2000 元至 5000 元的部分15%某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款 26.78 元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于（ ） A.800 900 元B.9001200 元C.12001500 元D

5、.1500 2800 元9.（ 1999 上海理， 15）若 a<b<0，則下列結(jié)論中正確的命題是（）1111A和ab和|a|b|111B.和abb|a|11C.不等式和aba11D.不等式和（|a|b|1 a+ )b1 a+ )a均不能成立1 均不能成立|b|b+1 ）2均不能成立 ab+1 ） 2均不能成立 b10.（ 1999全國，14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為 60 元、70 元的單片軟件和盒裝磁盤 方式共有（ ）.根據(jù)需要，軟件至少買3 片，磁盤至少買2 盒，則不同的選購A.5種B.6 種C.7種D.8種x011（1997全國， 14）不等式組

6、 3 x 2 x 的解集是（ ）3 x |2 x |A.x0<x<2C. x 0< x< 6 B. x 0< x< 2.5D. x 0< x< 312. （1994 上海， 12）若 0<a< 1，則下列不等式中正確的是（11B.log1a（1a）>0D.（ 1a） （1 a）>1A.（1a） 3>（1a） 2C. （1a）3>（ 1a）2二、填空題13. （ 2002 上海春， 1）函數(shù) y的定義域?yàn)?（ 上海春， ）函數(shù) 3 2x x 214. （1999 全國， 17）若正數(shù) a、b 滿足 ab=a+b+

7、3，則 ab 的取值范圍是1 x2 82x15. （1995 全國理， 16）不等式（ ） x 8 >32x的解集是 .32x 116. （ 1995 上海， 9）不等式>1 的解是.x317. （1994上海， 1）不等式 | x 1| <1的解集是 三、解答題18. （2002 北京文， 17）解不等式 2x 1 2>x19（2002北京理， 17）解不等式 | 2x 1x| <2.20.（2002 上海， 20）某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同得到的優(yōu)惠率購買商品獲得的優(yōu)惠額商品的標(biāo)價(jià).試問：時(shí)，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按

8、如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：消費(fèi)金額（元）的范圍 200， 400) 400， 500 ) 500， 700) 700， 900)獲得獎(jiǎng)券的金額（元）3060100130根據(jù)上述促銷方法， 顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠。 例如，購買標(biāo)價(jià)為 400 元的 商品，則消費(fèi)金額為 320 元，獲得的優(yōu)惠額為： 400×0 230 110（元） .設(shè)購買商品1）若購買一件標(biāo)價(jià)為 1000 元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少 ?2）對(duì)于標(biāo)價(jià)在 500 ，800（元）內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可得到1不小于 的優(yōu)惠率 ?3221.（2002 江蘇， 22）已知 a>0，函數(shù) f

9、（x） ax bx2（1）當(dāng) b>0 時(shí)，若對(duì)任意 xR都有 f（ x） 1，證明 a2 b；（2）當(dāng) b>1時(shí)，證明：對(duì)任意 x0，1，| f（x）| 1的充要條件是 b1a2 b ；（3）當(dāng) 0< b1時(shí)，討論：對(duì)任意 x 0，1，| f（x）|1的充要條件 .xa22.（2001 年天津， 7）解關(guān)于 x 的不等式2 <0（aR）x a223.（2000 上海春， 19）有一批影碟機(jī)（ VCD）原銷售價(jià)為每臺(tái) 800 元，在甲、乙兩家 家電商場均有銷售 .甲商場用如下的方法促銷：買一臺(tái)單價(jià)為780 元，買兩臺(tái)每臺(tái)單價(jià)都為760 元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單

10、價(jià)均再減少 20 元，但每臺(tái)最低不能低于 440 元；乙商場一律都按原價(jià)的75%銷售 .某單位需購買一批此類影碟機(jī)，問去哪家商場購買花費(fèi)較少 ?24（. 2000 京皖春文 24，理 23）某地區(qū)上年度電價(jià)為 0.8 元 kW·h，年用電量為 a kW·h. 本年度計(jì)劃將電價(jià)降到 0.55元 kW·h 至 0.75元 kW·h之間，而用戶期望電價(jià)為 0.4 元 kW·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例 系數(shù)為） .該地區(qū)電力的成本價(jià)為 0.3 元 kW·h.（ 1）寫出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門

11、的收益y 與實(shí)際電價(jià) x 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）設(shè) 02a，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長 20%?（注：收益實(shí)際用電量×（實(shí)際電價(jià) M 成本價(jià)）25.（2000 全國文 20，理 19）設(shè)函數(shù) f（x） x2 1 ax，其中 a>01）解不等式 f（x） 1；2）求 a 的取值范圍，使函數(shù) f（ x）在區(qū)間 0，）上是單調(diào)函數(shù)26.（1999全國理， 19）解不等式 3logax 2 2logax 1（a>0且 a1）27（1998 全國文， 20）設(shè) ab,解關(guān)于 x 的不等式 a2x b2（1x）axb（1x） 28（1998 全國文 24

12、、理 22）如圖 6 1，為處理含有某種雜質(zhì) 的污水，要制造一底寬為 2 米的無蓋長方體沉淀箱， 污水從 A孔流入， 經(jīng)沉淀后從 B 孔流出， 設(shè)箱體的長度為 a 米，高度為 b 米 .已知流出的 水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與 a、 b 的乘積 ab 成反比 .現(xiàn)有制箱材料 60 平方米 .問當(dāng) a、b 各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分圖 6 1數(shù)最小（ A、B 孔的面積忽略不計(jì)） ?29.（1997全國， 22）甲、乙兩地相距 s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得 超過 c 千米時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成： 可變部分與速度 v（千米時(shí)）的

13、平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為 a 元 .（ 1）把全程運(yùn)輸成本 y（元）表示為速度 v（千米時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定 義域；（ 2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛?30.（1997 全國理， 24）設(shè)二次函數(shù) f（x）ax2bx+c（a>0），方程 f（x）x0 的1兩根 x1、x2 滿足 0<x1<x2< a）當(dāng) x（0，x1）時(shí)，證明： x<f （ x）< x1；）設(shè)函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x=x0對(duì)稱，證明： x0< x21131（ 1996 全國理， 20）解不等式 loga（1）> 1x32（ 1996

14、 全國文， 20）解不等式 loga（x1a）> 1233（1996 全國理， 25）已知 a、b、c 是實(shí)數(shù)，函數(shù) f（x）=ax2bxc，g（ x）=ax+b， 當(dāng) 1x1 時(shí)， | f（x）| 1（）證明： |c| 1；（）證明：當(dāng) 1 x1 時(shí)， | g（ x） | 2；（）設(shè) a>0，當(dāng) 1x1時(shí)， g（ x）的最大值為 2，求 f（x）.34.（ 1994 全國文， 22）已知函數(shù) f（x）=logax（a>0，且 a 1）， x 0， +） .若 x1，x20，+），判斷 1 22x1 x2f（ x1） +f（x2）與 f（ 1 2 ）的大小，并加以證明1 2

15、2答案解析1.答案： A解析： a>b， c>d ， a+c>b+d.2. 答案： C解析：原不等式等價(jià)于：2x1x(x 3) 01x10x30<x<13. 答案： Dx 1）（ x1）< 0解法一： x0 時(shí)，原不等式化為： （1x）（ 1x）> 01x10 x<1x0x<0 時(shí)，原不等式化為： （1x）（1x）>0 （1x）2>0 x 1 x< 0 且 x 1 綜上，不等式的解集為 x<1且 x1.解法二：原不等式化為：1 x 0 1 x 0或1 |x| 0 1 |x| 0x1解得 1< x< 1|x

16、| 1x1解得即 x< 1|x| 1原不等式的解集為 x<1 且 x 1 評(píng)述：該題體現(xiàn)了對(duì)討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對(duì)值的基本方法的要求4. 答案： Cx1解析：由已知 0 （x1）（ x3）>0，x3 x<1 或 x>3.故原不等式的解集為 x|x<1或 x>3.5. 答案： B解析：3a+3b2 3a 3b 2 3a b =6，當(dāng)且僅當(dāng) a=b=1時(shí)取等號(hào) .故 3a+3b 的最小值是 6. 評(píng)述：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號(hào)成立的條件 .6. 答案： A 解析：由 a>b>0得a2>b2.反過來 a2>

17、;b2則可能 a<b<0.故 a>b>0是a2>b2的充分不必要條件7. 答案： B1解析： lga>lgb>0， （lgalgb）> lga lgb ，即 Q>P，又 a> b>1， a b ab ，2a b 1 lg( 2 ) lg ab 2lgalgb），即 R> Q，有 P<Q< R，選 B.8. 答案： C解析：分別以全月工資、薪金所得為900元， 1200元， 1500 元，2800 元計(jì)算應(yīng)交納此項(xiàng)稅款額，它們分別為： 5元，20 元， 70元， 200元. 20<26 78< 70，

18、所以某人當(dāng)月工資、薪金所得介于1200 1500 元，選 C.11.a b a9. 答案： B解析： b<0， b>0， a b>a ，又 a b<0， a<0，11故 不成立 .a b a1111a<b<0 ， | a|>| b| ，故不成立 .由此可選 B|a|b|a|b|另外， A 中11 成立.C與 D 中（1 a+ )212>(b+）2成立 .其證明如下：abba a<b<0，111111<0，a+ <b+<0， |a+ |>|b+ | ，bababa1 故（ a+ ）2>(b+ 1 )2

19、ba評(píng)述：本題考查不等式的基本性質(zhì)10.答案：C解析：設(shè)購買軟件 x 片，x 3 且xN*，磁盤 y 盒，y2 且 y N*，則 60x+70y500，即 6x+7y 50當(dāng) x=3時(shí)，y=2，3，4.有3種選購方式 .當(dāng) x=4時(shí)，y=2，3.有2種選購方式 .當(dāng) x=5 時(shí)， y=2. 有 1 種選購方式 .當(dāng) x=6 時(shí)， y=2. 有 1 種選購方式 .綜上，共有 7 種選購方式，故選 C. 評(píng)述：此題考查不等式的應(yīng)用，建模能力，分類討論思想及應(yīng)用意識(shí)11. 答案： C解法一：當(dāng) x2 時(shí)，原不等式化為去分母得（ x+2）（ 3 x）>（ x+3）（x 2）， 即 x x 6&g

20、t;x x6，2x 12< 0，6 x 6 注意 x 2，得 2 x< 6 ；x6排除 D；在 0<m< 13 x 2 x當(dāng) 0<x<2 時(shí)，原不等式化為，去分母得 x2x 6> x23 x 2 x 即 2x>0 注意 0<x< 2，得 0< x< 2 綜上得 0<x< 6 ，所以選 C.解法二：特殊值法 .取 x=2，適合不等式，排除 A；取 x=2.5，不適合不等式， 再取 x= 6 ，不適合不等式，所以排除 B；選 C.評(píng)述：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力 .12. 答案： A解析：因?yàn)?0

21、<a<1，所以 0< 1 a< 1，而指數(shù)函數(shù) y=mx（m> 0，m1） 11時(shí)，是減函數(shù)，則（ 1a）3>（1a） 2，故選 A.13. 答案：（ 3，1）解析： 32xx2>0 x2+2x3<0 3<x<114. 答案： ab 9解析一：令 ab =t（t >0）由 ab=a+b+32 ab +3，得 t22t+3，解得 t 3，即 ab 3.故 ab 9.a3解析二：由已知得 abb=a+3，b（a1）=a+3， b=（a>1）a1ab=a a 3=（a1）+1 a1a 3 a 3 a 1 4=a+3+=a 1+4

22、+=a 1a 1 a 1 a 14+a14a1+5=9.4當(dāng)且僅當(dāng) a 1=時(shí)取等號(hào) .即 a=b=3 時(shí) ab 的最小值為 9.所以 ab 的取值范圍是a1（9，+）. 評(píng)述：本題考查基本不等式的應(yīng)用及不等式的解法及運(yùn)算能力.解法一重在思考 a+b 與ab 的關(guān)系聯(lián)想均值不等式 .而解法二是建立在函數(shù)的思想上，求函數(shù)的值域.15答案：x| 2<x<42解析：將不等式變形得 3 x 8 3 2x則 x28>2x，從而 x22x8<0，（x2）（ x4）<0，2<x<4，所以不等式的 解集是 x| 2<x< 4評(píng)述：此題考查指數(shù)不等式的解法

23、.16.答案： x< 3 或 x> 42x 1 x 3 x 4解析：變形得>0，即>0，所以 x<3或 x>4x 3 x317.答案： x| 2<x<0解析：原不等式等價(jià)于 1<x 1<1.解得 2<x<018.解：2x 1 2 x2x 1 02x 1 0x 2 0, 或2 x 2 02x 1 (x 2)2x 2,2x2 6x 5 0x 2 1或1 x 5或 2x212 x 5或x 221x 5.2所以，原不等式組的解集為x| 1x<522x 1 x 219.解：原不等式2x 1 x 2.2x 1 0,因?yàn)?2x 1

24、 x 2 2x 1 x 2 x 2 0,2x 1 (x 2)2x1x12x2 2x 5 02x 1 02x 1 0 又 2x 1 x 2 x 2 0, 或2 x 2 0 2x 1 (x 2)2x2 2,或 1 x 2x2 6x 5 0 2112 x 5或x 2 x 5.2所以，原不等式組等價(jià)于x1x1 2x12 x,1 x 55,2 x因此，原不等式的解集為x| 1x<5220.解：（）1000 0.2 130 331000（）設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為 x 元，則 500x800，消費(fèi)額： 40008x6400.2x 60 10.2x 100 1由已知得 x 3 或 x 3400 0.8x 500

25、500 0.8x 640不等式組無解，不等式組的解為625 x 7501因此，當(dāng)顧客購買標(biāo)準(zhǔn)在 625， 750元內(nèi)的商品時(shí)，可得到不少于的優(yōu)惠率 .321.（）證明：依設(shè)，對(duì)任意xR，都有 f（x） 1，f(x) b(x a ) 2 a ，2b 4baa2 f（ a ） a 1， a>0，b>0， a2 b2b 4b（）證明：必要性對(duì)任意 x 0，1，| f（x）| 1 1f（x），據(jù)此可以推出 1f（1）， 即 a b 1， ab1；1對(duì)任意 x 0，1，| f（x）| 1 f（x）1，因?yàn)?b>1，可以推出 f（）1，b即 a·11，a2 b ；b1a2 b

26、kx 0.4a，電力部門的收益為ky（ a）x 0.4x03）55x075）充分性因?yàn)?b>1， ab1，對(duì)任意 x0，1，可以推出 axbx2b（xx2）x x 1，即 ax bx2 1 ；因?yàn)?b>1，a2 b ，對(duì)任意 x 0， 1，可以推出 ax bx2 2 b x bx21， 即 ax bx2 1 1f（x） 1綜上，當(dāng) b>1時(shí)，對(duì)任意 x 0， 1，| f（ x） | 1的充要條件是 b1a2 b （）解：因?yàn)?a>0，0<b1 時(shí)，對(duì)任意 x0，1：f（x） axbx2 b 1，即 f（ x） 1；f（x）1 f（1） 1 a b1 ，即 ab1，

27、ab1 f（ x）（ b 1） x bx2 1，即 f（x）1所以，當(dāng) a>0，0<b1 時(shí)，對(duì)任意 x0，1，|f（x）|1 的充要條件是 ab1 2222.解：原式（ x a）（ x a2）< 0， x1a，x2a2當(dāng) a=a2時(shí)，a=0或 a=1， x ，當(dāng) a<a2時(shí)，a>1或a<0，a<x<a2，當(dāng) a>a2時(shí) 0<a<1，a2<x<a，當(dāng) a<0時(shí)a< x< a2，當(dāng)0< a< 1時(shí)，a2< x< a，當(dāng)a> 1時(shí)，a< x< a2，當(dāng) a=0或

28、 a=1 時(shí)， x評(píng)述：此題考查不等式的解法及分類討論思想23.解：設(shè)某單位需購買 x 臺(tái)影碟機(jī)，甲、乙兩商場的購貨款的差價(jià)為y，則去甲商場購買共花費(fèi)（ 800 20x） x，據(jù)題意， 80020x 440，1x18去乙商場購買共花費(fèi) 600x， xN*，故若買少于 10 臺(tái)，去乙商場花費(fèi)較少；若買 10 臺(tái)，去甲、乙商場花費(fèi)一樣；若買超過10 臺(tái)，去甲商場花費(fèi)較少24.解：（1）設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為 x元 kW·h，依題意知用電量增至2）依題意有( 0.2a(x 0.4所以，當(dāng) 0<a<1 時(shí)，所給不等式的解集為x|0x 2a2 ；1 a2a)(x 0.3) a (0.8

29、0.3)(1 20%),0.55 x 0.75.x2 1.1x 0.3 0,整理得0.55 x 0.75.解此不等式得 0 60x0 75答：當(dāng)電價(jià)最低定為 0.60 元 kW·h 仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.評(píng)述：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、 思想和方法解決實(shí)際問題的能力 .25.（1）解法一：不等式 f（x） 1，即 x2 1 1ax，由此得 1 1 ax，即 ax0，其中常數(shù) a> 0. 所以，原不等式等價(jià)于x2 1 （1 ax）2 , x 0,即x 0. （a2 1）x 2a 0.當(dāng) a1 時(shí)，所給不等式的解集為

30、 x|x0 解法二：利用數(shù)形結(jié)合f（x）1即 x2 11ax設(shè) x2 1y， y2x21（y>0）設(shè) yax 1所研究的問題為直線 l：y ax1 位于雙曲線 上半支上方時(shí) x 的范圍，如圖 6 2 所示：當(dāng) 0<a<1 時(shí)，直線 l 與雙曲線 C有兩個(gè)交點(diǎn)，標(biāo)分別為：x0，2ax 1 a20 x2a1 a2當(dāng) a1時(shí)，直線 l與雙曲線 C只有（ 0，1）一個(gè)交點(diǎn)，只要 x 0，原不等式就成立綜合，所以，當(dāng) 0<a<1 時(shí)，所給不等式的解集為2ax|0 x2 ；1 a2當(dāng) a 1時(shí)，所給不等式的解集為 x|x0（ 2）在區(qū)間 0， ） 上任取 x1，x2，使得 x

31、1<x2 f （x1） f（x2）x12 1 x22 1 a（x1 x2 ）22x1 x22 2a(x1 x2 )x1 1x2 1x1 x2(x1 x2)( 2 2 a)x12 1 x22 1當(dāng) a1 時(shí)，x1 x22x12 1 x22 1x1 x2x12 1 x22 1 a< 0，又 x1 x2< 0，f（x1） f（x2）>0，即 f（x1）> f（ x2） .所以，當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) f（x）在區(qū)間 0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)2a當(dāng) 0<a< 1 時(shí)，在區(qū)間 0，）上存在兩點(diǎn) x10，x22 ，滿足 f（ x1） 1，1 2 1 a21f（ x2）

32、1，即 f（x1）f（x2），所以函數(shù) f（x）在區(qū)間 0，）上不是單調(diào)函數(shù) . 綜上，當(dāng)且僅當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) f（x）在區(qū)間 0，）上是單調(diào)函數(shù) . 評(píng)述： 本小題主要考查不等式的解法、 函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)， 分類討論的數(shù)學(xué)思想 方法和運(yùn)算、推理能力 .3loga x 2 0,26.解：原不等式等價(jià)于3log a x 2 （2log a x 1）2,2log a x 1 0.loga23,3解之得 loga x 或 loga x 1,41log a x 2所以 logax< 或 logax> 13423當(dāng) a>1時(shí)得所求的解集是 x|a3x<a4 x| x>

33、;a；32當(dāng) 0<a<1時(shí)得所求的解集是 x|a4<xa3 x|0 <x<a評(píng)述： 此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)不等式、無理不等式解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類 討論的思想 .2 2 2 2 2 2 27.解：將原不等式化為（ a2b2）xb2（ ab）2x22（ab）bxb2 移項(xiàng)，整理得（ ab）2（x2 x）0， ab，即（ ab）2> 0， x2x 0， 0 x1不等式的解集為 x|0 x1 評(píng)述：此題考查不等式基本知識(shí)，不等式的解法 .28.解法一：設(shè) y 為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則ky= ，其中 k> 0 為比例系數(shù)，ab依題意，即所求的a、

34、b 值使 y 值最小 .根據(jù)題設(shè)，有 4b+2ab+2a=60（a> 0，b>0）30 a得 b=(0<a<30) 2a于是kab30a a2a 322a64a2k6434 (a 2 ) a2k186434 2 (a 2) a64264當(dāng) a+2= 時(shí)取等號(hào)， y 達(dá)到最小值 .a2這時(shí) a=6，a=10（舍去） 將 a=6 代入式得 b=3故當(dāng) a 為 6 米， b 為 3 米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二：依題意，即所求的 a、b 值使 ab最大.由題設(shè)知 4b+2ab+2a=60（ a>0，b>0）即 a+2b+ab=30（a>

35、;0， b>0）a+2b2 2ab 2 2 ab ab30 當(dāng)且僅當(dāng) a=2b 時(shí)，上式取等號(hào) .由 a>0， b>0，解得 0<ab 18即當(dāng) a=2b時(shí)， ab 取得最大值，其最大值為 18. 2b218解得 b=3，a=6.故當(dāng) a 為 6 米， b 為 3 米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.評(píng)述： 本題考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、 思想和方法解決實(shí)際問題的能力， 考查函數(shù)關(guān) 系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理 解能力、建模能力 .ss29. 解：（ 1）依題意汽車從甲勻速行駛到乙所用的時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為

36、 y a·vvsaabv2· s（ bv），所求函數(shù)及其定義域?yàn)?y=s（ bv），v（ 0，cvvva2）由題意， s、 a、b、 v 均為正數(shù)，故 s（ bv） 2s ab v等式當(dāng)且僅當(dāng) a bv，即 v a 時(shí)成立 . vb若 a c，則當(dāng) v= a 時(shí)，全程運(yùn)輸成本 y 最??； bbab>c，aa1 1當(dāng) v（0，c 時(shí)，有 s（ bv） s（ bc） sa（）b（vvcv csc）（ cv）a bcv）vc因?yàn)?cv0，且 a>bc2，故 a bcv> a bc2>0，aa所以 s（ bv） s（ bc），當(dāng)且僅當(dāng) v=c時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)

37、 v=c 時(shí)，全程運(yùn)輸成vc本 y 最小 .綜上，為使全程運(yùn)輸成本 y最小，當(dāng) a c時(shí)，行駛速度為 v= a ； bb當(dāng) a > c 時(shí)，行駛速度為 v=c.評(píng)述：此題考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用所 學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力.考查數(shù)學(xué)建模能力、求最值的方法.30. 證明：（ 1）令 F（x）=f（x）x，由 x1、x2是方程 f（x）x=0 的兩根，有 F（ x） =a （xx1）（xx2）當(dāng) x（ 0， x1）時(shí)，由 x1x2，及 a>0，有 F（x）=a（xx1）（xx2）> 0，即 F（x）=f（x） x>0，

38、f（x）> x又 x1f（x）=x1 xF（ x） x1 x a（ x x1）（ x x2）（ x1 x） 1 a（x x2）1因?yàn)?0<x< x1< x2<a所以 x1 x> 0， 1 a（x x2） 1 ax ax2>1 ax2> 0得 x1> f（ x），所以 x<f（x）< x1.b（ 2）依題意 x0 b ，因 x1、x2是 f（x） x=0 的根，即 x1、 x2是方程0 2a 1 2 1 2ax2（ b1） x+c=0 的根所以 x1 x2b1b a（x1 x2 ） 1 ax1 ax2 1x00 2a 2a 2aa

39、x1 ax2 1 ax1 x1因?yàn)?ax2< 1，即 ax2 1< 0，故 x0 1 2 1 1 2 2 0 2a 2a 2評(píng)述： 此題考查一元二次方程、 二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)， 考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí) 分析問題和解決問題的能力，考查證明不等式的方法 .31. 解：（1）當(dāng) a> 1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：111 1xx01因 >1 a> 0，所以 x> 1，故有xa1<x<11a11x1 1xx011，因 <1a<0，所以 x<0，故有<x< 0；x 1 a a2）當(dāng)0<a<1 時(shí)，原不等式等

40、價(jià)于不等式組：綜上，當(dāng) a>1時(shí)，不等式的解集為 x| 1 <x<0 1a當(dāng) 0<a<1 時(shí)不等式解集為 x|1<x<1a評(píng)述：此題考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算能力等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想 .x 1 a 032. 解：（1）當(dāng) a> 1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組x 1 a a,解得 x>2a 1；x 1 a 0（2）當(dāng) 0<a<1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組x 1 a a,解得 a1< x<2a 1綜上，當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為 x| x>2a 1；當(dāng) 0<a<1時(shí)，不等式的解集為 x

41、|a 1<x<2a1評(píng)述：此題考查對(duì)數(shù)不等式的解法、運(yùn)算能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想 .33. （）證明：由條件當(dāng) 1x1 時(shí)，| f（x）|1，取 x=0，得|c| f（0）|1， 即| c| 1（）證明：當(dāng) a>0 時(shí)，g（x）=ax+b 在 1，1上是增函數(shù)，所以 g（1） g（x） g（1），因?yàn)?|f（x）| 1 （1x 1），|c| 1，所以 g（1）=a+b=f（1）c 3 |f（1）|c| 2，g（ 1 ） a+b= f（ 1） +c（ | f （ 1 ） | | c| ） 2 ， 由此得 | g（x）| 2；當(dāng) a<0時(shí)，g（x）=ax+b在

42、1， 1上是減函數(shù)，所以 g（ 1） g（ x） g（1）， 因?yàn)?|f（x）| 1 （1x 1），|c| 1，所以 g（1）=a+b=f（1）+c|f（ 1）|c| 2， g（1）=a+b=f（1）c（ | f（1）| |c|） 2， 由此得 | g（x）| 2；當(dāng) a=0 時(shí)， g（x）=b，f（ x）=bx+c，因?yàn)?1x1， 所以| g（x）|=| f（1）c|f（1）|+| c|2； 綜上，得 | g（x）| 2；（）解：因?yàn)?a> 0， g（ x）在 1，1上是增函數(shù)，當(dāng) x=1 時(shí)取得最大值 2，即 g（1）=a+b=f（1）f（0）=2，因?yàn)?1 f（ 0） f（1） 2

43、12 1，所以 c=f（0）= 1.因?yàn)楫?dāng) 1x1 時(shí)，f（x）1，即 f（x）f（0），據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，直線 x=0 為 b二次函數(shù) f（ x）的圖象的對(duì)稱軸，故有b 0，即 b=0，a=2，所以 f（x）=2x212a評(píng)述： 本題考查函數(shù)的性質(zhì)、 含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題 與解決問題的能力，考查特殊化思想、數(shù)形結(jié)合思想 .34. 解： f（ x1） +f（ x2）=logax1+logax2=logax1· x2x1 x2 2x1>0，x2>0，x1·x2（ 12 ）2（當(dāng)且僅當(dāng) x1=x2 時(shí)取“ =”號(hào)）1x1 x22logax1x2loga 1 2 21 2 1 2 2 1 2當(dāng) a>1 時(shí)，x1 x2 2 loga（x1·x2） loga（） ，a 1 2 a 2即 1 f（x1）+f（x2） f（ x1 x2 ）（當(dāng)且僅當(dāng) x1=x2 時(shí)取“ =”號(hào)） 22x1 x2 2 1 x1 x2 當(dāng) 0<a<1 時(shí)， loga（ x1x2） loga（ 1