卷積積分介紹

1、§ 2.5 Z卷積利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積圖解說(shuō)明卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)卷積的性質(zhì)2 卷積 (Convolution )#設(shè)有兩個(gè)函數(shù);林,積分/(0 =匸 (r)A (f 一 "d T 稱為/衛(wèi))和力的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積 記為 z(O=/i(O0/2(O 或 /(o=/i(0*/2(0 利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。二.利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響憶任意信號(hào)刃)可表示為沖激序列之和£(/) =e(T)S(t - r)d t若把它作用于沖激響應(yīng)()的LTIS,則響應(yīng)為 r(Z) = He0=丹卩 e(r)s(t-r)dr=e(r)H 馳-r)d t=r e(

2、T>(r-T)dTJ00這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。(0=e(t)* h(t)3三.卷積的計(jì)算由于系統(tǒng)的因果性或激勵(lì)信號(hào)存在時(shí)間的局限性，卷積的積分限會(huì)有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。借助于階躍函數(shù)M確定積分限例題 利用圖解說(shuō)明確定積分限例2-6-1£ = 1H_t已知Q(/) = e w(Z)-w(/-2),求i(l)的零狀態(tài)響應(yīng)1. 歹u寫KVL方程 Ldl-vRi(t) = e(t)dt2. 沖激響應(yīng)為h(t) = u(t)3. i(t)= e(r)-h(t-T)drJ001=f e w(t) - u(t - 2)1-e(r)w( - r)d tJ0000 T0

3、0 T=J-T)dT-e | w(t - 2)u(t - r)d r000064定積分限（關(guān)鍵）00 Tl Jew(T- 2)u(t - r)d t0000 Ti0 = e_z Jw(t)w(Z - r)d t -e_00"()#點(diǎn):宗量 >0時(shí)存在,=1W(T)- W(Z -T)c>0U-T>0U(T - 2) W(Z - T)J T 2 > ° nQ<t <t r >02<t <tt>2心e-伍e2dr w(z)- e rj%2Te2dr u(t-2)-T >0波形o29卷積的圖解說(shuō)明匕用圖解法直觀，尤其

4、是函數(shù)式復(fù)雜時(shí)，用圖形分段求 出定積分限尤為方便準(zhǔn)確，用解析式作容易出錯(cuò)，最好將 兩種方法結(jié)合起來(lái)。.8對(duì)1時(shí)延/(0= £-(T-t) = t-T00)-> /"),積分變量改為T£的轟2. /2 W/2(r)f2(-t)上卩 f2(t 一 t)3. 相乘：曲£()例題例題4乘積的積分J00fl CM圖形不動(dòng),7*2 (計(jì)倒置為A (-訃fl(Y膊移動(dòng)11例 262(:;厶=g(os3)£(77)t-3浮動(dòng)坐標(biāo)t:移動(dòng)的距離(=0 /2(力未移動(dòng) t>0 f2(t-T)右移 t <0 f2(t-T)左移t從-00到+ 8,對(duì)

5、應(yīng)廣2(-萬(wàn)“左向右移呦浮動(dòng)坐標(biāo)： 下限上限從一萬(wàn)) L3MAWt<-l兩波形沒有公共處，二者乘積為0,即積分為0幾(丁)寸2«-“ = 0g()=/(/)V(f) = O16f - 了）右移從-刃 1 /i(r)f>_l時(shí)兩波形有公共部分，積分開始不為0, 積分下限-1,上限/, t為移動(dòng)時(shí)間；g(t ) = J： |(Z - T)d Tt2t 1=+ - + -42 417l<r<218#t-3<-lt>l即1C2#2<r<4t-3>-lt-3<l 即1920g(0=L_r)dr = _j+i+2t>421#fM1

6、/2Wtr#22t3>l即f > 4#g(f)=o#23r t 1-i<r <1l<t<22<Z<4其他卷積結(jié)果424+ - + 2 420積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定0(1) 積分上下限肉/丘/(-“工0的范圍(區(qū)間)確定。上限取小，下限取大(2)卷積結(jié)果區(qū)間 上限一般規(guī)律：A0g°)下限A, BC, DA+C, B+DM) 7 1 + /2(003g(” -14當(dāng)齊C)或?yàn)榉沁B續(xù)函數(shù)時(shí)，卷積需分段，積分限分 段定。例263 力(')= 4° %(r)e(t) = Csina)ntfOOfOOC r(t)= I e

7、(r)/i(/-T)dr= Csin®or Ae rJ-ooJ-oo= ACeat ' sinw edr oo= ACcatACat (asinQj C 22a +a)ldrsin(®or 一屮)一 oo GW+oo四對(duì)卷積積分的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)0尸(f) = J e(r)hf -T)CiT(1":觀察響應(yīng)的時(shí)刻，是積分的參變量；T：信咅作用的時(shí)刻，積分變量從因果關(guān)系看，必定有 T(2) 分析信號(hào)是手段，卷積中沒有沖激形式，但有其內(nèi)容;/&/(力是力的加權(quán)，求和即dz/(力的加權(quán)，積分(3) 卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過(guò)沖激響應(yīng)加。建立了響應(yīng)r(f)與

8、激勵(lì)刃)之間的關(guān)系。一般數(shù)學(xué)表示:信號(hào)無(wú)起因時(shí):f(T)h(t-T)dr卷積是數(shù)學(xué)方法,也可運(yùn)用于其他學(xué)科。(5)積分限由 齊，九存在的區(qū)間決定，即由 人(討2紅一刁工0的范圍決定。30求解響應(yīng)的方法：時(shí)域經(jīng)典法：完全解=齊次解+特解雙零法：零輸入響應(yīng):解齊次方程，用初(起)始條件求系數(shù);零狀態(tài)響應(yīng):eg)*仇(t)一代數(shù)性質(zhì)/1(0*/2(0 = /2(0*/1(01交換律2分配律/1(0*/2(0+/3(01 = /1(0*/2(0+/1(0*/3(0系統(tǒng)并聯(lián)運(yùn)算3結(jié)合律1/(0 * /!(0* /2(0 = /(0 * ft) * /2(01系統(tǒng)級(jí)聯(lián)運(yùn)算33系統(tǒng)并聯(lián)7x（0* /2（o+

9、/3a）=/1（o*/2（o+/1a）*/3a） 系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：|h(t)1結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于 各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。系統(tǒng)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示:結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等 于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。二.微分積分性質(zhì)推廣：=(/)的積分gi(f)=M) * 小)=廣如 咖)g(")C) = M) *")() =廣虹)*碗)微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實(shí)用gW)= f 叫小曠)(£)= fE)柿()(/) 微分次， 積分加次一 一耕=，微分次數(shù) '&()=/*(")喬滬莎積分次數(shù)對(duì)于卷積很方便。丿J36微積

10、分性質(zhì)的證明已知37#f(T)h(t-T)dr#兩端對(duì)/求導(dǎo) 交換律蟻=/(r)dMr-r)dr = p df(t-r)hMdr dr drdr即三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積0/()/(0*)(Z-Zo) = /-Zo) = £°=/(Z-T)(T)dr = /0推廣:7 /(0 *-0)= f(tto)f (f fl) *5(/ (2)= f (t tlt2)t例題例題 /a)*w(r)= J/(2)d2003839例2-7-1 已知f(諷、(0=/(0*(4o00g(f)="(/)“ o<r <17o1(一1) *8= <3-2tl<t<2t-32<t<3注意40md耐，a o/2a)=/;a)0/2(-1注意當(dāng)加)寸八仿 i(f)J-°° at 例:sgn(/)05(f) 用微積分性殺 fsgn'C)o直接no伽)00人'/(%i)(/)蠹n=u(t) ® 25(/) =