最新因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識講解

1、精品文檔精品文檔因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）撰稿：康紅梅 責(zé)編：李愛國【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算；2 掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法;3. 了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進(jìn)行多項式的因式分解【知識網(wǎng)絡(luò)】因式分解【要點梳理】要點一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算要點二、提公因式法把多項式:分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的

2、公因式m，另一個因式是 j ./I ,即：:二:工：工，而-j - ./I 正好是二.匚:除以m所得的商，提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律要點三、公式法1. 平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：a2_b2=a b a_b2. 完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方.即 a2 2ab b2 二 a b 2, a22ab b2 二 ab ?.形如a2 2ab b2 , a2 -2ab b2的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊 是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整

3、式）的差的積(2) 完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加(或減) 這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和(或差)的平方 (3) 套用公式時要注意字母 a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以 是單項式或多項式要點四、十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法pa = c對于二次三項式x2 bx c，若存在，則x2 bx c = x p x alp+q=b分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式 分解

4、一一分組分解法.即先對題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.要點五、因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項法等因式分解步驟(1) 如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；(3) 如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解.(4) 結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.【典型例題】類型一、提公因式法分解因式1、分解因式：2 2 2 2a bc 8ac -4abc ；32(2) m(m n)3 m(m n)2 _m(m n)(m _n).【答案與解析】解： 2a2bc2 8ac2 -4acb =2

5、ac(abc 4c-2b).(2) m(m n)3 m(m n)2 _m(m n)(m _n)2二 m(m n)(m n) (m n) _(m _n)22= m(m n)(m2mn n 2n).【總結(jié)升華】 在提取公因式時要注意提取后各項字母，指數(shù)的變化，另外分解要徹底，特別是因式中含有多項式的一定要檢驗是否能再分，分解因式后可逆過來用整式乘法驗證其正確與否.2、利用分解因式證明：25? _512能被120整除.【思路點撥】25 = 52，進(jìn)而把257整理成底數(shù)為5的幕的形式，然后提取公因式并整理為 含有120的因數(shù)即可.【答案與解析】證明：257 512 = (52 7 -512=51512

6、=512 52 -112=52411=55 24=511 120二257 -512能被120整除.【總結(jié)升華】 解決本題的關(guān)鍵是用因式分解法把所給式子整理為含有120的因數(shù)相乘的形式.類型二、公式法分解因式3、 放學(xué)時，王老師布置了一道分解因式題：x y亠4 x-y? 4 x2-y2，小明思考了半天，沒有答案，就打電話給小華，小華在電話里講了一句，小明就恍然大悟了， 你知道小華說了句什么話嗎？小明是怎樣分解因式的.【思路點撥】 把x y、x-y分別看做一個整體，再運用完全平方公式解答.【答案與解析】解：把x y、x -y看作完全平方式里的 a, b ；J 2 _ , -2 J原式=x y ：

7、" 12 x - y L -2 2 x y x-y=” y _2 x_ y 2=3y -x $ .【總結(jié)升華】 本題主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把x y、x - y看作完全平方式里的a, b是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】下面是某同學(xué)對多項式X2 - 4x 2 X2 - 4x 6 4進(jìn)行因式分解的過程.解：設(shè) x2 -4x = y原式=y 2 y 6 i亠4 （第一步）2=y 8y 16 （第二步）2=y 4 （第三步）=（x2 -4x 4）2 （第四步）回答下列問題：（1） 該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的（）.A、提取公因式B平方差公式C兩數(shù)和的完全平方公式D 兩數(shù)

8、差的完全平方公式（2） 該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底 .（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果 .（3） 請你模仿以上方法嘗試對多項式x2 -2x x2 -2x 2 1進(jìn)行因式分解.【答案與解析】解：（1）運用了 C,兩數(shù)和的完全平方公式；24（2）x -4x+4還可以分解，分解不徹底；結(jié)果為 （X-2）.（3）設(shè) x2 -2x = y .x2 -2x x2 -2x 21=y y 21,=y2 2y 1 ,=（y+応2，=（x2 -2x 1）2 ,=x-1 4.。4、計算：（1$)(1 - A )(1 - 2)(1 -22324220042 )(11200522006

9、20051【思路點撥】先把括號里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法約分即可剩下 -2【答案與解析】解：(14,)(1 -丄)(1 -乙324220042)(11200522 2 2 22_1|3 1 4-1| 2005 -1T2L-T2 J72 L223420051 20061003= = .2 20052005又考查了代數(shù)式求值的方法，解題的關(guān)【總結(jié)升華】本題既考查了對因式分解方法的掌握, 鍵是正確運算和分解.舉一反三： . 一 22 2 2 2 2【變式】設(shè)a1 =3 -1 , a? =5 -3，=(2n+1) (2n1) ( n為大于0的自然數(shù)).(1)探究an是否為8的倍數(shù)，并用文

10、字語言表述你所獲得的結(jié)論；(2)若一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”.試找出a1, a2，an,這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當(dāng) n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù)(不必說明理由).【答案】2 2 2 2解：( 1)： an =(2n +1) -(2n -1) = 4n +4n +1 -4n +4n -1=8n ,又n為非零的自然數(shù)，-an是8的倍數(shù).這個結(jié)論用文字語言表述為：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)(2)這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)為16, 64, 144, 256.n為一個完全平方數(shù)的 2倍時，an為完全平方數(shù)類型三、十字相乘法和

11、分組分解法分解因式分解因式：(1) (X2 2 2 (x2 2)22 2 2(2) x2 4x -x2-4x-20(3) 4a2 -4ab b2 -6a 3b -4【答案與解析】解: (1)原式=【x2-2-2 x2-2 1 2 x-2 x 1 x-1i ”，.222t22(2)原式=x 4x ?(x4x)20 二 x 4x5 x 4x 42=x 5 x -1 x 2(3)原式= 2a -b -3 2a -b -4 = 2a -b -4 2a -b 1【總結(jié)升華】做題之前要仔細(xì)觀察，注意從整體的角度看待問題舉一反三：【變式】下列何者是22x7 -83x6 21x5的因式？()256A. 2x

12、+3 B x(11x-7)C . x 11x-3 D . x 2x 7【答案】C;解：22x7 -83x6 21x5 =x5 22x2 -83x 21 = x5 11x-3 2x-7 ,則x2(11x -7)是多項式的一個因式.6、已知長方形周長為 300厘米，兩鄰邊分別為 x厘米、y厘米，3223且x x y-4xy -4y = 0,求長方形的面積.【思路點撥】把x3 x2y-4xy2-4y3 = 0化簡成x y x 2y x-2y，可得x = 2y ,lx = 2y由題意可得x y =150，解方程組即可.x 十 y = 150【答案與解析】解： x3 x2y _4xy2 _4y3 = 0二 x2 x y -4y2 x y = 0 x y x 2y x-2y = 0 x = 2y , x - - y , x - -2y (不合題意，舍去)又由題意可得x y 150x = 2y解方程組x + y = 150解之得，x = 100, y = 50長方形的面積=100X 50= 5000平方厘米.【總結(jié)升華】 本題是因式分解在學(xué)科內(nèi)的綜合運用，主要考查了分組分解法，提取公因式法和運用平方差公式法.舉一反