利用矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo)MIMO信道容量

1、利用矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo) MIMO信道容量摘要多輸入多輸岀(MIMO)技術(shù)被認(rèn)為是現(xiàn)代通信技術(shù)中的重大突破之一，以其能極大增加系統(tǒng)容量與改善無線鏈路質(zhì)量的優(yōu)點(diǎn)而受到了越來越多的重視與關(guān)注。通信信道容量是信道進(jìn)行無失真?zhèn)鬏斔俾实纳辖纾虼搜芯縈IMO的信道容量具有巨大的指導(dǎo)意義。本文把矩陣?yán)碚撝R(shí)與MIMO技術(shù)信道容量中的應(yīng)用緊密結(jié)合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息論理論和矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo)出 MIMO信道容量。并得出重要結(jié)論。關(guān)鍵詞：MIMO ;信道容量；奇異值分解引言MIMO Multiple In put-Multiple Output)是指在通信鏈路的發(fā)送端與接收端均使用多個(gè)天線元的傳輸

2、 系統(tǒng)，它能夠?qū)鹘y(tǒng)通信系統(tǒng)中存在的多徑因素變成對(duì)用戶通信性能有利的因素，從而成倍地提高業(yè)務(wù)傳輸速率。矩陣?yán)碚撛谕ㄐ牛詣?dòng)控制等工程領(lǐng)域里應(yīng)用廣泛，而通信的難點(diǎn)在于信道的處理，因此，矩 陣?yán)碚撆c無線信道的研究是一個(gè)很好的切入點(diǎn)。目前，MIMO技術(shù)的信道容量和空時(shí)編碼，空時(shí)復(fù)用等技術(shù)都離不開矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用。利用矩陣?yán)碚撛敿?xì)推導(dǎo) MIMO信道容量1) MIMO信道介紹MIMO是多輸入多輸出系統(tǒng)，當(dāng)發(fā)送信號(hào)所占用的帶寬足夠小的時(shí)候，信道可以被認(rèn)為是平坦的， 這樣，MIMO系統(tǒng)的信道用一個(gè) 樂漢山的復(fù)數(shù)矩陣H描述，H的子元素hj,i表示從第j(j=1,2，nJ根 發(fā)射天線到第i(i =1,2,.叫)根

3、接收天線之間的空間信道衰落系數(shù)。如下圖所示：hiih21hl2h22衛(wèi)甘hnR2In-r I h2nTahnRnr(2.1)每個(gè)符號(hào)周期內(nèi)，發(fā)送信號(hào)可以用一個(gè) 在第i個(gè)天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。同時(shí)，用一個(gè) 在第i個(gè)天線上發(fā)送的數(shù)據(jù)。對(duì)于高斯信道(2.5)丙；1的列向量乂=為x2為'冷丁表示，其中x表示 nR 1的列向量y = y, y2ynRT表示，其中y表示 ,發(fā)射信號(hào)的最佳分布也是高斯分布 。因此,x的元素是零均值獨(dú)立同分布的高斯變量。發(fā)送信號(hào)的協(xié)方差可以表示為:Rxx =EXXH(2.2)發(fā)送信號(hào)的功率可以表示為P = tr (Rxx)(2.3)接收信號(hào)和噪聲可以分別用兩個(gè)nR 1的列

4、向量y和n表示。其中信道噪聲是加性噪聲，服從循環(huán)對(duì)稱復(fù)高斯分布，并且與發(fā)射信號(hào)x不相關(guān)，假設(shè)n均值為0，功率為:一 。噪聲的協(xié)方差為：廠H2Rm - E | nnI nR(2.4)通過這樣一個(gè)線性模型，接收信號(hào)可以表示為y 二 Hx n接收信號(hào)的協(xié)方差可表示為Ryy 二 EyyH=E (Hx + n Hx + n)丨 - (2.6)=HE xxH Hh E nnH HE Ixn HhE nxH= HRxxHc2IAr因?yàn)閤與噪聲n不相關(guān)，所以E xn I E | nxH = 0。2) MIMO信道容量一般公式推導(dǎo)下面根據(jù)信息論知識(shí)，我們對(duì)MIMO信道容量做一般性推導(dǎo)。在下面的推導(dǎo)過程中我們假設(shè)

5、信道矩陣H在接收端已經(jīng)完全已知，但是它是隨機(jī)的，因此我們可以得到瞬時(shí)信道容量為：C(H)二 max、x I x, y(2.7)其中，I x,y是在已知信道H的情況下輸入x與輸出y之間的互信息量，有：I x,y =H y -H y|x(2.8)其中，H y是y的信息熵(微分熵)，定義：H(y)-7 p(y)log2p(y)，其中p(y)是y的概 率(概率密度)。H y是y的差分嫡，H(y|x)是給定x條件下y的差分嫡，由于發(fā)送信號(hào)與噪聲之 間是獨(dú)立的，因此有 H(y|x) =H( n)1，所以上式可以重新寫為：(2.9)I x,y=H y -H n由于噪聲概率密度函數(shù)確定，所以H n為定值，當(dāng)信

6、道為加性高斯信道時(shí)，信源x服從高斯分布時(shí)此時(shí)接收信號(hào) 的信息熵分別為：y也服從高斯分布，根據(jù)信息論理論，此時(shí)I(x, y)取最大，即為信道容量。此時(shí)y和n11 _H(y) = jog2'det卜e&y 'bit(2.10)(2.11)H (n) = ；log2det 兀 e2| nRbit所以我們可以得到信道瞬時(shí)交互信息I(x, y)，也即信息容量為:*1 C(H) =?log2 det 兀 e$y I/det 2InR H1 hr h h= ；log2 det I兀22入(入 +xx2) /detpg2lnR»(212)2 1一JJghetk + 呼 hit

7、2 J R -2 JJ工程中一般定義信道容量為單位時(shí)間內(nèi)的平均互信息，故定義MIMO的信道容量：21 C C H(2.13)其中T為一個(gè)符號(hào)周期，根據(jù)采樣定理，(1/T)_2B，其中B為信號(hào)帶寬，取(1/T)=2B，代入(2.13 )式，得:2HR H HC = Blog2 fdet 卩n + HRxxfb bit/s(2.14)i : R jj這即是MIMO的信道容量一般公式。3) 奇異值分解計(jì)算 MIMO信道容量對(duì)于MIMO 無線信道，信道是極其復(fù)雜的。因此原始的信道矩陣也就顯得復(fù)雜，不便于分析，而 且一般矩陣不經(jīng)過處理計(jì)算行列式很困難。這就自然想到在信源端對(duì)發(fā)射信號(hào)做某種預(yù)處理，使得經(jīng)過

8、 預(yù)處理的信號(hào)經(jīng)過的信道變得簡(jiǎn)單易分析，而且具體實(shí)現(xiàn)也變得簡(jiǎn)單。對(duì)于信道矩陣來說，對(duì)角矩陣是 最簡(jiǎn)單的，所以自然就想到把信道矩陣分解，利用矩陣?yán)碚撝械钠娈愔捣纸饪梢赃_(dá)到這種目的。下面就 矩陣的奇異值分解來計(jì)算MIMO的信道容量。由奇異值分解理論,任何一個(gè)nR nT的矩陣H可以寫成：3H=UDVH(2.15)式中，D是nR nT的對(duì)角陣，其對(duì)角非零元素模值為H的正奇異值，U和V分別為nR nR和°T XAt的酉矩陣。把公式(2.15)代入公式(2.5)，得：y 二 UDVHX n(2.16)公式(2.16)兩邊同時(shí)左乘酉矩陣 UH，利用UHU=lnR，同時(shí)令y=UHy，x二VHx即對(duì)信

9、源 信號(hào)x進(jìn)行預(yù)編碼，n =U H n，得：y = Dx n(2.17)H根據(jù)矩陣?yán)碚?，矩?HH的特征值為非負(fù)數(shù)，非零特征值的個(gè)數(shù)等于矩陣H的秩，用r表示，對(duì)于nR rT的矩陣H，秩的最大值 m二min(nr, rT)，用i表示矩陣H的奇異值，將.,代入公式(2.17)得：yi=x/rxi+n (i=1,2,.r)(2.18)y (i =r +1,.nR)(2.19)式(2.19)顯示，接收元素 y(i =r +1,.命)并不依賴于發(fā)射信號(hào)，即信道增益為零。另一方面，接收元素y(1,2.,r)僅僅取決于發(fā)射元素 x，因此，可以認(rèn)為，通過式(2.18)和(2.19)得到的等效MIMO r/1O

10、SO信道是由個(gè)去耦平行子信道組成的。其信道增益為矩陣 H的奇異值?？梢赃M(jìn)一步推導(dǎo)出yi，x ,和ni的協(xié)方差和跡：Ryy -UH RyyU ,Rxx = VH RxV, Rnn = U HRnU(2.20)tr(Ryy)二tr(Ryy),tr(RJ 二tr(Rxx),tr(RJ 二tr(RJ(2.21)對(duì)于接收端已知信道參數(shù)，發(fā)射端未知，發(fā)射端平均分配功率的MIMO系統(tǒng)。設(shè)發(fā)射端發(fā)射總功率為FT，則每個(gè)天線發(fā)射功率為FT / nT，此時(shí)Rx = E xxH H PT I nT(2.22)E T根據(jù)式(2.20)得:HPRxx，V RxV 二丄 |斤nT(2.23)然后把根據(jù)（2.15）算出HH

11、 H后和（2.23）代入MIMO信道一般公式（2.14）得:C 二 B' log2(1 羋i4匚叫)bit/s(2.24)式（2.24）可以看出,MIMO鏈路的信道容量很大程度上取決于H的秩r。矩陣的秩越大，容量也越大。所以，MIMO正是利用無線信道的多徑效應(yīng)使相距超過半個(gè)波長(zhǎng)的天線盡量不相關(guān)，從而使信道矩 陣秩越大，進(jìn)而在不增加帶寬和發(fā)射功率的情況下增加系統(tǒng)容量。下面我們說明信道容量是如何與信道矩陣HQ = HH設(shè)-（i -1,2,.m）是Q的特征值，則：H相關(guān)的。令 m = min(nR,nT)為矩陣H的秩，定義:H ,H , nR nTH,nR ： nT(2.25)det( m -Q)二('；)i ：4(2.26)用一世 代替（2.26）中的得:PTmQ) -Jiii £(2.27)把式（2.27）代入式（2.24）得平均功率分配的MIMO信道容量:C = Blog2【det(lm-Pl7Q) bit/snT 二(2.28)A當(dāng)nT逐漸增大，使得 Q > Im，此時(shí)，可以得到信道容量的近似表達(dá)式：PTC = Bmlog2（1 三）bit /s（2.29）cr由此可以看出當(dāng)發(fā)射天線數(shù)目很多時(shí)，信道容量隨m的增大而線性增大，也就是說可以在不增加帶寬和發(fā)射功率的情況下成倍的提高信道容量。參考文獻(xiàn)：1梁毓鋒.