誤差分布與精指標(biāo)PPT課件

1、第二章第二章 誤差分布于精度指標(biāo)誤差分布于精度指標(biāo) 2-1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2-2 正態(tài)分布 2-3 偶然誤差的規(guī)律性 2-4 衡量精度的指標(biāo) 2-5 精度、準(zhǔn)確度與精確度 2-6 測(cè)量不確定度 小 結(jié)第1頁/共66頁2-1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一、數(shù)學(xué)期望E(X) 表示變量集中位置 性質(zhì)E (C ) = C （ C 為常數(shù)）E (CX ) = CE (X ) 設(shè)X ，Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量： E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，E (X Y ) = E (X )E (Y ) 第2頁/共66頁2-1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特

2、征 二、方差D(X) 表示隨機(jī)變量偏離集中位置的離散程度 性質(zhì)D (C ) = 0 (C 為常數(shù))D (CX ) = C2D (X ) D (X + C ) = D (X )設(shè)X ，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )計(jì)算方差的公式計(jì)算方差的公式：DX=E (X2) - E(X) 2定義式定義式：DX=E X-E(X) 2 第3頁/共66頁2-1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 三、協(xié)方差 表示兩兩隨機(jī)變量X,Y相關(guān)程度 性質(zhì)cov (X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y)cov (X , Y ) = cov (Y , X )

3、 cov (aX ,bY ) =ab cov (X , Y ) cov(X1+X2 ,Y)= cov (X1 , Y )+ cov (X2 , Y )第4頁/共66頁2-1 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 四、相關(guān)系數(shù) 性質(zhì)：|XY| 101 正相關(guān)正相關(guān)=0 不相關(guān)不相關(guān)-10 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)第5頁/共66頁2-2 正態(tài)分布正態(tài)分布 一、一維正態(tài)分布 1.定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為 其中參數(shù)是數(shù)學(xué)期望，是標(biāo)準(zhǔn)差，則稱x服從正態(tài)分布，記作xexfx,21)(222)(x),(2Nx第6頁/共66頁2-2 正態(tài)分布正態(tài)分布 2.數(shù)字特征 E(X)= D(X)=20.5一定一定O

4、第7頁/共66頁2-2 正態(tài)分布正態(tài)分布 3.性質(zhì) 曲線在x軸上方,與x軸不相交. 曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱 在x=時(shí)位于最高點(diǎn)0.512一定一定O第8頁/共66頁2-2 正態(tài)分布正態(tài)分布 當(dāng)一定時(shí)， 曲線的形狀由確定。越大，曲線越“扁平”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“尖陡”，表示總體的分布越集中 拐點(diǎn)橫坐標(biāo)： x = E(x) = 0.512一定一定O第9頁/共66頁2-2 正態(tài)分布正態(tài)分布 4.3原則 P(- X +) 68.3% P(-2 X +2) 95.5% P(-3 X 限)=0 小誤差占優(yōu)性： P(|小|)P(|大|) 對(duì)稱性 抵償性：E()=0 或 1lim0niinn第2

5、2頁/共66頁2-3 偶然誤差的規(guī)律性偶然誤差的規(guī)律性 3.的密度函數(shù) P() = f()d誤差出現(xiàn)在某誤差出現(xiàn)在某一區(qū)間內(nèi)的概率一區(qū)間內(nèi)的概率面面 積積2221( )2fe 的概率密度公式：的概率密度公式：N ( 0, 2 )第23頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)誤差的區(qū)間誤差的區(qū)間為負(fù)值為負(fù)值為正值為正值頻率頻率頻率頻率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495誤差的區(qū)間誤差的區(qū)間為負(fù)值為負(fù)值為正值為正值頻率頻率頻率頻率0.00-0.200.

6、20-0.400.40-0.600.60-0.80 0.0950.0810.0740.059 0.0880.0850.0690.064 和和0.1990.5010.6650.492 表表1 1的誤差更接近零的附近，這一組誤差分布的較為的誤差更接近零的附近，這一組誤差分布的較為密集，或者它的離散度小。密集，或者它的離散度小。表表 1表表 2v一、精度一、精度第24頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 0 0.4 0.60.8-0.8 -0.6 -0.4表表 1表表 2第25頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 1.定義 精度指誤差分布的密集或離散的程度，也就是指離散度的大

7、小。 2.要點(diǎn)： (1)精度是用來描述偶然誤差的，主要是指觀測(cè)結(jié)果與數(shù)學(xué)期望的接近程度?？梢詮那€的陡峭程度看出精度的高度。第26頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) (2)(2)一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，所以這組觀測(cè)值精一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，所以這組觀測(cè)值精度相同；不同觀測(cè)值，分布不同，精度也就不同。度相同；不同觀測(cè)值，分布不同，精度也就不同。誤差的區(qū)間誤差的區(qū)間為負(fù)值為負(fù)值為正值為正值頻率頻率頻率頻率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495誤差

8、的區(qū)間誤差的區(qū)間為負(fù)值為負(fù)值為正值為正值頻率頻率頻率頻率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.80 0.0950.0810.0740.059 0.0880.0850.0690.064 和和0.1990.501表表 1表表 2第27頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 3.衡量精度的方法 （1）直觀法：分布表、直方圖、誤差分布曲線圖 （2）精度指標(biāo)：方差和中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差、相對(duì)誤差誤差的區(qū)誤差的區(qū)間間為負(fù)值為負(fù)值為正值為正值頻率頻率頻率頻率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.1260.1120.

9、0920.0640.1280.1150.0920.059和和0.5050.495第28頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 二、方差和中誤差 1.定義 （1）方差：設(shè)在相同的觀測(cè)條件下得到一組獨(dú)立的觀測(cè)誤差i，則其方差的定義為22221( )()( )limniinDEfdn ？第29頁/共66頁（2）中誤差：方差的算數(shù)平方根定義為中）中誤差：方差的算數(shù)平方根定義為中誤差，即：誤差，即：（3）如何衡量精度）如何衡量精度2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo))(2E拐拐 = +1- 1+2- 2越小，誤差曲線越小，誤差曲線越陡峭，誤差分越陡峭，誤差分布越密集，精度布越密集，精度越高。相

10、反，精越高。相反，精度越低。度越低。第30頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 2.理論值（定義值） 方差： 中誤差：nnEDnniinlimlim)()(1222nnnniinlimlim12第31頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 3.估值方差：中誤差：n2n第32頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 三、平均誤差 1.定義：設(shè)在相同的觀測(cè)條件下得到一組獨(dú)立的觀測(cè)誤差i，則其平均誤差的定義為 nndfEnniinlim|lim)()(1 平均誤差是一組獨(dú)立的偶然誤差平均誤差是一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值之極限值。絕對(duì)值的算術(shù)平均值之極限值。第3

11、3頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 2.平均誤差與中誤差的關(guān)系547979. 0245253. 12第34頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)1|niinn w 3.3.平均誤差的估值平均誤差的估值214455niin第35頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 四、或然誤差 1.定義：當(dāng)觀測(cè)誤差出現(xiàn)在(-，+)之間的概率等于1/2 時(shí)，即 ， 則稱為或然誤差。21)(df f()0閉合差1150%第36頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 2.或然誤差與中誤差的關(guān)系 3.或然誤差的估值計(jì)算 將相同觀測(cè)條件下得到的一組誤差，按絕對(duì)值的大小排列，

12、當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取位于中間的一個(gè)誤差值作為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則取中間兩個(gè)誤差值的平均值作為或然誤差。 在實(shí)用上，通常都是先求出中誤差的估值，然后關(guān)系式求出或然誤差。234826. 1,326745. 020.67453第37頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 中誤差、平均誤差、或然誤差 當(dāng)n不大時(shí)，中誤差比平均誤差更能靈敏的反映大誤差的影響 中誤差有明確的幾何意義 平均誤差和或然誤差都與中誤差存在理論關(guān)系世界上各國(guó)采用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)，世界上各國(guó)采用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)，我國(guó)也采用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。我國(guó)也采用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)。分布曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)分布曲線的拐點(diǎn)坐

13、標(biāo)第38頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 例例1.1.為了鑒定經(jīng)緯儀的精度，對(duì)已知精確測(cè)定為了鑒定經(jīng)緯儀的精度，對(duì)已知精確測(cè)定的水平角的水平角= = 454500000000，作作1212次觀測(cè)，結(jié)次觀測(cè)，結(jié)果為：果為： 45450006 440006 445955 445955 445958 5958 454500040004 45450003 450003 450004 450004 450000 0000 444459585958 44 445959 445959 445959 455959 450006 0006 454500030003 設(shè)設(shè)沒有誤差，試求觀測(cè)值的中誤

14、差、平均誤沒有誤差，試求觀測(cè)值的中誤差、平均誤差和或然誤差。差和或然誤差。第39頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)編號(hào)編號(hào)123456789101112+6-5-2+4+3+40-2-1-1+6+32362541691604113691571573.6212137373.0812ni 2.44第40頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 例例2 2：為了比較兩架經(jīng)緯儀的觀測(cè)精度，分別對(duì)同一角度進(jìn)行了：為了比較兩架經(jīng)緯儀的觀測(cè)精度，分別對(duì)同一角度進(jìn)行了3030次觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果見課本表次觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果見課本表2-32-3，。改角，。改角已預(yù)先用精密經(jīng)緯儀測(cè)定，其值為已預(yù)先用

15、精密經(jīng)緯儀測(cè)定，其值為76764218.04218.0。設(shè)將此值作為改角的真值。試計(jì)算這兩架經(jīng)緯儀的中。設(shè)將此值作為改角的真值。試計(jì)算這兩架經(jīng)緯儀的中誤差、平均誤差和或然誤差。誤差、平均誤差和或然誤差。第41頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)解：根據(jù)表解：根據(jù)表2-32-3數(shù)據(jù)得數(shù)據(jù)得： 12，12，12 第二臺(tái)經(jīng)緯儀的精度高第二臺(tái)經(jīng)緯儀的精度高58. 13065.74193. 03086.25246. 1309 .43181. 0304 .24250 . 11 36 . 01 第42頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 四、極限誤差 誤差落在(-，+)，(-2，+2

16、)，(-3，+3)的概率分別為 一般以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值限，并稱為極限誤差。%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(PPP限限 = 3()()( )()2 ( ) 1kkPkkPkkk 第43頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 中誤差的統(tǒng)計(jì)意義 誤差分布的離散度大小 對(duì)真誤差做出區(qū)間估計(jì)第44頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 五、相對(duì)誤差 相對(duì)中誤差，它是中誤差與觀測(cè)值之比 。在測(cè)量中一般將分子化為1，用 表示。 與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差等稱為絕對(duì)誤差。N1?Nssss11第45頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精

17、度的指標(biāo) 例例3：有一段距離，其觀測(cè)值及其中誤差為有一段距離，其觀測(cè)值及其中誤差為345.675m15mm。估計(jì)這個(gè)觀測(cè)值的真誤差。估計(jì)這個(gè)觀測(cè)值的真誤差的實(shí)際可能范圍是多少？并求出它的相對(duì)中誤的實(shí)際可能范圍是多少？并求出它的相對(duì)中誤差。差。 |3 |45mm，即，即-45mm45mm3111345.675*102304515ss第46頁/共66頁2-4 衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo) 例例4：觀測(cè)了兩段距離，分別為：觀測(cè)了兩段距離，分別為1000m2cm和和500m2cm。問：這兩段距離的真誤差是否相等？中誤差。問：這兩段距離的真誤差是否相等？中誤差是否相等？它們的相對(duì)精度是否相同？是否相等？

18、它們的相對(duì)精度是否相同？ 真誤差不一定相等真誤差不一定相等 中誤差相等中誤差相等 相對(duì)精度不等相對(duì)精度不等第47頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 一、精度（precious） 1.協(xié)方差 （1）XY =YX （2）當(dāng)Y=X時(shí)， XY = 2X （3）獨(dú)立性 XY = 0 時(shí)，X與Y不相關(guān)，也就是說X與Y相互獨(dú)立。cov(, )()( )XYX YE XE XYE Y第48頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 取值理論值：估值：11221limlim(.)nnxyXYxyxyxynnnn 1()iinxyiXYn 第49頁/共66頁2-5 精度

19、、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 2.觀測(cè)向量的精度指標(biāo)協(xié)方差陣11 212 12212,222()() nnnnnxx xx xx xxx xx xxTXnxnxXE XE XXE XD 特點(diǎn)特點(diǎn) 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 正定矩陣正定矩陣 各觀測(cè)量互不相關(guān)時(shí)，為對(duì)角矩陣。當(dāng)對(duì)角元素相等時(shí)，各觀測(cè)量互不相關(guān)時(shí)，為對(duì)角矩陣。當(dāng)對(duì)角元素相等時(shí)，為等精度觀測(cè)為等精度觀測(cè), ,為數(shù)量矩陣。為數(shù)量矩陣。第50頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 例：觀測(cè)向量例：觀測(cè)向量 的協(xié)方差陣的協(xié)方差陣 試寫出觀測(cè)值試寫出觀測(cè)值L L1 1,L,L2 2 和和L L3 3 的中誤差以及協(xié)方差的

20、中誤差以及協(xié)方差 3,34202930316XXD 1233,1TXLLL1 21 32 3L LL LL L、第51頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 3.互協(xié)方差陣 1() 11nn rrXXXYZZYXYYXDDZDDDY若，則1 211 12 122 212x yrx yrnnx yn rx yx yx yx yXYx yx yD其中兩組觀測(cè)值兩組觀測(cè)值間精度指標(biāo)間精度指標(biāo)第52頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 （1）定義式 （2） （3）n = r = 1時(shí)，互協(xié)方差陣就是X關(guān)于Y 的協(xié)方差陣 （4）DXY = 0 時(shí)，X與Y是相

21、互獨(dú)立的觀測(cè)向量()( ) TXYDE XE XYE YTXYYXDD第53頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 二、準(zhǔn)確度 1.描述系統(tǒng)誤差和粗差 2.定義：觀測(cè)值的真值與其數(shù)學(xué)期望之差 3.系統(tǒng)誤差不存在： = 0)(XEX 第54頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 三、精確度 1.描述偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差的集成，是一個(gè)全面衡量觀測(cè)質(zhì)量的指標(biāo)。 2.衡量指標(biāo)：均方誤差 3.公式22222()()()XXMSEEXXXXEX第55頁/共66頁2-5 精度、準(zhǔn)確度和精確度精度、準(zhǔn)確度和精確度 4.當(dāng) 時(shí) 觀測(cè)值中只存在偶然誤差，均方誤差就等于方差，此時(shí)精確度就是精觀測(cè)值中只存在偶然誤差，均方誤差就等于方差，此時(shí)精確度就是精度。度。)(XXE2222()()(XXE XXE XMXSE X第56頁/共66頁2-6 測(cè)量不確定度測(cè)量不確定度 一、測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性 廣義的誤差，包括偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差。 范圍：數(shù)據(jù)誤差的隨機(jī)性 數(shù)據(jù)概念上的不完整性及模糊性第57頁/共66