等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案及說(shuō)明文檔

1、2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和明德中學(xué) 王利 高一年級(jí)（K396）班數(shù)學(xué) 一、教材分析 教學(xué)內(nèi)容 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是高中教材必修五第二章第三節(jié)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程和簡(jiǎn)單應(yīng)用。 地位與作用 本節(jié)對(duì)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究等差數(shù)列，其學(xué)習(xí)平臺(tái)是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識(shí)。對(duì)本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。 二、學(xué)情分析 知識(shí)基礎(chǔ)：高一年級(jí)學(xué)生已掌握了函數(shù)，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和。 認(rèn)知水平與

2、能力：高一學(xué)生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問(wèn)題。 任教班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)較扎實(shí)、思維較活躍，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題，但處理抽象問(wèn)題的能力還有待進(jìn)一步提高。三、目標(biāo)分析1、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法（倒序相加法），以及Sn與an之間的關(guān)系，了解公式的簡(jiǎn)單變形與功能作用. 過(guò)程與方法 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式在實(shí)際問(wèn)題中的基本應(yīng)用，加強(qiáng)等差數(shù)列各知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列問(wèn)題. 情感態(tài)度價(jià)值觀

3、 領(lǐng)會(huì)特殊與一般、類(lèi)比與歸納、函數(shù)與方程的等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)探索、觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納和概括等思維能力.2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。 難點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中滲透倒序相加的思想方法。 重、難點(diǎn)解決的方法策略本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略利用數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比歸納的思想，層層深入，通過(guò)學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過(guò)范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。四、教學(xué)模式與教法、學(xué)法 本課采用“探究發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式。教師的教法突出活

4、動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo)。學(xué)生的學(xué)法突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流。五、過(guò)程設(shè)計(jì)結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下： 公式應(yīng)用與課堂練習(xí)（5分鐘）探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（18分鐘）創(chuàng)設(shè)情景提出問(wèn)題（2分鐘） 圖片欣賞 數(shù)形結(jié)合新課引入 類(lèi)比化歸 前后呼應(yīng) 公式應(yīng)用公式應(yīng)用與課堂練習(xí)（9分鐘） 歸納總結(jié)（2分鐘）公式的認(rèn)識(shí)與理解（4分鐘） 前后呼應(yīng) 知識(shí)回顧六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動(dòng) 學(xué) 生 活 動(dòng)活 動(dòng)說(shuō) 明新 課 引 入問(wèn)題探究：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片泰姬陵。泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，是世界七大奇跡之一。

5、 傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)下圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？也即計(jì)算1+2+3+.+100=？現(xiàn)實(shí)模型： 圖片欣賞 生活實(shí)例模 型直 觀用實(shí)際生活引入新課。探 索 公 式例 題 講 解課堂練習(xí)認(rèn)識(shí)公式課堂小結(jié)首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家高斯，然后提出問(wèn)題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+.+100？如果要計(jì)算1,2,3,(n-1),n這n個(gè)數(shù)的和呢？老師：如何這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？問(wèn)題：利用高斯算法需要分n為奇偶討論，對(duì)n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？從而引出倒序相加法。設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為 ,則

6、 問(wèn)題：對(duì)于一般的等差數(shù)列如何求它的前n項(xiàng)和公式？（倒序相加法）方法一：兩式相加得：方法二：同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：兩式相加得：引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換掉 整理得到公式2。例1 ：根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50 解：（1）500；（2）2550小結(jié)：在兩個(gè)求和公式中,各有五個(gè)元素,只要知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素. 剖析公式： 教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。面我們來(lái)看一個(gè)生活中的應(yīng)用題，請(qǐng)大家想想該如何解決。例2 ：2000年11月14日教育部下發(fā)了

7、關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元。那么，從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=500,d=50,n=10.故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為： S10=7250（萬(wàn)元）例3：已知一個(gè)等差數(shù)列an的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求這個(gè)等差數(shù)列的前

8、n項(xiàng)和.例4： 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么? 解：根據(jù) 與n2n(n1)2(n1)2n.當(dāng)n1時(shí)，a1S112×1也滿足式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.由此可知，數(shù)列an是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式； 推導(dǎo)方法：倒序相加法 等差數(shù)列an中，若已知 a1, an, n, d, Sn 中的任意三個(gè), 可以求出其余兩個(gè)量。2、an與Sn的關(guān)系：（1）數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna1a2an與an之間具有如下關(guān)系： an.（2）已知數(shù)列的前n

9、項(xiàng)和Sn，求an，要分三步進(jìn)行：第一步：令n1求a1；第二步：令n2，求anSnSn1；第三步：驗(yàn)證a1與an的關(guān)系，來(lái)確定an.課后作業(yè)： 世紀(jì)金榜作業(yè)P101-102 學(xué)生：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學(xué)生：不一定，需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。學(xué)生獨(dú)立思考，老師引導(dǎo)，可得S=學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，以此類(lèi)推，每一對(duì)的和都相等，并且都等于 。（可能部分學(xué)生在此會(huì)遇到困難，老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。） 學(xué)生觀察動(dòng)畫(huà)演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來(lái)解決此問(wèn)題。（由上一問(wèn)題的解決，學(xué)生容易想到倒序相加求和法。） 學(xué)生：

10、利用倒序相加求和法。將中的每一項(xiàng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫(xiě)，在倒序相加求和時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)抵消了。學(xué)生類(lèi)比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。 觀察多媒體課件演示。學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。，是求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式，應(yīng)用時(shí)要根據(jù)已知條件靈活選取.學(xué)生進(jìn)行了分組討論，然后每組派學(xué)生代表進(jìn)行分析。不少小組首先對(duì)已知條件作轉(zhuǎn)化，教師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。 選用公式：根據(jù)已知條件選用適當(dāng)?shù)墓?求出 .變用公式：要求公差d，需將公式變形運(yùn)用，求d知三求二：等差數(shù)列的五個(gè)基本量知三可求

11、另外兩個(gè)。并結(jié)合方程思想。由Sn求an時(shí)，需要注意這樣的an是n2的必須檢驗(yàn)a1是否適用，若適用，則寫(xiě)成一個(gè)公式，若不適用，則寫(xiě)成分段表達(dá)式本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說(shuō)明（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會(huì)等差數(shù)列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.（3）掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。 高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解答。 這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì) 從高斯算法出發(fā)，對(duì)n進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題提出問(wèn)題解

12、決問(wèn)題”的過(guò)程。例1是對(duì)公式的熟悉與應(yīng)用。例2在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，深化了對(duì)公式的理解和應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。緊扣教材，讓學(xué)生體會(huì)整體應(yīng)用公式，類(lèi)比化歸的思想方法，同時(shí)，為以后綜合問(wèn)題的解答設(shè)下伏筆。了解數(shù)列的前n項(xiàng)的關(guān)系和Sn與an的關(guān)系，會(huì)已Sn知求an。培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思學(xué)習(xí)過(guò)程的能力。7、 教學(xué)反思：1、針對(duì)學(xué)生實(shí)際合理地對(duì)教材進(jìn)行了個(gè)性化處理，挖掘了教材中可探究的因素，促使學(xué)生探究、推導(dǎo)。例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式一，是通過(guò)具體的例子，引到一般的情況，激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想，再進(jìn)行論證得出；而第二個(gè)公式并不象書(shū)本上那樣直接給出，而是讓學(xué)生從習(xí)題中進(jìn)行歸納總結(jié)得到的。這樣處理教材，使學(xué)生的思維得到了很大的鍛煉。2、本節(jié)課主要采用觀察法、歸納法等教學(xué)方法，同時(shí)采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)具體問(wèn)題的