3Lindeloff空間

1、德州學(xué)院數(shù)學(xué)系點(diǎn)集拓?fù)浣贪?#167; 5.3 Lindeloff 空間本節(jié)重點(diǎn)：Lindeloff 空間的定義；Lindeloff空間與第一（二）可數(shù)性公理空間、可分空間的關(guān)系；Lindeloff空間的遺傳性、關(guān)丁連續(xù)映射的是否可保 持性.一 Lindeloff 空間的概念如果U a=B,貝U稱集族AA定義5.3.1 設(shè)A 是- -個(gè)集族， B是- -個(gè)集合.A是集合B的一個(gè)覆蓋，并且當(dāng)A是可數(shù)族或有限族時(shí)，分別稱集族 A是集 合B的一個(gè)可數(shù)覆蓋和有限覆蓋.設(shè)集族A是集合B的一個(gè)覆蓋.如果集族A的一個(gè)子族A i也是集合B的 覆蓋，則稱集族A i是覆蓋A （關(guān)丁集合B）的一個(gè)子覆蓋.設(shè)X是一個(gè)

2、拓?fù)淇臻g.如果由X中開（閉）子集構(gòu)成的集族A是X的子集 B的一個(gè)覆蓋，則稱集族 A是集合B的一個(gè)開（閉）覆蓋.在數(shù)學(xué)分析中讀者所熟知的 Heine Borel定理告訴我們：實(shí)數(shù)空間R的子 集A是一個(gè)有界閉集當(dāng)且僅當(dāng) A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋.因而具有“每 一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋”的拓?fù)淇臻g自有其重要性.對丁這類拓?fù)淇臻g我們將要在第七章中稱之為“緊致空間”并且用整章的篇幅加以討論.但是另一方 面，正如所知，連實(shí)數(shù)空間本身都不能包容在這類拓?fù)淇臻g之中.這使我們有必要放松一點(diǎn)限制.定義5.3.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)可數(shù) 子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)Lindelo

3、ff 空間.由定義可知，任何平庸空間是 Lindeloff空間；含可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間 是Lindeloff空間；包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不是一個(gè) Lindeloff空間.這 是因?yàn)檫@個(gè)拓?fù)淇臻g中的所有單點(diǎn)子集構(gòu)成它的一個(gè)開覆蓋，這個(gè)開覆蓋沒有任何可數(shù)子覆蓋.例5.3.1 ,包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間X是一個(gè)Lindeloff 空間,且X的每個(gè)子空間也是Lindeloff 空間.（例5.1.1中已經(jīng)指出它不滿足第一可數(shù)性公理，所以它也不滿足第二可數(shù)性公理.）證明 設(shè)A是X的任意一個(gè)開覆蓋.任意在A中取定一個(gè)非空集合 A.對 丁每一個(gè)x A',在A 中選取一個(gè)A x使得x A x

4、,由丁 A是可數(shù)集，所 以A的子族 A x A |x A x, x A' U A也是可數(shù)的，易見它也覆蓋X.所 以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間X是Lindeloff 空間.設(shè)YuX,下面證Y也是Lindefoff 空間.設(shè)A i是Y的任意一個(gè)開覆蓋，則存在X的開集族A使A i = A | y .任 取一個(gè)A A ，則A U Y'是X的一個(gè)開集（因?yàn)锳U Y'的補(bǔ)可數(shù)）,丁是A U A U Y' 是X的一個(gè)開覆蓋.由丁 X是Lindefoff 空間，所以在A U AU Y' 中有一個(gè)可數(shù)子集族B是X的覆蓋，不妨設(shè)B =Ai ,A2,A , -AU Y&#

5、39; 其中Ai ,A A , i=1,2,（注A U Y'若不在其內(nèi)，則加進(jìn)去也無妨），則B | y = AiA Y AH Y ,，銜 Y ,AH Yu A|y =A i,即 B | y 是 A 1 的可數(shù) 子覆蓋.故Y是Lindefoff 空間.二Lindefoff性與第二可數(shù)性的關(guān)系定理5.3.lLindeloff 定理任何一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都是 Lindeloff 空間.（即A2空間一定是Lindeloff 空間）證明 設(shè)拓?fù)淇臻gX是A2空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基.設(shè)A是X的一個(gè)開覆蓋（注意，證這類問題的開頭）.對丁每一個(gè)A A , 由丁 A是一個(gè)開集，所以存在BauB

6、，使得A=b? B,令B 1 = aW B a ,由丁 B 1是B的一個(gè)子族，所以是一個(gè)可數(shù)族.并且B=B=（ B）= A = XB.B1BE. B AA 三AB .B AA 三AA .A故B i也是X的一個(gè)覆蓋.如果B B i,則存在A A使得B Ba,（因?yàn)锳士己B ）因此B u A . 丁是對丁每一個(gè)B Bi;我們可以選定某一個(gè)B B AAb £ A 使得B u Ab , I己A i =Ab | B B 1,它是A的一個(gè)子族,并且 aE A =bAb n bE b = X ,所以A 1是A的一個(gè)子覆蓋此外由丁 B 1是可數(shù)的，所以A 1也是可數(shù)的.丁是開覆蓋 A有一個(gè)可數(shù)子覆蓋

7、A 1 .這證明X是一個(gè)Lindefoff 空間.推論5.3.2滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個(gè)子空間都是Lindeloff空問.（即A2空間的子空間仍然是A2空間）特別，n維歐氏空間Rn的每一個(gè)子空間都是Lindeloff 空間.證明 由定理5.1.5及上面定理即可得第一句結(jié)論；第二句結(jié)論成立是因?yàn)镽n是A2空間.說明 定理5.3.1的逆命題不成立.因?yàn)榘豢蓴?shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間X,由例5.3.1知它是Lindeloff 的，由例5.1.1知X不是A1空間，從而由定理5.1.3知X也不是A2空間.即：Lindeloff 空間 =/ A2空間.（2）推論5.3.2的逆命題都不成立.因?yàn)橛衫?/p>

8、 5.3.1知上述空間X的每個(gè)子空間都是Lindeloff 空間，但X不是A2空間.（3）X是Lindeloff 空間 寸 A1空間；（即中所說）X是A1空間F X是Lindeloff空間.（因?yàn)槿魏我粋€(gè)離散空間是是 A1空間，但含不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不是Lindeloff空間）107對度量空間X, X是A2空間u X是Lindeloff空間.必要性由定理5.3.1得，充分性是下面的定理:定理5.3.3 每一個(gè)Lindeloff的度量空間都是A2空間.證明設(shè)(X, d)是個(gè)Lindeloff的度量空間.對丁每一個(gè)k Z+ ,集族X是一個(gè)Lindeloff 空間,B =B (x, 1/k )

9、|x X 是X的一個(gè)開覆蓋.由丁1所以B有一個(gè)可數(shù)子覆蓋，設(shè)為B k = B(xki ,-)|i W ZkJ B k是一個(gè)可數(shù)族.以下證明B是X的一個(gè)基. k 二Z .?x£X和x的任何一個(gè)鄰域U, ?£使得B(x, £)u U.由丁 B k是X的一個(gè)11覆蓋，所以？ B(xki,) B k使得x B(xki,)，令k > 2/ &，則對任何y B( xki, -)有 d (x, y)1.x B(xki, k ) u U214d(x,xki) +d(xki,y)一 < 8，所以 B 以心,一)U B(x, ) 丁是證畢.據(jù)定理2.6.2可見B是

10、X的一個(gè)基.X有一個(gè)可數(shù)的基B ,故為A2空間.思考：可分性與Lindeloff 性有何關(guān)系？三 Lindeloff 空間的性質(zhì)1 . Lindeloff空間不具有遺傳性.例5.3.2 Lindeloff空間的子空間可以不是Lindeloff 空間的例子.設(shè) X 是一個(gè)不可數(shù)集，z X.令 X =X-z , T =P (X1) U U P (X) | z U,U' 是可數(shù)集.容易驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)?(請讀者自己驗(yàn)證.)德州學(xué)院數(shù)學(xué)系點(diǎn)集拓?fù)浣贪竿負(fù)淇臻g（X, T ）是一個(gè)Lindeloff 空間.因?yàn)槿绻鸄是X的一個(gè)開覆蓋， 則存在AC A使得z A. 丁是A'是一個(gè)可數(shù)集.

11、對丁每一個(gè)x A,選取A x A 使得x A x 易見A U A x | x A' 是A的一個(gè)可數(shù)子覆蓋.另外，由丁 T|xi= P （Xi） .因此Xi作為X的子空間是一個(gè)包含著不可數(shù)多個(gè) 點(diǎn)的離散空間.所以Xi不是一個(gè)Lindeloff 空間.2. Lindeloff空間對丁閉子空間是可遺傳的定理5.3.4 Lindeloff 空間的每一個(gè)閉子空間都是 Lindeloff 空間.證明 設(shè)Y是Lindeloff 空間X的一個(gè)閉子空間，A是子空間Y的一個(gè)開 覆蓋.則對丁每一個(gè)AC A，存在X中的一個(gè)開集Ua使得UaA Y=A 丁是 Ua|A A U 丫 是X的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)可數(shù)子

12、覆蓋，設(shè)為 Uai , UA2 , , U 丫 （即使不包含丫，多加一個(gè)也無妨）.這時(shí)易見， Ai , A2, , , 其中Ai= UAi AY, i Z+，便是A的一個(gè)（關(guān)丁子空間Y的）可數(shù)子覆蓋.證畢.3. Lindeloff性質(zhì)是連續(xù)映射下的不變性質(zhì)，從而是拓?fù)湫再|(zhì)，也是可商的性質(zhì).（見習(xí)題i）命題X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : XtY是連續(xù)映射.如果X是一個(gè)Lindeloff空間，貝U f（X）也是一個(gè)Lindeloff 空間.證明 因?yàn)閒 : XtY是連續(xù)映射，由§3.i習(xí)題6知，f : Xtf(X)也連續(xù).設(shè)B是f(X)的一個(gè)開覆蓋，由連續(xù)知 BE B時(shí)，f-i(B) T

13、x，乂由定理i.6.4的 知 U f %B) = f * U B) = f 九 f (X ) = X ,可知 A =f-i(B) | B B 是 X 的B "BB :B開覆蓋.因X是一個(gè)Lindeloff 空間，故A 有可數(shù)子覆蓋Ai=f-i(Bi) | Bi B ,i e Z+,與此相應(yīng)的，B有可數(shù)子族B i = BiC B| i Z+,因?yàn)閁 Bi= u ff"(Bi) = fU f'(Bi) = f(X)，可見 B i 是 B 的(關(guān)丁Bi B iBi .B iBi .B if(X)的)可數(shù)子覆蓋.故f(X)是一個(gè)Lindeloff 空間.i08德州學(xué)院數(shù)學(xué)系

14、點(diǎn)集拓?fù)浣贪?4. Lindeloff空間不具有有限可積性結(jié)論見習(xí)4* .以下是子空間都是Lindeloff 空間的拓?fù)淇臻g一一當(dāng)然這時(shí)該空間本身也是Lindeloff 空間的一個(gè)性質(zhì)定理5.3.5 設(shè)拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子空間都是Lindeloff 空間.如果 A匚X是一個(gè)不可數(shù)集，貝U A中必定包含A的某一個(gè)凝聚點(diǎn)，即AH d(A)丈.特別，如果X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，則X的每一個(gè)不可數(shù)子集 A中都包含著A的某一個(gè)凝聚點(diǎn).證明 設(shè)AuX是一個(gè)不可數(shù)集.如果 A中沒有A的凝聚點(diǎn)，則對丁每一個(gè) a A,存在a在X中的一個(gè)鄰域Ua ,使得Ua n A=a,這說明單點(diǎn)集a是子空 問A中的一個(gè)開集.從而子空間A便是一個(gè)包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間，它必然不是一個(gè)Linde1off空間，這與定理的條件矛盾.四各類拓?fù)淇臻g關(guān)系表11維歐氏控間R15的子空間度Ain空空IB空間間UU 度量7T可分 或 Lindeloff可