有限單元法應(yīng)用中的若干實際考慮

1、5.1 5.1 引引 言言5.2 5.2 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)與處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)與處理5.3 5.3 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法5.4 5.4 結(jié)構(gòu)對稱性與周期性的利用結(jié)構(gòu)對稱性與周期性的利用5.6 5.6 小小 結(jié)結(jié)5.5 5.5 非協(xié)調(diào)元與分片試驗非協(xié)調(diào)元與分片試驗5. 1 引引 言言1. 有限單元法的求解過程有限單元法的求解過程（1）劃分單元，輸入結(jié)點和單元信息；）劃分單元，輸入結(jié)點和單元信息； 前處理器前處理器（2）單元分析：）單元分析：N、Ke、Pe；（3）整體分析：）整體分析：,1eneeeeGKGKeneee1PGP引入位移邊界條件，得到引入位移邊界條件，得到PaK（4）求解方程）求解

2、方程 得解得解a ；（5）對位移）對位移 a 結(jié)果進(jìn)行有關(guān)整理、計算單元結(jié)果進(jìn)行有關(guān)整理、計算單元或結(jié)點的或結(jié)點的應(yīng)力應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)變。 求解器求解器 后處理器后處理器eaeeBa eeeDBaD的可視化表示。的可視化表示。,ea,ee2. 目前存在的問題：目前存在的問題：（1）eaeeBa eeeDBaD的精度較低。的精度較低。,ee如何由應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的特點改善其精度？如何由應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的特點改善其精度？（2）如何利用結(jié)構(gòu)的幾何特點、受力特點簡化計算，如何利用結(jié)構(gòu)的幾何特點、受力特點簡化計算，減少工作量，提高計算效率？減少工作量，提高計算效率？（3）如：結(jié)構(gòu)與受力的對稱性、周期性物質(zhì)等；如

3、：結(jié)構(gòu)與受力的對稱性、周期性物質(zhì)等；子結(jié)構(gòu)法；子結(jié)構(gòu)法；非協(xié)調(diào)元概念與應(yīng)用非協(xié)調(diào)元概念與應(yīng)用（Wilson非協(xié)調(diào)元）。非協(xié)調(diào)元）。5.2 5.2 應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)與處理應(yīng)力計算結(jié)果的性質(zhì)與處理應(yīng)力、應(yīng)變的計算：應(yīng)力、應(yīng)變的計算：eeBa eeeDBaD 精度較低。精度較低。ee ,誤差的原因：誤差的原因：（1） 單元內(nèi)平衡方程不能精確滿足；單元內(nèi)平衡方程不能精確滿足；（2） 單元交界面上應(yīng)力不連續(xù)；單元交界面上應(yīng)力不連續(xù)；（3） 邊界上邊界條件不能得到精確滿足等；邊界上邊界條件不能得到精確滿足等；5.2.1 應(yīng)力近似解的性質(zhì)應(yīng)力近似解的性質(zhì)1. 位移解位移解 a 的性質(zhì)的性質(zhì)a 有限元近似解

4、，有限元近似解，a 真實解；真實解；由最小位能原理，可知，由最小位能原理，可知，a 具有下限的性質(zhì)：具有下限的性質(zhì)：aa 原因：原因：單元離散等相當(dāng)于加大了原結(jié)構(gòu)的剛度。單元離散等相當(dāng)于加大了原結(jié)構(gòu)的剛度。2. 應(yīng)力、應(yīng)變解應(yīng)力、應(yīng)變解 、 的性質(zhì)的性質(zhì)設(shè)設(shè)u 、 、 近似解，近似解，u、 、 真實解，有真實解，有, uuu, ,近似解對應(yīng)的位能：近似解對應(yīng)的位能：SVVPdSdVdVTufuDu21)(SVVdSdVdVTuufuuD)()()()(21SVVdSdVdVTufuD21SVVdSdVdVTufuD21VdVD21P(u)實際的總位能實際的總位能 P(u)=0 2P(u)VPP

5、dVDuu21)()(2. 應(yīng)力、應(yīng)變解應(yīng)力、應(yīng)變解 、 的性質(zhì)的性質(zhì)VPPdVDuu21)()(VPdV)()(21)(DuVPdV)()(21)(Cu在線彈性下，有在線彈性下，有對于一具體問題，對于一具體問題， P(u)應(yīng)為一定值，應(yīng)為一定值， 則則 P(u*)的極值問題歸結(jié)為：的極值問題歸結(jié)為： 2P(u)的極小值問題。的極小值問題。 將將 2P(u)表示成單元位能泛函的形式，有表示成單元位能泛函的形式，有eeneVeeeedV1)()(21CVPdV)()(21),(2DeeneVeeeedV1)()(21D),(（5.2.5）（5.2.6）eeneVeeeedV1)()(21CVPd

6、V)()(21),(2DeeneVeeeedV1)()(21D),(（5.2.5）（5.2.6）上式表明：上式表明： 2P(u)的極小值問題的極小值問題求解求解),( )( 或的加權(quán)的加權(quán)二乘最小值問題。即二乘最小值問題。即 、 為為 、 在加權(quán)（在加權(quán)（D、C）最小二乘意義下的近似解。）最小二乘意義下的近似解。 、 的特點：的特點：（1） 、 在真正解在真正解 、 上下振蕩；上下振蕩；（2）在某些點上有：）在某些點上有： = 、 = ，即存在最佳應(yīng)力點。，即存在最佳應(yīng)力點。利用利用 、 的上述特點，作適當(dāng)處理，可提高應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的精度。的上述特點，作適當(dāng)處理，可提高應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的精度。5

7、.2.2 等參元的最佳應(yīng)力點等參元的最佳應(yīng)力點eeneVeeeedV1)()(21C),( 如前所說如前所說，用位移法進(jìn)行有限元應(yīng)力分析歸結(jié)為求泛函，用位移法進(jìn)行有限元應(yīng)力分析歸結(jié)為求泛函 ( , )的極小值問題，即的極小值問題，即0)(211eeneVdVC 利用彈性力學(xué)的幾何方程和物理方程，有利用彈性力學(xué)的幾何方程和物理方程，有),(uu0)()(211eeneVdVLLLuDuu),(（5.2.7）（5.2.8） 由式（由式（5.2.8）可見：）可見： 若近似解若近似解 u*是是 p 次多項式，次多項式，L為為 m 階微分算子，則階微分算子，則 , 為為n= pm 次多項式。當(dāng)次多項式。

8、當(dāng)Jacobi行列式為常數(shù)時，式（行列式為常數(shù)時，式（5.2.7）或（）或（5.2.8）中被積函數(shù)為中被積函數(shù)為 2n 次多項式，因而要使它們能夠精確積分，至少應(yīng)采次多項式，因而要使它們能夠精確積分，至少應(yīng)采用用 n+1 次次Gauss積分。也就是說，真實應(yīng)力為積分。也就是說，真實應(yīng)力為 n+1 次多項式時，數(shù)次多項式時，數(shù)值積分仍為精確的。即有下式精確成立：值積分仍為精確的。即有下式精確成立：eeneVdV1)(21C0)(21111eneniiiiiHC（5.2.9） 假設(shè)每一單元中的高斯積分點上假設(shè)每一單元中的高斯積分點上 i(i =1,2, , n+1)的每一分量的每一分量的變分是獨立

9、的，則上式成立等價于的變分是獨立的，則上式成立等價于0ii或或ii （5.2.10） 也就是說，即使真實應(yīng)力也就是說，即使真實應(yīng)力 為為 n+1 次多項式，仍有近似應(yīng)力次多項式，仍有近似應(yīng)力 等等于真實應(yīng)力。可見，若取于真實應(yīng)力。可見，若取n+1階積分，則階積分，則 在積分點上具有比其本身在積分點上具有比其本身 高一階的精度。高一階的精度。對對 ，也有同樣的性質(zhì)。，也有同樣的性質(zhì)。結(jié)論：結(jié)論：在等參單元中，單元中在等參單元中，單元中 n+1階（階（n =pm）Gauss積分點上的近積分點上的近似應(yīng)力似應(yīng)力 比其它部位的應(yīng)力具有較高的精度。比其它部位的應(yīng)力具有較高的精度。稱稱 n+1階階Caus

10、s積分點為積分點為等參元中的最佳應(yīng)力點等參元中的最佳應(yīng)力點。5.2.3 單元平均與結(jié)點平均單元平均與結(jié)點平均1. 問題的提出問題的提出 有限單元法求得位移解（結(jié)點位移）有限單元法求得位移解（結(jié)點位移）a*后，其后，其單元應(yīng)力單元應(yīng)力為為eeeDBaD（1） 通常為單元局部坐標(biāo)的函數(shù)；通常為單元局部坐標(biāo)的函數(shù)；（2） 相鄰單元邊界上應(yīng)力不連續(xù)，存在突跳現(xiàn)象；相鄰單元邊界上應(yīng)力不連續(xù)，存在突跳現(xiàn)象；（3） 結(jié)構(gòu)邊界上應(yīng)力與邊界條件不符，等；結(jié)構(gòu)邊界上應(yīng)力與邊界條件不符，等；工程實際問題，通常對工程實際問題，通常對單元的邊緣單元的邊緣和和結(jié)點結(jié)點的應(yīng)力分布較關(guān)注，所的應(yīng)力分布較關(guān)注，所以，需要對應(yīng)力

11、結(jié)果作處理。以，需要對應(yīng)力結(jié)果作處理。應(yīng)力結(jié)果的處理方法：應(yīng)力結(jié)果的處理方法：相鄰單元平均；繞結(jié)點平均；應(yīng)力磨平；利用邊界條件修正等相鄰單元平均；繞結(jié)點平均；應(yīng)力磨平；利用邊界條件修正等2. 取相鄰單元應(yīng)力的平均值取相鄰單元應(yīng)力的平均值適用于適用于3結(jié)點三角形單元（常應(yīng)力單元）。結(jié)點三角形單元（常應(yīng)力單元）。i（1）算術(shù)平均：）算術(shù)平均：)6()2()1(61iiii2. 取相鄰單元應(yīng)力的平均值取相鄰單元應(yīng)力的平均值適用于適用于3結(jié)點三角形單元（常應(yīng)力單元）。結(jié)點三角形單元（常應(yīng)力單元）。i（1）算術(shù)平均：）算術(shù)平均：)6()2()1(61iiii（2）面積加權(quán)平均：）面積加權(quán)平均：設(shè)單元設(shè)單

12、元 j 的面積為的面積為 Aj ，結(jié)點，結(jié)點 i 的應(yīng)力為：的應(yīng)力為：6216)6(2)2(1)1 (AAAAAAiiii（5.2.11）3. 取圍繞結(jié)點各單元應(yīng)力的平均值取圍繞結(jié)點各單元應(yīng)力的平均值i 對對6結(jié)點三角形單元、四邊形單元等，單元內(nèi)各點的結(jié)點三角形單元、四邊形單元等，單元內(nèi)各點的應(yīng)力各不相同，設(shè)各單元在結(jié)點應(yīng)力各不相同，設(shè)各單元在結(jié)點 i 處的應(yīng)力為處的應(yīng)力為)(ei則，結(jié)點則，結(jié)點 i 處的平均應(yīng)力為處的平均應(yīng)力為)4()3()2()1 (41iiiiimeeiim1)(1m 圍繞結(jié)點圍繞結(jié)點 i 周圍的全部單元數(shù)。周圍的全部單元數(shù)。（5.2.12）5.2.4 總體應(yīng)力磨平總體

13、應(yīng)力磨平（1）基本思想：）基本思想：有限單元解得到的有限單元解得到的單元應(yīng)力分布特征單元應(yīng)力分布特征 構(gòu)造一改進(jìn)的應(yīng)力解構(gòu)造一改進(jìn)的應(yīng)力解 ，此改進(jìn)解滿足：，此改進(jìn)解滿足：（1）在全域上連續(xù)；（在全域上連續(xù)；（2）與有限元求得的應(yīng)力）與有限元求得的應(yīng)力解解 符合符合加權(quán)最小二乘原則。加權(quán)最小二乘原則。MeVedV1)()(21C),(A（5.2.13）式中：式中： M 單元總數(shù)；單元總數(shù)； 為待求的應(yīng)力改進(jìn)值，它在單為待求的應(yīng)力改進(jìn)值，它在單元內(nèi)的分布可插值形式得到，如元內(nèi)的分布可插值形式得到，如eniii1N（5.2.14）式中：式中： i 為待求的改進(jìn)后結(jié)點應(yīng)力值；為待求的改進(jìn)后結(jié)點應(yīng)力值

14、； ne 單元的結(jié)點數(shù)；單元的結(jié)點數(shù)；插值函數(shù)矩陣；可與位移插值函數(shù)相同，也可不同。插值函數(shù)矩陣；可與位移插值函數(shù)相同，也可不同。iN（2）總體應(yīng)力磨平方法：）總體應(yīng)力磨平方法：建立如下泛函，并取最小值建立如下泛函，并取最小值有限單元解得到的有限單元解得到的單元應(yīng)力分布特征單元應(yīng)力分布特征MeVedV1)()(21C),(A（5.2.13）eneii1N（5.2.14）將將 代入式（代入式（5.2.13）作變分運算，并）作變分運算，并考慮到考慮到 i 的任意性，得的任意性，得0),(iA), 2 , 1(Ni（5.2.15）即：即：0)(1MeViedVNC), 2 , 1(Ni（5.2.16

15、）式中：式中：M 應(yīng)力磨平應(yīng)力所用的結(jié)點數(shù)。應(yīng)力磨平應(yīng)力所用的結(jié)點數(shù)。由此可求出，改進(jìn)后各結(jié)點的應(yīng)力值。由此可求出，改進(jìn)后各結(jié)點的應(yīng)力值。磨平后的單元應(yīng)力狀況磨平后的單元應(yīng)力狀況總體應(yīng)力磨平的總體應(yīng)力磨平的缺點缺點：計算工作量十分龐大計算工作量十分龐大。相當(dāng)于求解兩個有限無問題。相當(dāng)于求解兩個有限無問題。5.2.5 單元應(yīng)力磨平單元應(yīng)力磨平（1）基本思想：）基本思想： 當(dāng)單元尺寸不斷縮小時，單元的加權(quán)最小二乘和單元未加權(quán)的最當(dāng)單元尺寸不斷縮小時，單元的加權(quán)最小二乘和單元未加權(quán)的最小二乘是相當(dāng)?shù)?；另一方面，由于泛函小二乘是相?dāng)?shù)?；另一方面，由于泛?( , )的正定性，全域的加的正定性，全域的加

16、權(quán)最小二乘是全域的加權(quán)最小二乘的和權(quán)最小二乘是全域的加權(quán)最小二乘的和。 當(dāng)單元尺寸足夠小時，應(yīng)力磨平可在單元上進(jìn)行。當(dāng)單元尺寸足夠小時，應(yīng)力磨平可在單元上進(jìn)行。（2）單元應(yīng)力磨平的方法）單元應(yīng)力磨平的方法eVdV)()(21),(eA（5.2.16）在單元上，建立如下泛函（并令權(quán)函數(shù)在單元上，建立如下泛函（并令權(quán)函數(shù) C = I）并使該泛函取最小，以此求得改進(jìn)后的結(jié)點應(yīng)力值并使該泛函取最小，以此求得改進(jìn)后的結(jié)點應(yīng)力值 。其中改進(jìn)的應(yīng)力值其中改進(jìn)的應(yīng)力值 仍用結(jié)點應(yīng)力仍用結(jié)點應(yīng)力 i 的插的插值表示，即值表示，即eniii1N（5.2.17）將上式代入式（將上式代入式（5.2.16）,并使用權(quán)其

17、一階變分等于零，有并使用權(quán)其一階變分等于零，有也稱也稱局部應(yīng)力磨平局部應(yīng)力磨平eVdV)()(21),(eA（5.2.16）eneii1N（5.2.17） 將上式代入式（將上式代入式（5.2.16）,并使用權(quán)其一階變分等于并使用權(quán)其一階變分等于零，有零，有0),(ieA), 2 , 1(eni或：或：0)(eVidVN), 2 , 1(eni（5.2.18） 由此可求得單元改進(jìn)后的單元結(jié)點應(yīng)力由此可求得單元改進(jìn)后的單元結(jié)點應(yīng)力 i ，再由單元平均或繞結(jié)，再由單元平均或繞結(jié)點平均等方法求得精度較高結(jié)點點平均等方法求得精度較高結(jié)點 i 的平均應(yīng)力。的平均應(yīng)力。說明：說明： （1）由單元應(yīng)力磨平采用

18、權(quán)函）由單元應(yīng)力磨平采用權(quán)函 C = I ，使得方程（，使得方程（5.2.18）變?yōu)榻怦罘匠?，）變?yōu)榻怦罘匠蹋蚨蠼夤ぷ髁看蟠鬁p少因而求解工作量大大減少。（2）對等參元，方程（）對等參元，方程（5.2.18）中的有限元應(yīng)力解）中的有限元應(yīng)力解 采用采用 Gauss 積分點積分點上的應(yīng)力，則改進(jìn)后結(jié)點應(yīng)力值精度更高上的應(yīng)力，則改進(jìn)后結(jié)點應(yīng)力值精度更高。Gauss 積分點積分點5.2.6 子域局部應(yīng)力磨平及外推子域局部應(yīng)力磨平及外推基本思想：基本思想： 僅對工程實際問題中感興趣的區(qū)域，如應(yīng)力集中區(qū)域、需專門校僅對工程實際問題中感興趣的區(qū)域，如應(yīng)力集中區(qū)域、需專門校核應(yīng)力的區(qū)域進(jìn)行應(yīng)力磨平、修正處

19、理。核應(yīng)力的區(qū)域進(jìn)行應(yīng)力磨平、修正處理。5.2.7 引入力的邊界條件修正邊界應(yīng)力引入力的邊界條件修正邊界應(yīng)力xzy p 設(shè)有限元法求得單元或結(jié)點的設(shè)有限元法求得單元或結(jié)點的應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)力、應(yīng)變分量為分量為zxyzxyzyx,它們在邊界它們在邊界局部坐標(biāo)方向局部坐標(biāo)方向的分量為的分量為xzzyyxzyx,局部坐標(biāo)局部坐標(biāo)zxyzxyzyx,xzzyyxzyx,對此對此局部坐標(biāo)局部坐標(biāo)有應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系：有應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系：x)(1)21)(1 ()1 (zyxEy)(1)21)(1 ()1 (xzyExzy p局部坐標(biāo)局部坐標(biāo))(1)21)(1 ()1 (yxzEz令：令：pz由第三式可求得：由第三

20、式可求得：)(1)1 ()21)(1 (yxzEP代回第一、二式，得修正后應(yīng)力：代回第一、二式，得修正后應(yīng)力：5.2.7 引入力的邊界條件修正邊界應(yīng)力引入力的邊界條件修正邊界應(yīng)力xzzyyxzyx,xzzyyxzyx,對此對此局部坐標(biāo)局部坐標(biāo)有應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系：有應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系：)(1)21)(1 ()1 (zyxE)(1)21)(1 ()1 (xzyExy21)1 ()(pEyxx21)1 ()(pExyy上述結(jié)果可對邊界應(yīng)力得到很大改進(jìn)。上述結(jié)果可對邊界應(yīng)力得到很大改進(jìn)。5.3 5.3 子結(jié)構(gòu)法子結(jié)構(gòu)法（簡介）（簡介）1. 基本思想基本思想四層三跨框架結(jié)構(gòu)四層三跨框架結(jié)構(gòu)單跨橫梁結(jié)構(gòu)（單跨橫

21、梁結(jié)構(gòu)（12）123456789101112 對于一工程實際的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，分成對于一工程實際的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，分成若干個部分，每一部分稱為一個若干個部分，每一部分稱為一個 “子結(jié)子結(jié)構(gòu)構(gòu)”。 然后，在然后，在子結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)上劃分單元，計算上劃分單元，計算各單元的剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣，并各單元的剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣，并將其組集將其組集子結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、結(jié)點載荷的剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣。列陣。 其次，將得到的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、其次，將得到的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣，作自由度凝聚，得到緊結(jié)點載荷列陣，作自由度凝聚，得到緊縮的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣?？s的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣。 最后，將

22、各個子結(jié)構(gòu)緊縮的子結(jié)構(gòu)最后，將各個子結(jié)構(gòu)緊縮的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣，組集成總的剛度矩陣、結(jié)點載荷列陣，組集成總的結(jié)構(gòu)剛度矩陣、總的結(jié)點載荷列陣，引結(jié)構(gòu)剛度矩陣、總的結(jié)點載荷列陣，引邊界條件后求解。邊界條件后求解。2. 內(nèi)部自由度凝聚內(nèi)部自由度凝聚（1）子結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點的位移分量；）子結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點的位移分量；（2）子結(jié)構(gòu)邊界結(jié)點的位移分量；）子結(jié)構(gòu)邊界結(jié)點的位移分量；交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點需要凝聚掉的位移自由度需要凝聚掉的位移自由度：自由度凝聚過程自由度凝聚過程：對圖示對圖示子結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)已建立有限元方程：已建立有限元方程：PKa K子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣子結(jié)

23、構(gòu)的剛度矩陣Pa,分別為子結(jié)構(gòu)的位移列陣、分別為子結(jié)構(gòu)的位移列陣、等效結(jié)點載荷列陣等效結(jié)點載荷列陣ibaaa交界面結(jié)點位移交界面結(jié)點位移內(nèi)部結(jié)點位移內(nèi)部結(jié)點位移ibPPP交界面結(jié)點等效載荷交界面結(jié)點等效載荷內(nèi)部結(jié)點等效載荷內(nèi)部結(jié)點等效載荷（a）將子結(jié)構(gòu)的方程寫成分塊形式：將子結(jié)構(gòu)的方程寫成分塊形式：ibibiiibbibbPPaaKKKK（5.3.1）交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點交界面結(jié)點ibibiiibbibbPPaaKKKK（5.3.1）iiiibibbibibbbPaKaKPaKaK由第二個方程求出：由第二個方程求出：bibiiiiaKPKa1將其代入第一個方程，消

24、去將其代入第一個方程，消去 aii 有有（5.3.2）bibiibibbaKKKK1iiibibPKKP1（5.3.3）令：令：ibiibibbbbKKKKK1iiibibbPKKPP1（5.3.5）方程簡化為：方程簡化為：bbbbPaK（5.3.4）5.4 5.4 結(jié)構(gòu)對稱性與周期性的利用結(jié)構(gòu)對稱性與周期性的利用5.4.1 具有對稱面的結(jié)構(gòu)具有對稱面的結(jié)構(gòu)對稱面上邊界條件的確定：對稱面上邊界條件的確定：（1）將對稱面上位移分量分為）將對稱面上位移分量分為對稱分量和反對稱分量，對稱分量和反對稱分量，如：如：垂直對稱面為對稱位垂直對稱面為對稱位移分量移分量；與對稱面相切為與對稱面相切為反對稱位移

25、分量反對稱位移分量；（2）將載荷分為對稱和反對稱；）將載荷分為對稱和反對稱；（3）對稱面上邊界條件的確定：）對稱面上邊界條件的確定：（a）對同一對稱面，在對）對同一對稱面，在對稱載荷時，對稱的位稱載荷時，對稱的位移分量為零。移分量為零。（b）對同一對稱面，在反）對同一對稱面，在反對稱載荷時，反對稱對稱載荷時，反對稱的位移分量為零。的位移分量為零。5.4.2 軸對稱體受非軸對稱載荷的情況軸對稱體受非軸對稱載荷的情況5.4.3 旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)周期結(jié)構(gòu)單元劃分時注意事項：單元劃分時注意事項：在結(jié)構(gòu)形狀變化劇烈處，單元設(shè)置稠密一些；在結(jié)構(gòu)形狀變化劇烈處，單元設(shè)置稠密一些；在載荷變化劇烈處，單元設(shè)置稠

26、密一些；在載荷變化劇烈處，單元設(shè)置稠密一些；5.5 5.5 非協(xié)調(diào)元與分片試驗非協(xié)調(diào)元與分片試驗也稱也稱分片檢驗分片檢驗或或小片檢驗小片檢驗（1）對邊界有良好的適應(yīng)性；）對邊界有良好的適應(yīng)性；引引 言言1. 等參元的優(yōu)點等參元的優(yōu)點（2）如同其母單元一樣，表達(dá)格式簡明；）如同其母單元一樣，表達(dá)格式簡明；（3）具有與母單元同樣的收斂性；）具有與母單元同樣的收斂性；2. 等參元的局限性等參元的局限性其計算其計算精度精度和和效率效率不夠高，具有提高的潛力。不夠高，具有提高的潛力。原因：原因：Ni 中存在中存在不完全的高次多項式不完全的高次多項式，它們對單元精度提，它們對單元精度提高不起作用。如：高不

27、起作用。如：1 234（1） 4結(jié)點四邊形單元：結(jié)點四邊形單元：, 1:iN 雙線性（完全的多項式僅為一次）雙線性（完全的多項式僅為一次）就線性的完全多項式而言，僅需就線性的完全多項式而言，僅需3個結(jié)點個結(jié)點6個自由度個自由度即可描述。即可描述。6781 2345（2） 8結(jié)點四邊形單元：結(jié)點四邊形單元：2222, 1:iN 二次單元（完全的多項式為二次的）二次單元（完全的多項式為二次的）就完全二次多項式而言，僅需就完全二次多項式而言，僅需6個結(jié)點個結(jié)點12個自由個自由度度即可描述。即可描述。多余多余2個結(jié)點個結(jié)點。上述情況，在空間問題中更為嚴(yán)重。上述情況，在空間問題中更為嚴(yán)重。 不完全的高次

28、多項式不但不能提高精度，有時可起負(fù)面作用。不完全的高次多項式不但不能提高精度，有時可起負(fù)面作用。例如：用例如：用二維雙線性單元二維雙線性單元描述描述純彎曲應(yīng)力狀態(tài)純彎曲應(yīng)力狀態(tài)該問題的精確解為：該問題的精確解為：xyu1)(21)(21221221ybxav（5.5.1）由平面問題的幾何方程和物理方程，得：由平面問題的幾何方程和物理方程，得：0, 0,1xyyxEy 為純彎曲的應(yīng)力狀態(tài)。為純彎曲的應(yīng)力狀態(tài)。E、 為彈性常數(shù)。為彈性常數(shù)。若用雙線性矩形單元模擬該應(yīng)力狀態(tài)：若用雙線性矩形單元模擬該應(yīng)力狀態(tài)：44332211uNuNuNuNuxyyx432144332211vNvNvNvNvxyyx

29、8765例如：用例如：用二維雙線性單元二維雙線性單元描述描述純彎曲應(yīng)力狀態(tài)純彎曲應(yīng)力狀態(tài)該問題的精確解為：該問題的精確解為：xyu1)(21)(21221221ybxav（5.5.1）由平面問題的幾何方程和物理方程，得：由平面問題的幾何方程和物理方程，得：0, 0,1xyyxEy 為純彎曲的應(yīng)力狀態(tài)。為純彎曲的應(yīng)力狀態(tài)。E、 為彈性常數(shù)。為彈性常數(shù)。（5.5.2）對照式（對照式（5.5.1）有：）有：,1xyu0v（5.5.3）由幾何方程，得由幾何方程，得,1yx, 0yxxy1由物理方程由物理方程,112yEx,112yEy,121xExy近似位移近似位移近似剪應(yīng)力近似剪應(yīng)力近似的近似的 y

30、誤差原因：誤差原因：位移中缺完全的二次多項式。位移中缺完全的二次多項式。例如：用例如：用二維雙線性單元二維雙線性單元描述描述純彎曲應(yīng)力狀態(tài)純彎曲應(yīng)力狀態(tài)精確解精確解xyu1)(21)(21221221ybxav（5.5.1）0, 0,1xyyxEy近似解近似解（由雙線性矩形單元模擬得）：（由雙線性矩形單元模擬得）：（5.5.2）,1xyu0v,112yEx,112yEy,121xExy位移：位移：應(yīng)力：應(yīng)力：位移：位移：應(yīng)力：應(yīng)力：（5.5.3）5.5.1 Wilson 非協(xié)調(diào)元非協(xié)調(diào)元1. 基本思想基本思想 在不增加單元自由度情況下，位移插值函數(shù)中，在不增加單元自由度情況下，位移插值函數(shù)中，

31、增加一些增加一些附加項附加項，使其構(gòu)成完全多項式，以彌補原位移插函數(shù)中非完全，使其構(gòu)成完全多項式，以彌補原位移插函數(shù)中非完全多項式的不足。多項式的不足。Wilson稱這些稱這些附加項附加項為：為：內(nèi)部無結(jié)點位移項內(nèi)部無結(jié)點位移項。以以4結(jié)點四邊形等參元為例，結(jié)點四邊形等參元為例，采用自然坐標(biāo)，其附加項為采用自然坐標(biāo)，其附加項為),1 (21)1 (22附加項的特點：附加項的特點：在在4結(jié)點處，附加項的值為零，不影響結(jié)點位移；結(jié)點處，附加項的值為零，不影響結(jié)點位移；附加項的二次項使位移成為完全二次多項式；附加項的二次項使位移成為完全二次多項式；2. 二維二維4結(jié)點結(jié)點Wilson非協(xié)調(diào)元非協(xié)調(diào)元

32、1 234位移模式：位移模式：)1 ()1 (222141iiiuNu)1 ()1 (242341iiivNv其中：其中：)1)(1 (41iiiN4321, 稱為內(nèi)部自由度，無明確的物理意義。稱為內(nèi)部自由度，無明確的物理意義。2. 二維二維4結(jié)點結(jié)點Wilson非協(xié)調(diào)元非協(xié)調(diào)元1 234位移模式：位移模式：)1 ()1 (222141iiiuNu)1 ()1 (242341iiivNv（5.5.4）將式（將式（5.5.4）用矩陣表示：）用矩陣表示：eeNNau（5.5.5）其中：其中：,vuu, 442211vuvuvuea4321 e, 4321NNNNIIIIN 222211000011

33、N 1001I41i應(yīng)變、單元位能泛函、單元有限元方程：應(yīng)變、單元位能泛函、單元有限元方程：將式（將式（5.5.4）或（）或（5.5.5）代入幾何方程：）代入幾何方程：Lu 得：得：eeNLLNaeeBBa （5.5.6）代入單元位能泛函代入單元位能泛函ePeeeSePtdStdxdytdxdy 21TufuD由由0eP得：得：eeueeeeueueuuPPaKKKK（5.5.7）其中：其中：eeuutdxdyDBBK 原原4結(jié)點線性單元的剛度陣結(jié)點線性單元的剛度陣eeueutdxdyBDBKKeeSeutdStdxdy TNfNPeeSetdStdxdy TNfNP（5.5.8）)1 ()1

34、 (222141iiiuNu)1 ()1 (242341iiivNveeNNau單元的自由度凝聚：單元的自由度凝聚：eeueeeeueueuuPPaKKKK（5.5.7）eueeueeuuPKaKeeeeeuPKaK由上式中的第二式可解出：由上式中的第二式可解出： eeueeeaKPK1（5.5.9）將上式的第一式，有將上式的第一式，有eueeuuKaK eeueeaKPK1euP整理，消去整理，消去 e , 有有eeueeueuuaKKKK 1eeeuPKK1euP令：令：eueeueuueKKKKK1eeeueuePKKPP1eeePaK（5.5.10）說明：說明：（1）方程（）方程（5.

35、5.10）包括了）包括了附加內(nèi)結(jié)點位移項得到附加內(nèi)結(jié)點位移項得到的單元剛度陣和載荷列的單元剛度陣和載荷列陣。陣。（2）方程（）方程（5.5.10）階數(shù)與原）階數(shù)與原線性單元相同。消去附線性單元相同。消去附加自由度加自由度 14 的過程，的過程，稱為稱為自由度凝聚自由度凝聚。eueeueuueKKKKK1eeeueuePKKPP1eeePaK（5.5.10）說明：說明：（1）方程（）方程（5.5.10）包括了附）包括了附加內(nèi)結(jié)點位移項得到的加內(nèi)結(jié)點位移項得到的單元剛度陣和載荷列陣。單元剛度陣和載荷列陣。（2）方程（）方程（5.5.10）階數(shù)與原）階數(shù)與原線性單元相同。消去附加線性單元相同。消去附

36、加自由度自由度 14 的過程，稱的過程，稱為為自由度凝聚自由度凝聚。（3）若不存在體積力（）若不存在體積力（ f 0）,則有則有eeSetdStdxdy TNfNPeStdS TN進(jìn)一步略去進(jìn)一步略去eP中的第二項，則中的第二項，則euePP eeStdStdxdy TNfN 與原線性單元中相同與原線性單元中相同 實踐證明，實踐證明， 作以上處理后，作以上處理后，計算量大大減少，且對精度影響計算量大大減少，且對精度影響不太大。不太大。例：例：j 結(jié)點的位移結(jié)點的位移i 點的彎曲應(yīng)力點的彎曲應(yīng)力載荷載荷A載荷載荷B載荷載荷A載荷載荷B理論解理論解100.0103.030004050協(xié)調(diào)元網(wǎng)格協(xié)調(diào)

37、元網(wǎng)格168.170.121822945協(xié)調(diào)元網(wǎng)格協(xié)調(diào)元網(wǎng)格270.672.321882954非協(xié)調(diào)元網(wǎng)格非協(xié)調(diào)元網(wǎng)格1100.0101.530004050非協(xié)調(diào)元網(wǎng)格非協(xié)調(diào)元網(wǎng)格2100.0101.330004050懸臂梁受載荷懸臂梁受載荷A和載荷和載荷B作用，如圖作用，如圖所示。采用所示。采用4結(jié)點矩形單元計算。結(jié)點矩形單元計算。其中：其中：)1)(1 (41iiiN4321, 附加的內(nèi)部自由度附加的內(nèi)部自由度1 234存在的問題：存在的問題：)1 ()1 (222141iiiuNu)1 ()1 (242341iiivNv（5.5.4）單元邊界上位移分布：單元邊界上位移分布：12,vu12

38、,vu2,vu2,vu Wilson元元 不滿足協(xié)調(diào)條件，為不滿足協(xié)調(diào)條件，為非協(xié)調(diào)單元非協(xié)調(diào)單元。相鄰單元邊界的位移不能連續(xù)。相鄰單元邊界的位移不能連續(xù)。Wilson非協(xié)調(diào)元單元收斂性如何？非協(xié)調(diào)元單元收斂性如何？41i實踐證明：實踐證明： 對于對于 C0 類型問題，若在單元尺寸趨于零（即單元應(yīng)變趨于類型問題，若在單元尺寸趨于零（即單元應(yīng)變趨于常應(yīng)變）時，其位移的連續(xù)性能得到恢復(fù)，則非協(xié)調(diào)元的解仍能常應(yīng)變）時，其位移的連續(xù)性能得到恢復(fù)，則非協(xié)調(diào)元的解仍能趨于精確解。趨于精確解。檢驗非協(xié)調(diào)元是否收斂性的條件為：檢驗非協(xié)調(diào)元是否收斂性的條件為：（1）位移模式能否描述）位移模式能否描述常應(yīng)變常應(yīng)變

39、？（2）在常應(yīng)變的條件下，能否自動地）在常應(yīng)變的條件下，能否自動地保證位移的連續(xù)性保證位移的連續(xù)性？檢驗方法：檢驗方法：分片試驗分片試驗 檢驗采用非協(xié)調(diào)元任意網(wǎng)格單元時能否達(dá)到上檢驗采用非協(xié)調(diào)元任意網(wǎng)格單元時能否達(dá)到上述連續(xù)性的要求。述連續(xù)性的要求。 能能通過分片試驗通過分片試驗的非協(xié)調(diào)元，其有限元解一定的非協(xié)調(diào)元，其有限元解一定收斂于精確解。收斂于精確解。5.5.2 分片試驗分片試驗艾恩斯（艾恩斯（Irons）,1965i j1. 分片試驗原理分片試驗原理 考慮一任意的單元片，如圖所示，其中至少考慮一任意的單元片，如圖所示，其中至少有一個結(jié)點是完全被單元所包圍的，如圖中的結(jié)有一個結(jié)點是完全被

40、單元所包圍的，如圖中的結(jié)點點 i ，結(jié)點，結(jié)點 i 的平衡方程為：的平衡方程為：0)(1meeijeijPaK221212（5.5.11）其中：其中：m 單元片包含的單元數(shù)，單元片包含的單元數(shù)，j 表示單表示單元片內(nèi)除結(jié)點元片內(nèi)除結(jié)點 i 以外的所有結(jié)點。以外的所有結(jié)點。 考察：考察：當(dāng)賦于單元片各個結(jié)點以與常應(yīng)變相應(yīng)位移值和載荷值當(dāng)賦于單元片各個結(jié)點以與常應(yīng)變相應(yīng)位移值和載荷值時，校驗方程（時，校驗方程（5.5.11）是否滿足，即此時結(jié)點）是否滿足，即此時結(jié)點 i 的平衡條件是否滿的平衡條件是否滿足。足。分片試驗原理分片試驗原理： 如果滿足，則認(rèn)為通過分片試驗，即單元滿足常應(yīng)變的要求，如果滿

41、足，則認(rèn)為通過分片試驗，即單元滿足常應(yīng)變的要求，此時，當(dāng)單元尺寸不斷縮小時，有限元解能收斂于真正解。此時，當(dāng)單元尺寸不斷縮小時，有限元解能收斂于真正解。2. 分片試驗的方法步驟分片試驗的方法步驟i j（1）賦單元片中各結(jié)點以（與常應(yīng)變狀態(tài)相對）賦單元片中各結(jié)點以（與常應(yīng)變狀態(tài)相對應(yīng)）應(yīng)）位移和載荷值位移和載荷值;（2）將賦的各結(jié)點）將賦的各結(jié)點位移和載荷值位移和載荷值代入式（代入式（5.5.11）;（3）判別：式（）判別：式（5.5.11）是否滿足。若滿足，則通）是否滿足。若滿足，則通過分片試驗，解能收斂于真正解。過分片試驗，解能收斂于真正解。平面問題中非協(xié)調(diào)元的分片試驗平面問題中非協(xié)調(diào)元的分

42、片試驗平面問題中，與常應(yīng)變對應(yīng)的位移為：平面問題中，與常應(yīng)變對應(yīng)的位移為：yxu321yxv654（5.5.12）取各結(jié)點的位移值為：取各結(jié)點的位移值為：jjjyxu321jjjyxv654（5.5.13）與常應(yīng)變（常應(yīng)力）對應(yīng)的結(jié)點載荷：與常應(yīng)變（常應(yīng)力）對應(yīng)的結(jié)點載荷：應(yīng)有：應(yīng)有：00f00T00P 無體力無體力 無面力無面力 無集中力無集中力0eiP此時，分片試驗條件變?yōu)椋捍藭r，分片試驗條件變?yōu)椋?1mejeijaK（5.5.14）分片試驗條件變?yōu)椋悍制囼灄l件變?yōu)椋?1mejeijaK（5.5.14）分片試驗條件的意義：分片試驗條件的意義：（1）若式（）若式（5.5.14）不成立，表明

43、單元片具有與常應(yīng)變相應(yīng)的位移）不成立，表明單元片具有與常應(yīng)變相應(yīng)的位移時，結(jié)點時，結(jié)點 i 不能平衡。必須在結(jié)點不能平衡。必須在結(jié)點 i 處施加外力處施加外力(如加約束力如加約束力)，才能保持結(jié)點才能保持結(jié)點 i平衡。反應(yīng)這種非協(xié)調(diào)單元不能反應(yīng)常應(yīng)變的平衡。反應(yīng)這種非協(xié)調(diào)單元不能反應(yīng)常應(yīng)變的要求。要求。（2）若式（）若式（5.5.14）不成立，從能量角度看，由于單元間的不協(xié)調(diào)）不成立，從能量角度看，由于單元間的不協(xié)調(diào)變形損失外力的功。變形損失外力的功。分片試驗的另一提法：分片試驗的另一提法：當(dāng)單元片的邊界結(jié)點賦予和常應(yīng)變相對應(yīng)的位移時，求解方程當(dāng)單元片的邊界結(jié)點賦予和常應(yīng)變相對應(yīng)的位移時，求解

44、方程（5.5.14）得到分片內(nèi)部結(jié)點）得到分片內(nèi)部結(jié)點 i 的位移的位移 ai。若。若 ai 和常應(yīng)變狀態(tài)一致，和常應(yīng)變狀態(tài)一致，則通過分片檢驗。則通過分片檢驗。平面平面4結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的分片試驗條件結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的分片試驗條件位移模式：位移模式：其中：其中：)1)(1 (41iiiN4321, 附加的內(nèi)部自由度附加的內(nèi)部自由度)1 ()1 (222141iiiuNu)1 ()1 (242341iiivNv（5.5.4）兩種情形：兩種情形：（1）當(dāng)）當(dāng)04321時，單元一定滿足收斂性條件，時，單元一定滿足收斂性條件，（2）當(dāng)單元片各點賦予與常應(yīng)變相應(yīng)有位移：）當(dāng)單元片各點賦予與常應(yīng)變相

45、應(yīng)有位移：因而，必定通過分片試驗。因而，必定通過分片試驗。jjjyxu321jjjyxv654（5.5.13）時，也應(yīng)有：時，也應(yīng)有：04321平面平面4結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的分片試驗條件結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的分片試驗條件0e1 234（5.5.7）eueeueeuuPKaKeeeeeuPKaK eeueeeaKPK1（5.5.9）4結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的方程為：結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的方程為：由第二式可求得：由第二式可求得：當(dāng)不存在體積力（當(dāng)不存在體積力（ f 0）時）時, 可近似可近似取取0eP式（式（5.5.9）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋篹eueeaKK1eeetdxdyaDBBK 1（5.5.15）記：常應(yīng)

46、變狀態(tài)相應(yīng)的結(jié)點位記：常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的結(jié)點位移為：移為：lee)(aa （5.5.16）記：常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的結(jié)點位記：常應(yīng)變狀態(tài)相應(yīng)的結(jié)點位移為：移為： leeeetdxdy)( 1aDBBK001eK應(yīng)有應(yīng)有0)( leetdxdy aDBB另一方面，與常應(yīng)變對應(yīng)的另一方面，與常應(yīng)變對應(yīng)的一定為常應(yīng)力，即一定為常應(yīng)力，即lleaDB)(00)( leetdxdy aDBB0 etdxdyB0 1111 ddJBJ其中：其中： 單元相應(yīng)等參變換的單元相應(yīng)等參變換的Jacobi矩陣矩陣NLB NNNN00222211000011N222220000002常數(shù)J顯然，當(dāng)：顯然，當(dāng)：時，時，0 1111 ddJB成立，即通過分片試驗，該非協(xié)單元是滿足收斂性條件的。成立，即通過分片試驗，該非協(xié)單元是滿足收斂性條件的。結(jié)論：結(jié)論：平面平面4結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的收斂條件：結(jié)點四邊形非協(xié)調(diào)元的收斂條件：常數(shù)J說明：說明：（1）滿足）滿足常數(shù)J的單元為：的單元為：平行四邊形平行四邊形單元和單元和矩形矩形單元；單元；（2）對一般四邊形單元不能通過分片試