橢圓第一定義的相關(guān)應(yīng)用

1、橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)， 兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.記：平面內(nèi)點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（即|MF1|+|MF2|=2a），兩焦點(diǎn)的距離為2c。（1）當(dāng)2a=2c時, 點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2（2）當(dāng)2a2c時,點(diǎn)M的軌跡是為橢圓0 12222babyax 0 12222babxay圖 形方 程焦 點(diǎn)F(c，0)在軸上F(0，c)在軸上a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定 義12yoFFMx1oFyx2FM注:哪個分母大，

2、焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：例1.已知ABC的一邊BC固定，長為6，周長為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。yoBCAx解：以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。 根據(jù)橢圓的定義知所求軌跡方程是橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ：) 0( 12222babyax1162522 yx 2a=10, 2c=6 a=5, c=3 b2=a2c2=5232=16頂點(diǎn)A的軌跡方程為 思考：焦點(diǎn)建在 Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？)0( y應(yīng)用1：例題|AB|+|BC|+|CA|=20且且|BC|=8,|AB|+|AC|=12|BC|,點(diǎn)點(diǎn)A的軌跡是以的軌跡是以B C為

3、焦點(diǎn)的橢圓為焦點(diǎn)的橢圓(除去除去與與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)).且且2a=12,2c=8,及及a2=b2+c2得得a2=36,b2=20.故點(diǎn)故點(diǎn)A的軌跡方程是的軌跡方程是 (y0).2213620 xy練習(xí)：已知ABC的一邊BC長為8,周長為20,求頂點(diǎn)A的軌跡方程.解:以BC邊所在直線為x軸,BC中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系,則B C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0) (4,0).定義法變式1：在三角形ABC 中 ，B(-3,0)，C(3,0),且三邊長 |AC|, |BC| , |AB|成等差數(shù)列，求頂點(diǎn) A的軌跡方程。 變式2：在三角形ABC中，B（0，-3），C（0，3）且 sinB+

4、sinC=2sinA,求頂點(diǎn)A的軌跡方程。變式3：在三角形ABC中，BC=24，AC,AB邊上的中線 長之和等于39，求三角形ABC的中心的軌跡方程。例2. 已知經(jīng)過橢圓 的右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線AB交橢圓于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)。 （1）求三角形AF1B的周長 （2）如果AB不垂直于x軸，三角形AF1B的周長 有變化嗎？為什么？yoF1F2Ax1162522 yxB解（1）三角形AF1B的周長為 |AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|又又A,B兩點(diǎn)在橢圓上 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a（橢圓定義）（橢圓定義）

5、例題應(yīng)用2：橢圓方程為 a2=25 a=5 |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=10三角形的周長為三角形的周長為20。1162522 yx（2）三角形AF1B的周長不會發(fā)生變化。 三角形AF1B的周長=|AF1|+|BF1|+|AB|= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2| A,B兩點(diǎn)在橢圓上， |AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|=2a=20始終成立始終成立所以三角形的周長不會發(fā)生變化。所以三角形的周長不會發(fā)生變化。變式：已知橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且a=2c，過 F1的直線l腳橢圓于AB兩點(diǎn)，且三角形ABF2 的周長為16，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

6、是？例3.已知橢圓 的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2。 點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，求|PF1|.|PF2|的最大值。 1162522 yx解：由橢圓方程可知，a=5， |PF1|.|PF2| (|PF1|+|PF2|)24=25當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2| =5時等號成立。所以|PF1|.|PF2| 的最大值為25應(yīng)用3：例題P的最大值）（的面積）三角形（求若是兩個焦點(diǎn)上的一點(diǎn)，是橢圓：例212102121222160,1641003PFPFPFFPFFFFyxP變式100100)2(22010)2(3364sin2132561443201443)(1441260cos2-) 1 (20212122121

7、21212121212121221221212221202122212121的最大值為”成立時“當(dāng)且僅當(dāng)，又中由余弦定理知在，解：由橢圓定義知PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaPFFPFPFSPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFPFPF2tan1221PFFbPFFS焦點(diǎn)三角形面積公式：應(yīng)用4：例：已知點(diǎn)A（-2，0），B 是圓F（x-2）2+y2=64 上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P,求動 點(diǎn)P的 軌跡方程.例題變式：習(xí)題2.1A組第7題變式：已知點(diǎn)A（-1/2，0），B 是圓F（x-1/2）2+y2=4 上一動點(diǎn)，線段A

8、B的垂直平分線交BF于點(diǎn)P,則動 點(diǎn)P的 軌跡方程是什么？ 相關(guān)點(diǎn)法求橢圓方程 例、在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？422 yxoxy例題應(yīng)用5：變式：已知點(diǎn)M在橢圓x2+4y2=36上，MP0垂直于橢圓焦點(diǎn)所在直線，垂足為P0，且M為線段PP0的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程。變式：習(xí)題2.1B組第1題 x2+y2=36的軌跡。求點(diǎn)上，并且在點(diǎn)垂線段軸作向從這個圓上任意一點(diǎn)變式：已知圓MMPPMPPMPPxPyx, 2, 922yxoPPM2219xy 的軌跡方程。，求點(diǎn)之積是，且他們的斜率相交于點(diǎn)直線），的坐標(biāo)分別為（

9、、：如圖，設(shè)例M94-MBMAM,).0 , 5(,05BA4ABMxyo交軌法求橢圓方程變式：36頁練習(xí)第四題例題應(yīng)用6：例1.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0并且經(jīng)過點(diǎn) ， 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.)23,25( 解法一:因為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為).0( 12222 babyax由橢圓的定義知102)23()225()23()225(22222 a所以.10 a又因為 ,所以2 c. 6410222 cab因此, 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 161022 yx應(yīng)用7： 給定條件求橢圓方程解法二:因為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知聯(lián)立,61022 ba，解得解得因此, 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 161022 yx求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）用待定系數(shù)法確定a、b的值， 寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.。兩兩點(diǎn)點(diǎn)的的橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程且且經(jīng)經(jīng)過過：求求以以對對稱稱軸軸為為坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸變變式式)1 ,3