矩陣論、數(shù)值分析復(fù)習(xí)_2015_new_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、矩陣論復(fù)習(xí)一、線性空間(子空間)的基與維數(shù)的求法、直和的概念二、兩個(gè)基之間過(guò)渡矩陣的求法線性變換的特征值、特征向量的計(jì)算四、特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式、Cayley-Hamilton定理六、向量與矩陣的范數(shù)、條件數(shù)的概念與計(jì)算七、矩陣的三角分解五、會(huì)求可逆矩陣將方陣化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型三、線性變換的概念及其矩陣表示的簡(jiǎn)單應(yīng)用12.B B 中的向量中的向量)1 (nii稱(chēng)為第稱(chēng)為第i個(gè)個(gè)基向量基向量. 定義定義 nV中給定順序的中給定順序的n個(gè)線性無(wú)關(guān)向量個(gè)線性無(wú)關(guān)向量n,21所成的向量組稱(chēng)為所成的向量組稱(chēng)為nV的一個(gè)的一個(gè)基基,21n(或或基底基底), 記為記為B B =nV定理定理 設(shè)設(shè)B B

2、是是的一個(gè)基的一個(gè)基,則則Vn中任一向量都中任一向量都可由可由B B 唯一表示。唯一表示。,21nB,21nB是是nV的兩個(gè)基的兩個(gè)基,則每個(gè)則每個(gè))1 (njj都可由都可由B線性表出線性表出:., 2 , 1,21211njppppnjjjnniiijj3.pppppppppnnnnnnnn 2122221112112121 將將njj1 ,按順序排列按順序排列,并使用矩陣記號(hào)并使用矩陣記號(hào),則得則得TnjjjjpppP21就是就是B中第中第j個(gè)基向量個(gè)基向量j在基在基B 其中其中 n 階方陣階方陣ijpP 稱(chēng)為由基稱(chēng)為由基B到到B(或或過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣).顯然顯然,基變換矩陣基變換矩陣P中

3、的第中的第j個(gè)列向量個(gè)列向量的的變換矩陣變換矩陣下的坐標(biāo)下的坐標(biāo).PBB簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為4 解解 ,111101011111100101P故故.2120111121111001011111010111P 例例 已知已知3R的兩個(gè)基是的兩個(gè)基是,111,100,101,110,101,11121BB求由求由1B到到2B的變換矩陣的變換矩陣P.5例例 4R中的兩個(gè)子空間是中的兩個(gè)子空間是,1111,0121 span211TTaaW 求求2121WWWW及的基和維數(shù)。的基和維數(shù)。.,span432121WW但由于但由于,2529233214 且且32, 1,線性無(wú)關(guān),所以線性無(wú)關(guān),所以21WW 的一個(gè)

4、基為的一個(gè)基為,0121 1T . 3)dim(, 1012, 11112132 WWTT解解維數(shù)公式(維數(shù)公式(*)給出)給出. 1)dim(dimdim)dim(212121WWWWWW 21,WW.dimdim)dim()dim(212121WWWWWW定理定理 設(shè)設(shè)是是V的兩個(gè)子空間,則的兩個(gè)子空間,則,7311, 1012span432TTaaW 為了求為了求21WW 的基,設(shè)的基,設(shè)21WW ,則由,則由1W知,存在知,存在21,kk使使2211kk,又由,又由2W知,存在知,存在43,kk使使4433kk因而,因而,4321,kkkk應(yīng)滿足方程。應(yīng)滿足方程。,44332211kk

5、kk即即. 0)()(44332211kkkk用矩陣表示則為用矩陣表示則為071103011111212114321 kkkk解得解得,25934321TTckkkk 其中其中c為任意為任意非零非零實(shí)數(shù),從而實(shí)數(shù),從而. 96312)93(21Tcc 因此,因此,, 96312span21TWW 即即T 3214 是是21WW 的一個(gè)基。的一個(gè)基。 7定義定義 若若21WW 中任一向量只能唯一地分解為中任一向量只能唯一地分解為1W中的一個(gè)向量與中的一個(gè)向量與2W中的一個(gè)向量之和,則中的一個(gè)向量之和,則21WW 稱(chēng)為稱(chēng)為21,WW的直和,記為的直和,記為.21WW (2); 0),2 , 1(,

6、 02121則若iWii(3).dimdim)dim(2121WWWW定理定理 2121WWWW的充分必要條件是下列條件的充分必要條件是下列條件的之一滿足:的之一滿足:;021WW (1)4R 例例 設(shè)設(shè) 是是 R4的一個(gè)基,的一個(gè)基, , ,證明:,證明: ,4321,21211 spanV,41432spanV214VVR8在在T下的下的像像,定義定義 mnVV 到的變換的變換T T 稱(chēng)為線性的,如果對(duì)任意的稱(chēng)為線性的,如果對(duì)任意的nVk及中的任意向量中的任意向量,恒有恒有.)(,)(kTkTTTT特別,當(dāng)特別,當(dāng)T是是nV到自身的一個(gè)線性變換,則稱(chēng)到自身的一個(gè)線性變換,則稱(chēng)T是是nV的的

7、線性變換線性變換。記記,mVT則稱(chēng)則稱(chēng)為稱(chēng)為的的原像原像。數(shù)數(shù)mnVV 和中分別取基中分別取基,2121mnBB和則則ja的像的像1 (jTa)nj 可由基可由基B唯一地線性表出:唯一地線性表出:mnVV 到的線性變換,在的線性變換,在設(shè)設(shè)T是是mimjjjmiijjaaaaT12121那么上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為那么上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為 .2122221112112121mnmmnmnaaaaaaaaaTTTn為了簡(jiǎn)化記法和便于運(yùn)算,令為了簡(jiǎn)化記法和便于運(yùn)算,令,21naTTTTB 其中其中nm矩陣矩陣.212222111211mnmmnaaaaaaaaaAn,ABTB(1.2-1)(1.2-1)式叫做)式叫做

8、T的矩陣表示,稱(chēng)的矩陣表示,稱(chēng)A為為T(mén)在在基偶基偶下的矩陣。下的矩陣。,BB9如果把如果把njTj1 ,按順序排列,并使用矩陣記號(hào),按順序排列,并使用矩陣記號(hào),則有則有10則稱(chēng)則稱(chēng)0是是T的一個(gè)的一個(gè)特征值特征值,稱(chēng)為稱(chēng)為T(mén)關(guān)于關(guān)于0特征向量特征向量。的的定義定義 的一個(gè)線性變換,如果存在的一個(gè)線性變換,如果存在, 0)(,0且FVFn使使 ,0T(1.2-5))(FVTn是設(shè)T的特征值問(wèn)題與的特征值問(wèn)題與 A 的特征值問(wèn)題是一一對(duì)應(yīng)的。由于相似矩的特征值問(wèn)題是一一對(duì)應(yīng)的。由于相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,所以我們可以把陣有相同的特征多項(xiàng)式,所以我們可以把A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 nnnnnb

9、bbAIf111)det()(稱(chēng)為稱(chēng)為T(mén)的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式,于是,于是T的特征值就是的特征值就是T的特征多項(xiàng)式的根。的特征多項(xiàng)式的根。11為了求出為了求出T的特征值和特征向量,在的特征值和特征向量,在nV中取一個(gè)基中取一個(gè)基,21nB,且設(shè),且設(shè)T在在B下的矩陣是下的矩陣是A。那么那么可由可由B的線性表出:的線性表出:,121niTniixxxxBxx是是 T 的一個(gè)特征向量,的一個(gè)特征向量,0是相應(yīng)的特征值,即是相應(yīng)的特征值,即, 0,0T如果如果.0 xAx可推得可推得解解 取取)(2tP的一個(gè)基的一個(gè)基21, ,Bt t則則T在在B下的下的.300220011A矩陣是矩陣是A的特征

10、值是的特征值是相應(yīng)的特征向量相應(yīng)的特征向量. 121 ,011 ,001 321TTTkkk, 3, 2, 1321分別為分別為, 3, 2, 1321因此,因此,T的特征的特征T關(guān)于關(guān)于321,的特征向量的特征向量),21 (),1 (,2321ttktkk上述的上述的321,kkk和可為任意非零實(shí)數(shù)??蔀槿我夥橇銓?shí)數(shù)。值是值是分別是多項(xiàng)式分別是多項(xiàng)式12 例例 )(2tP的線性變換的線性變換T的定義為的定義為),() 1()()(tpdtdttptTp求求T的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。13nnnnnnnaaaaaaaaaAI212222111211)det(.)det()(11

11、1nnnnnbbbAIf這個(gè)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域有這個(gè)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域有n 個(gè)根個(gè)根.,21n 特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式對(duì)于復(fù)數(shù)域上對(duì)于復(fù)數(shù)域上n 階方陣階方陣A=aij,它的特征多項(xiàng)式它的特征多項(xiàng)式 是是的的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式14nnnnbbbAIf111)det()(定理定理(Cayley-Hamilton) 設(shè)設(shè)n 階方陣階方陣A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為則則f (A)=O,即即A 的特征多項(xiàng)式是的特征多項(xiàng)式是A 的一個(gè)零化多項(xiàng)式的一個(gè)零化多項(xiàng)式.定義定義 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n 階方陣階方陣,g(t)是一多項(xiàng)式是一多項(xiàng)式,如果如果g(A)=O,則則稱(chēng)稱(chēng)g(t)是是A

12、的零化多項(xiàng)式的零化多項(xiàng)式.A的的最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式,記為,記為 。)(Am定義定義A的零化多項(xiàng)式中,次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱(chēng)為的零化多項(xiàng)式中,次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱(chēng)為且且 是唯一的。是唯一的。定理定理A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式 可整除可整除A的任何零化多項(xiàng)式的任何零化多項(xiàng)式)(Am)(g)(Am,00小多項(xiàng)式 的根。定理 是A 的特征值的充分必要條件是 是A 的最)(Am證設(shè) 是A的特征值,0是相應(yīng)的特征向量,則有0, 0,)()(00000 xxmxAmAA0)(0Am故,即 是 的根。)(Am0反之,若 是 的根,那么由于 可整除A的)(Am)(Am0特征多項(xiàng)式 ,)(f00故 必是特征多

13、項(xiàng)式的根,即 是A 的特征值。1516)(Am定理定理 0 0是是A 的特征值的充分必要條件是的特征值的充分必要條件是 0 0是是A 的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式 的根。的根。42112012A例例求求的最小多項(xiàng)式。的最小多項(xiàng)式。32)2)(3(;)2)(3();2)(3(解解 由于由于 所以所以A的最小多項(xiàng)式只能的最小多項(xiàng)式只能3)2)(3()det(AI有下列三種可能:有下列三種可能:,00000010O2211001012121011)2)(3(IAIA但但.)2)(3()(,)2)(3(22AmOIAIA故而而04168212416)2(xxIA例如,例如, 725,54411zxT616

14、8412414A例例 設(shè)設(shè)求可逆矩陣求可逆矩陣P使使P1AP為為Jordan矩陣。矩陣。2,)2()det(3AI解解: 是是A的三重特征值。齊次線性方程組的三重特征值。齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 A2I 的秩是的秩是1,因而基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量,因而基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量,17sixIAi, 2 , 1, 0)(征值的各級(jí)根向量征值的各級(jí)根向量.1.1級(jí)根向量可以解齊次線性方程組級(jí)根向量可以解齊次線性方程組把把 相似簡(jiǎn)化為相似簡(jiǎn)化為JordanJordan矩陣的關(guān)鍵是矩陣的關(guān)鍵是, ,尋找尋找 關(guān)于其特關(guān)于其特AA注:注:Tcccccczcxcy21212112117524542121

15、217524544168212416ccccccx2121212121212000)2( 4000544167541624821254416cccccccccccc且通解的表達(dá)式為且通解的表達(dá)式為對(duì)它的增廣矩陣施行行初等變換:對(duì)它的增廣矩陣施行行初等變換:18代入代入 式式 得得, yxIAi)(由此可見(jiàn)由此可見(jiàn),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)這個(gè)非齊次方程組才有解。時(shí)這個(gè)非齊次方程組才有解。0221 cc3232xxAxTxycc121, 3/1,32221這時(shí)若取若取性方程組的一個(gè)解是性方程組的一個(gè)解是 ,且有,且有 ,即,即Tx010323)2(xxIA, 上述非齊次上述非齊次線線01512401

16、4321xxxP因此,取因此,取21221APP19(1)自備正規(guī)的自備正規(guī)的2B鉛筆、橡皮擦和黑色鉛筆、橡皮擦和黑色中性筆中性筆/鋼筆鋼筆(2)在學(xué)號(hào)信息框內(nèi)正確填涂學(xué)號(hào),注在學(xué)號(hào)信息框內(nèi)正確填涂學(xué)號(hào),注意學(xué)號(hào)起始的類(lèi)別。意學(xué)號(hào)起始的類(lèi)別。(3)在姓名,院系等信息的指示欄內(nèi)正在姓名,院系等信息的指示欄內(nèi)正確填寫(xiě)考生的姓名,院系等信息確填寫(xiě)考生的姓名,院系等信息(4)學(xué)號(hào)、判斷題填涂時(shí),要注意使用學(xué)號(hào)、判斷題填涂時(shí),要注意使用2B鉛筆填涂,且填涂區(qū)域要豐滿、不鉛筆填涂,且填涂區(qū)域要豐滿、不要使用劃線、打鉤、打叉等錯(cuò)誤填涂要使用劃線、打鉤、打叉等錯(cuò)誤填涂方式,修改客觀題答題時(shí),要注意使方式,修改

17、客觀題答題時(shí),要注意使用橡皮擦先擦除干凈、后再填涂。用橡皮擦先擦除干凈、后再填涂。 應(yīng)用高等工程數(shù)學(xué)應(yīng)用高等工程數(shù)學(xué)考試計(jì)算機(jī)閱卷考生須知(修訂版)考試計(jì)算機(jī)閱卷考生須知(修訂版)(5)主觀題使用黑色中性筆主觀題使用黑色中性筆/鋼筆,在標(biāo)鋼筆,在標(biāo)注題號(hào)的正確答題區(qū)域答題,答題內(nèi)注題號(hào)的正確答題區(qū)域答題,答題內(nèi)容不要超出答題區(qū)域框,且不要使用容不要超出答題區(qū)域框,且不要使用附加紙進(jìn)行答題。附加紙進(jìn)行答題。(6)不要使用涂改液、涂改紙、透明膠不要使用涂改液、涂改紙、透明膠粘貼等方式修改主、客觀題的答題粘貼等方式修改主、客觀題的答題(7)填涂不規(guī)范,解答內(nèi)容不在題目相填涂不規(guī)范,解答內(nèi)容不在題目相

18、應(yīng)標(biāo)號(hào)的正確區(qū)域內(nèi),都屬無(wú)效內(nèi)容應(yīng)標(biāo)號(hào)的正確區(qū)域內(nèi),都屬無(wú)效內(nèi)容,后果比較嚴(yán)重,請(qǐng)注意責(zé)任自負(fù)。,后果比較嚴(yán)重,請(qǐng)注意責(zé)任自負(fù)。(8)不要涂改答題卡標(biāo)識(shí),禁止答題區(qū)不要涂改答題卡標(biāo)識(shí),禁止答題區(qū)域請(qǐng)勿作答域請(qǐng)勿作答考試時(shí)間:考試時(shí)間:2015年年12月月11日晚上日晚上7點(diǎn)到點(diǎn)到9點(diǎn)半,點(diǎn)半,答疑時(shí)間:答疑時(shí)間:12月月10日日 上午上午9:00-11:30,下午,下午2:30-5:00 12月月11日日 上午上午9:00-11:30,下午,下午2:30-4:00答疑地點(diǎn):科技南樓答疑地點(diǎn):科技南樓 813數(shù)值分析復(fù)習(xí)一一 誤差分析1 舍入誤差、截?cái)嗾`差、有效數(shù)字;2 數(shù)值計(jì)算的一些原則;如:

19、P10-例1.3、例1.6。3 數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。21二.插值法1.插值的概念:(1)問(wèn)題的引出;(2)唯一性:待定系數(shù)法;反證法。2.構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法:(1)待定系數(shù)法;(2)基函數(shù)法;(3)承襲性思想。223 插值的分類(lèi):(1)不含導(dǎo)數(shù)插值條件(Lagrange型插值); Lagrange插值公式、Newton插值公式。(2)含導(dǎo)數(shù)插值條件(Hermite插值);構(gòu)造法、 帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值法。 (3)余項(xiàng)表達(dá)式、截?cái)嗾`差估計(jì)、總的誤差界。(4) 差商的定義、基本性質(zhì)。(5)例.23三、函數(shù)逼近241 最小二乘擬合問(wèn)題:給出數(shù)據(jù)能求出擬合曲線;教P69.例3.4,3.5,3.7

20、四、數(shù)值積分1、基本概念: (1) 代數(shù)精度; (2)插值型求積公式; (3)復(fù)化求積公式; (4)Gauss型求積公式; (5)收斂階(復(fù)化); (6)計(jì)算的穩(wěn)定性。252、構(gòu)造求積公式的方法: (1)待定系數(shù)(利用代精); (2)插值型求積公式插值型求積公式; (3)Newton-Cotes公式; (節(jié)點(diǎn)等距),幾種低階, 及余項(xiàng)。梯梯形形simpsonbadxxklkA)(;.求積節(jié)點(diǎn)給定求積節(jié)點(diǎn)給定定定求積節(jié)點(diǎn)、系數(shù)均未給求積節(jié)點(diǎn)、系數(shù)均未給nkjjjxkxjxxxkl1)(教P91,例4.2P101例:例:P96P96例例4.44.4263、提高求積公式精度的方法: (1)增加求積節(jié)

21、點(diǎn)及采用Gauss型求積公式; (2)構(gòu)造復(fù)化求積公式; 誤差的 (3)線性外推公式、Romberg算法。先驗(yàn)誤差事后誤差估計(jì)例:P99.例4.5P101274、Gauss型求積公式: (1)Gauss點(diǎn)的概念及其有關(guān)定理; (2)利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造Gauss求積公式; (3)利用Gauss型求積公式構(gòu)造奇異積分的數(shù)值方法。例:P109 例4.11例:P111例4.12系數(shù)特點(diǎn)穩(wěn)定、收斂例:P113 例4.14、例。28五、常微分方程數(shù)值解將方程離散化的三種方法。掌握Euler法和改進(jìn)的Euler法、隱式Euler法和梯形法的基本公式和構(gòu)造。領(lǐng)會(huì)R-K方法的基本思想,會(huì)進(jìn)行二階R-K方法的推導(dǎo)。會(huì)求差分格式的局部截?cái)嗾`差及方法的階。能利用單步法收斂定理判斷方法的收斂性。能給出一般單步法的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域(區(qū)間

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