第2章單自由度振動1

1、 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESDynamics of StructuresProf. Lanhe WuShijiazhuang Tiedao Univ. STDU DYNAMICS OF STRUCTURESv第二章 單自由度體系的振動本章重點：v建立結構振動微分方程的幾種方法v無阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動特性及規(guī)律v有阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動特性及規(guī)律v等效剛度和等效質(zhì)量的概念v單自由度系統(tǒng)受迫振動的特性本章難點：v建立結構振動微分方程的幾種方法v求解固有頻率的能量法 v結構動位移和動內(nèi)力的計算 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2.1運動方程的建

2、立一、利用DAlembert原理1.剛度法( )F t)(ty ( )( )my tF t( )( )IF tmy t ( )( )0F tmy t ( )F t)(tym 11( )0myk yF t3113lEIk33( )EImyyF tly(t)mF(t)11k111k( )my t 11( )k y t( )F t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES剛度法步驟：1.在質(zhì)量上沿位移正向加慣性力；2.求系統(tǒng)發(fā)生位移y時的恢復力；3.令慣性力、恢復力和體系外力之和為零。2.柔度法mF(t)y(t)將系統(tǒng)的位移y看作是由慣性力和系統(tǒng)外力共同產(chǎn)生的。實質(zhì)是彈性元件的協(xié)調(diào)方程

3、。( )IF tmy F(t)y(t)1111( )( )( )( )( )Iy tF tF tmy tF t 3113lEI STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二、Lagrange方程mF(t)y(t)11k212Tmy21112Uk y22111122LTUmyk y代入Lagrange方程d()( )diiiLLF ttqq同樣可得11( )myk yF t三、Hamilton原理212122110()d11( )d d22tDFttytHTUWWtmyk yF tyt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0H21212122110221101111

4、( )d d2211( )d d22( )dtyttytttHmyk yF tytmyk yF tytmy yk y yF tyt 2222211111ddd()dtttttttttttmy y tmyymy yy mymy y 2111( )dttHmyk yF ty t11( )0myk yF t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例.列出運動微分方程)(tym 311/24lEIkEIl( )F tEIl1EI)(ty( )F t11k13/12lEI11k3/12lEI11( )( )( )0my tk y tF t324( )( )( )EImy ty tF tl

5、解.用剛度法例 建立圖示體系的運動方程 0AMEI2mllly(t)2y(t)3y(t)(2tym yk2)(3tym 033222lymlyklym 0)(4)(11tkytym STDU DYNAMICS OF STRUCTURESEIl/2( )F tEI1EIl/2)(ty( )F t)(tym ( )F t)(tym )(ty)(tR0)(tR311/24lEIk例.列出運動微分方程解.仍用剛度法11( )( )/2R tmyk yF t所以有11( )/20myk yF t此時干擾力與慣性力不在同一直線上,不能直接列出動平衡方程.可采用附加鏈桿并令其反力為零的辦法其中實際上是把荷載

6、等效到了質(zhì)體上 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例、列運動微分方程EIl3231133( )( )( )2EImy ty tF tl解.EIl( )F tEIl)(ty)(ty)(tym ( )F t11=1l用柔度法11( )( )ymy tF t整理得 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESEIl32311332( )( )( )316lly tmy tF tEIEI)(ty)(ty)(tym ( )F t11=1lEIl( )F tEIl/2l/212131216lEIl/4例、列運動微分方程解.用柔度法1112( )( )ymy tF t代入得整理

7、333( )232EImyyF tl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES31148lEI解:用柔度法111( )( )( )2gym y ty tF t整理得gyEI( )F tl/2l/2y例、設簡支梁支座有豎向位移 ,列運動微分方程( )gyt質(zhì)點處除有剛體位移 之外,還會12gy產(chǎn)生變形位移設變形位移為y用剛度法111( )( )( )02gm y ty tk yF t111( )( )( )2gmy tk yF tmy t STDU DYNAMICS OF STRUCTURESl1EIlEI)(tP例 建立圖示體系的運動方程)(t)(tlm )(tlm )(tP)(

8、4tiAB 0BM043221)(illlmltP ltPilm)(4313 )(tP)(t J)(tlm )(tP)(4ti J 0BM04)(iJltP 231llmJ用剛度法思考：請你用柔度法建立該結構動力學方程。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.3.5 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.3.7 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.3.8 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESmgmx ()k x以質(zhì)量塊的靜力平衡位置為坐標原點建立坐標系, 為振動時的位移參量, 為彈簧的靜變形。x重力的影

9、響所有的無阻尼單自由度系統(tǒng)均可以簡化為下圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES考慮質(zhì)量塊的平衡，利用動靜法或Newton第二定律有于是，系統(tǒng)的動力平衡方程為可以看到：如果以靜力平衡位置為坐標原點,所建立的動力平衡方程與重力沒有任何關系。系統(tǒng)的位移實際上只是有一個平移而已。mgmx ()k x STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2.2無阻尼系統(tǒng)的自由振動靜平衡位置靜平衡位置m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻受到外界的激勵。研究單自由度體系的自由振動重要性在于：1.它代表了許多實際工程問題，如

10、水塔、單層廠房等。2.它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基本概念。自由振動反映了體系的固有動力特性。要解決的問題包括：求解運動方程、計算自振頻率、周期 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES一.運動方程及其解系統(tǒng)的動力平衡方程為引入?yún)?shù)上述微分方程可以寫成如下的標準形式其通解為0/k m1020cossinxCtCt其中， 和 為待定常數(shù)。設在初始時刻，質(zhì)點的初始位移和速度分別為1C2C000:(0),(0)txxxx將初始條件代入系統(tǒng)位移和速度表達式,可以確定有關系數(shù) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES于是方程滿足上面初始條件的解為其中10Cx020

11、xC在得到位移之后,便可以輕松得到系統(tǒng)的速度和加速度等其它物理量,此處略去.振幅初相位可以看到,系統(tǒng)的運動規(guī)律為簡諧振動.其位移時程曲線為 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二.周期和頻率由式0( )sin()y tAt及上面的曲線可見:位移方程是一個周期函數(shù)。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES工程中常使用工程頻率 ，它與固有周期 和固有頻率 的關系為fT00122kfm012mTfk0km周期為002T其中圓頻率(角頻率)頻率和周期的討論:1.只與結構的質(zhì)量與剛度有關，與外界干擾無關；2.與m的平方根成正比，與k成反比；3.是結構動力特性的重要數(shù)量標

12、志。 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES1111111stkggmmW三.自振頻率和周期的計算(1)利用計算公式(2)利用機械能守恒常數(shù))()(tUtT)(cos21)(21)(2222tmAtymtT)(sin21)(21)(2211211tAktyktUmaxmaxUT便可求得11km利用能量法可以求出復雜系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度.即選定廣義坐標之后寫出系統(tǒng)的動能和勢能,整理之后必然可以寫為21( )( )2eT tm y t2111( )( )2eU tk y t其中 和 即為系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。em11ek STDU DYNAMICS OF STRUCTURE

13、S等效質(zhì)量等效剛度11/eekm有時也可以直接利用這個定義求出等效質(zhì)量和等效剛度再利用公式求固有頻率(3)利用振動規(guī)律)sin()(tAty)sin()(2tAty )sin()()(2tmAtymtI 位移與慣性力同頻同步211mAAk幅值方程mk112 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例.求圖示體系的自振頻率和周期.3117121mlEIm311112117()2322212lll lll l lllEIEI EImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解: STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例.求圖示體系的自振頻率.3332231ml

14、EIEIlmEIl31132=1解:23lEIEIllm/2EIEIll例.質(zhì)點重W,求體系的頻率. .3113lEIkk解:EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.4.5 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.4.6 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 10.4.7 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESIIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例.計算圖示剛架的頻率。 312hEI312hEI由截面平衡324hEIk 324mhEI

15、mk例.求圖示體系的自振頻率.222222max29)2(21)(21)2(21mllmlmlmT解:mk95lmEImlllkk)(t1.能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT STDU DYNAMICS OF STRUCTURES222221119(2)()(2)2222Tmlm lmlml2222115()(2)222Uk lklkl也可以求等效質(zhì)量和等效剛度29emml25eKkl59eeKkmm求等效質(zhì)量和等效剛度時,還可以利用定義1A2mlml2mlem令角加速度等于1,各質(zhì)點會產(chǎn)生如圖所示的慣性力,由平衡條件得222(2 )(2 )0emlmlm

16、lm29emml STDU DYNAMICS OF STRUCTURES令角位移等于1,各彈簧會產(chǎn)生如圖所示的彈性力,由平衡條件得22(2 )0eklklK25eKkl1AkleK2kl2.列幅值方程ml22ml22ml2lklk2A 0AM0222222222lklllmlmllkllml059222klmlmk95 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESlkml例題：圖示一質(zhì)量均勻分布、長度為 、彈性系數(shù)為 的彈簧帶有質(zhì)量為 的質(zhì)點，彈簧材料的線密度為 ，試求該系統(tǒng)自由振動的基頻，并計算彈簧的等效質(zhì)量。整個系統(tǒng)的總動能為12123mTmx1m 為彈簧的總質(zhì)量解：假定彈簧的變

17、形與離固定點的距離成正比 設彈簧端點處的位移為 x則振動時 點處的位移為 /x l得到彈簧的總動能為2121011d223llmTxxlld STDU DYNAMICS OF STRUCTURES212Ukx彈簧的勢能與彈簧的質(zhì)量無關，仍為導出考慮彈簧質(zhì)量的系統(tǒng)固有頻率為 0113kmm1例、求圖示結構的自振圓頻率。解法1：求剛度klhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1h解法2：求柔度EIlhhlhEI33221221131mlhEIm1/hBABCMkhM STDU DYNAMICS OF STRUCTURES對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。如果讓振動體系

18、沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點都不能發(fā)生轉動（如橫梁剛度為剛架)計算剛度系數(shù)方便.2.3有阻尼系統(tǒng)的自由振動一.阻尼與阻尼力 阻尼:產(chǎn)生阻尼的原因：結構與支承之間的外摩擦；材料之間的內(nèi)摩擦；周圍介質(zhì)的阻力.c-阻尼系數(shù) )()(tyctR粘滯阻尼理論 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES各項除以 ，寫成標準形式2020 xxx0km2cm其中0其中 為無阻尼系統(tǒng)的固有頻率二.計阻尼自由振動 振幅衰減系數(shù)02ckm令稱為阻尼比動力學方程可寫為標準形式 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES代入動力學方程，導出本征方程為 220020 21,20(1) (1

19、) 欠阻尼狀態(tài) 12d01方程的通解為01d2d(cossin)txeCtCt阻尼振動的固有頻率其中， 和 為待定常數(shù) ，由初始條件確定1C2C102000,()/dCx Cxx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0dsin()txAet0020dxxAxd000arctanxxx或其中則有0d22d02211TT阻尼振動的周期其中， 為無阻尼振動的周期，顯然有0T00000cossintdddxxxextt2d001 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES由于阻尼作用引起的能量消耗，系統(tǒng)轉變?yōu)檎穹粩噙f減的衰減振動。系統(tǒng)響應的位移時程曲線見右圖相鄰兩個振幅

20、的比值為常數(shù)，稱作縮減系數(shù)，記為 ty低阻尼低阻尼y- t曲線曲線0tAedd1()2tTt TAAeeAAed02d22ln21T 實際計算時常利用對數(shù)減縮代替減縮系數(shù)或阻尼比 STDU DYNAMICS OF STRUCTURESd1121231jjj TjjAAAAeAAAA111lnjAjA 過若干個周期后的振幅減縮系數(shù)為 測得若干周期后的振幅,然后用上式可求得系數(shù),并進而求得阻尼比和阻尼系數(shù)EI=m例、圖示一單層建筑物的計算簡圖。屋蓋系統(tǒng)和柱子的質(zhì)量均集中在橫梁處共計為m，加一水平力P=9.8kN，測得側移A0=0.5cm，然后突然卸載使結構發(fā)生水平自由振動。在測得周期T=1.5s

21、及一個周期后的側移A1=0.4cm。求結構的阻尼比和阻尼系數(shù)c。9.8kN STDU DYNAMICS OF STRUCTURES解：1110.5lnln0.0335220.4kkyymNAPk/10196005. 0108 . 94301189. 45 . 122sTk2mc 2m22cmsNmsN/2 .332/33220189. 4101960355. 024例: 對圖示體系作自由振動試驗.用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開始作自由振動.經(jīng)4周期,用時2秒,振幅降為1cm.kN4 .16求:阻尼比,剛度系數(shù),無阻尼周期,重量,阻尼系數(shù),若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比為多少 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES3.無阻尼周期2 / 40.5(s)dT 210.4998(s)dTT4.重量)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW5.阻尼系數(shù))s/mN(36012mc6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比為多少)s/1 (89.1368005190102 .8252)