第3章圖像變換1

1、第3章 圖像變換3.1 傅里葉變換3.2 離散余弦變換3.3 小波變換及其應(yīng)用 引言引言 時域與頻域時域：我們隊音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化時域：我們隊音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。的震動。頻域：對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的頻域：對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是樂譜。理解是樂譜。在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，而在頻域，只有那一個永恒的音符。的擺動，而在頻域，只有那一個永恒的音符。 引言引言 時域與頻域你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已

2、譜好的樂章。在上帝懷中一份早已譜好的樂章。我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。 引言引言 時域與頻域圖像變換基礎(chǔ)圖像變換基礎(chǔ)1.什么是圖像變換？ 為了有效地和快速的對圖像進行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需的效果。這些轉(zhuǎn)換方法稱為圖像變換技術(shù)。第3章 圖像變換圖像變換基礎(chǔ)圖像變換基礎(chǔ)2.為什么要學(xué)習(xí)圖像變換？ 從某種意義來說，使用不同的域來描述圖像，就

3、好比使用不同的語言來表達觀點。能講兩種語言的人常常會發(fā)現(xiàn)，在表達某些觀點時，一種語言會比另一種語言優(yōu)越。 類似的，圖像處理的分析者在解決某一問題時會在不同的空間來回切換。掌握圖像變換技術(shù)，就可以在不同的空間下思考問題，并利用不同空間的優(yōu)越性解決問題，這種能力是非常有用的。 傅里葉變換也被喻為描述圖像的第二種語言。第3章 圖像變換3.1 傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換3.1.2 二維離散傅里葉變換3.1.3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3.1.4 傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用傅里葉變換 時域與頻域的橋梁1.時域分析的局限性時域分析的局限性3.1 傅里葉變換傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換一

4、維傅里葉變換任何函數(shù)信號，都可以看作是不同振幅，不同任何函數(shù)信號，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。相位正弦波的疊加。3.1 傅里葉變換傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換2.一維傅里葉變換功能傅里葉變換是一種數(shù)學(xué)變換（正交變換），可以把一維信號（或函數(shù)）分解成不同幅度的具有不同頻率的正弦和余弦信號（或函數(shù)）。輸入信號 = 傅里葉（正）變換 = 頻率域信號函數(shù) 函數(shù)頻率域信號 = 傅里葉反變換 = 輸出信號函數(shù) 函數(shù)( )F f( )f t( )F f( )f t3.頻域分析3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換4.一維（連續(xù)）

5、傅里葉變換表達式 1( )( ) d,( )( )( )exp j2d( )( )( )expj2dj1,f xf xxF uFf xF uf xuxxFF uf xF uuxuu 條件：如果實變量函數(shù)是連續(xù)可積的，即且是可積的，則傅里葉變換對一定存在。一維傅里葉變換對表示為：頻率變量3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換4.一維（連續(xù)）傅里葉變換表達式j(luò) ( )122222( )( )( )( )j ( )( )( ) e( )( )( )( )( )arctan( )( )( )uf xF uF uR uI uF uF uF uR uIuI uuR uR uIu滿足只有有限個間斷點、有限

6、個極值和絕對可積的條件，并且也是可積的復(fù)數(shù)形式指數(shù)形式幅值函數(shù)（傅里葉譜）相角能量譜或能量譜：3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換-j2 j2 0j2j20jjjjjj()(0)()0()()()ededee1j2 j2eeej21sin()esin(ee)2sinuxXuxXuxuXuXuXuXuXxxfxAxXfxxXF ufxxAxAAuuAuAuXxuj 門葉 變 換：數(shù)：該葉 譜例 1是 一函求 它 的 傅 里解 ：尤 拉 公 式傅 里是 一()c u數(shù)函3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換5.一維（連續(xù)）傅里葉變換例題AX( )f x03.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變

7、換5.一維（連續(xù)）傅里葉變換例題3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換Ask：如何獲得時域非周期有限長離散信號的：如何獲得時域非周期有限長離散信號的離散頻譜？離散頻譜？Answer：把非周期有限長離散信號：把非周期有限長離散信號變成周期離散信號！變成周期離散信號！3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換T一維離散傅里葉變換21j021j0( )1( )( )e0,1,1( )( )e0,1,1mnNNnmnNNmx nX mx nmNNx nX mnN則如果為一數(shù)字序列，其離散傅里葉正反變換：其中其中3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換 DFTDF

8、T小結(jié)：小結(jié)：3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換 頻域分析應(yīng)用3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換T頻域分析的其他應(yīng)用利用傅里葉變換的特性，將時間信號正變換到頻率域后進行處理（例如低通、高通或帶通），然后再反變換成時間信號，即可完成對信號的濾波。低通濾波：在頻率域中抑制高頻信號高通濾波：在頻率域中抑制低頻信號3.1.1 一維傅里葉變換一維傅里葉變換 我們之前所討論的、大家所熟悉的圖像空間為我們之前所討論的、大家所熟悉的圖像空間為“空域空域”空空間。經(jīng)過二維傅里葉變換，則可獲得圖像的間。經(jīng)過二維傅里葉變換，則可獲得圖像的“頻域頻域”空間?？臻g。 空域空域 圖像圖像 頻域頻域 頻譜圖頻譜

9、圖3.1.2 二維離散傅里葉變換1. 二維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換( , )f x y221/2222( , )( , )exp j2()d d( , )( , )expj2()d d( , )arctan ( , )/( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )F u vf x yuxvyx yf x yF u vuxvyu vu vI u vR u vF u vIu vR u vE u vF u vIu vR u v 傅里葉變換的相角、傅里葉譜或功率譜可由下式給出：3.1.2 二維離散傅里葉變換000000000000-j-j000000,0, 02( ,

10、)0,( ,)( ,) exp-j2()d dexpj2()d dexpj2dexpj2dsin()sin()ee( ,)xyxyuxvyAxxyyfx yF u vfx yuxvyx yAuxvyx yAuxxvyyuxvyAx yuxvyF u v 例 ：其 它傅 里 葉 譜 ：000000sin()sin()uxvyAx yuxvy3.1.2 二維離散傅里葉變換1.二維連續(xù)函數(shù) f(x,y) 的傅里葉變換0, 0,00 ,0),(yYyxXxYyXxAyxf3.1.2 二維離散傅里葉變換其傅立葉譜為：其傅立葉譜為：tttSavYSauXSaAXYvYvYuXuXAXYvuF)sin()(

11、)()(|)sin(|)sin(| ),(|其中頻譜是一種圖像。亮的部分表示幅值比較頻譜是一種圖像。亮的部分表示幅值比較大。圖像的中心位置的頻域低，向四周擴大。圖像的中心位置的頻域低，向四周擴散的方向頻率逐漸增高。散的方向頻率逐漸增高。1.二維連續(xù)函數(shù) f(x,y) 的傅里葉變換11-j2(/)0011j2(/)001( , )( , )e( , )( , )eMNux Mvy NxyMNux Mvy NuvF u vf x yMNf x yF u v變換在一個周期內(nèi)進行。M，N表示圖像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的陣列。離散信號頻譜、相譜、幅譜分別表示為：j ( , )221/2(

12、 , )( , ) e( , )j ( , )( , )( , )arctan( , )( , )( , )( , )u vF u vF u vR u vI u vI u vu vR u vF u vRu vIu v2.二維離散函數(shù) f(x,y) 的傅里葉變換3.1.2 二維離散傅里葉變換 在圖像處理時，一般選取圖像塊為在圖像處理時，一般選取圖像塊為 的方陣的方陣，即取，即取 這時二維離散傅立葉變換和反變換式：這時二維離散傅立葉變換和反變換式：NN MN 11001( , )( , )exp(2 ()NNmnmunvF u vf m njNNN 11001( , )( , )exp( 2 ()

13、NNmnmunvf m nF u vjNNN , ,0,1,1u v m nN 3.1.2 二維離散傅里葉變換2.二維離散函數(shù) f(x,y) 的傅里葉變換3.1.2 二維離散傅里葉變換二維離散函數(shù)=數(shù)字圖像二維離散函數(shù)傅里葉變換=數(shù)字圖像頻譜圖2.數(shù)字圖像頻譜圖數(shù)字圖像頻譜圖圖像的頻譜表示為和原圖像等大小的一幅二維圖像。圖像的頻譜表示為和原圖像等大小的一幅二維圖像。NNNNYXuv 圖像頻譜圖的橫縱坐標(biāo)都是？ 什么是圖像的頻率？3.1.2 二維離散傅里葉變換n 圖像的頻率是表征圖像中圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度灰度在平面空間上

14、的梯度。2.數(shù)字圖像頻譜圖數(shù)字圖像頻譜圖那幅圖含有的高頻分量多？n思考：思考：在圖像中灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值在圖像中灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值？；而對于在圖像中灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值；而對于在圖像中灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值？。3.1.2 二維離散傅里葉變換2.數(shù)字圖像頻譜圖數(shù)字圖像頻譜圖 圖像頻譜圖的幅值是？圖像頻譜圖的幅值是？3.1.2 二維離散傅里葉變換 在每一個位置在每一個位置(u, v)上都是上都是F(u, v)的模。以的模。以灰度的明暗代表模的大小?；叶鹊拿靼荡砟５拇笮?。NNNNYXuv2.數(shù)字圖像頻譜圖數(shù)字圖像頻譜圖3.1.2 二維離散傅里葉變換

15、2.數(shù)字圖像頻譜圖數(shù)字圖像頻譜圖(a)原圖像原圖像(b)移位前的頻譜移位前的頻譜(c)移位后的頻譜移位后的頻譜n 對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，頻譜圖上的各對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系。的關(guān)系。n傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上每一點與鄰域點差異的強弱，梯度大則該點的亮度強，否上每一點與鄰域點差異的強弱，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。則該點亮度弱。 n 頻域圖像的每一點都來自于整個原圖像頻域圖像的每一點都來自于整個原圖像3.1

16、.2 二維離散傅里葉變換3.圖像頻譜圖的物理意義圖像頻譜圖的物理意義T如果頻譜圖中暗的點數(shù)多，那么實際圖像是比較柔如果頻譜圖中暗的點數(shù)多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖），反之，如果頻譜圖中亮的點數(shù)多，那么實際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。大的。 3.圖像頻譜圖的物理意義圖像頻譜圖的物理意義3.1.2 二維離散傅里葉變換 1、頻率圖像往往、頻率圖像往往以圖像的中心為坐標(biāo)原點以圖像的中心為坐標(biāo)原點，左上，左上-

17、右下、右上右下、右上-左下對稱。左下對稱。 2、圖像、圖像中心中心為原始圖像的平均亮度，為原始圖像的平均亮度，頻率為頻率為0.從從圖像中心向圖像中心向外，頻率增高外，頻率增高。 高亮度表明頻率特征高亮度表明頻率特征? 3、頻率域圖像中心明顯的頻率變化方向與原圖像中的物體方、頻率域圖像中心明顯的頻率變化方向與原圖像中的物體方向垂直。也就是說如果原始圖像中有多種水平分布的地物，那么向垂直。也就是說如果原始圖像中有多種水平分布的地物，那么頻率域圖像中在垂直方向的頻率變化比較明顯。如果原始圖像中頻率域圖像中在垂直方向的頻率變化比較明顯。如果原始圖像中地物左下地物左下-右上分布，那么頻率域圖像中在左上右

18、上分布，那么頻率域圖像中在左上-右下方向頻率變化右下方向頻率變化比較明顯，反之亦然。比較明顯，反之亦然。4.如何看頻域圖像如何看頻域圖像3.1.2 二維離散傅里葉變換3.1.2 二維離散傅里葉變換水平條紋圖像水平條紋圖像水平條紋頻譜圖水平條紋頻譜圖 水平條紋圖像，水平條紋圖像， 只在垂直方向上有灰度跳變只在垂直方向上有灰度跳變 （即有（即有水平邊緣）水平邊緣） ， 所以它的頻譜圖中只看到了垂直分量，所以它的頻譜圖中只看到了垂直分量， 中中心點為低頻分量，心點為低頻分量， 離它越遠，離它越遠， 則頻率越高。則頻率越高。4.如何看頻域圖像如何看頻域圖像斜條紋圖像斜條紋圖像斜條紋頻譜圖斜條紋頻譜圖3.1.2 二維離散傅里葉變換4.如何看頻域圖像如何看頻域圖像3.1.2 二維離