第二章流體運動基本方程和基本規(guī)律

1、1.三大守恒定律的簡介2.跡線、流線、流管3.流體微團的運動分析4.速度位函數(shù)5.基本方程（一）：連續(xù)方程6.流函數(shù)7.旋渦運動8.基本方程（二）：動量方程9.基本方程（三）：能量方程（教材上沒有，屬必須掌握內容）10.三大基本方程的基本解法簡介自然科學中有三大守恒律：質量守恒、動量守恒和能量守恒。本章將利用這三大原理，推導出流體力學中的三個基本方程：然后粗略介紹這三個方程的解法。2.1 三大守恒定律的簡介三大守恒定律的簡介焦耳（焦耳（JamesJamesPrescortPrescortJoule,1818Joule,181818891889）英國杰出的物理學家。）英國杰出的物理學家。 184

2、71847年年4 4月月2828日英日英國物理學家焦耳將自己所發(fā)現(xiàn)的能量守恒定國物理學家焦耳將自己所發(fā)現(xiàn)的能量守恒定律第一次作了全面和充分的闡述律第一次作了全面和充分的闡述 。 JouleDescartesDescartes笛卡爾笛卡爾( (法國哲學家、數(shù)學家法國哲學家、數(shù)學家,1596-,1596-1690)1690)拉瓦錫（拉瓦錫（Antoine-Laurent Antoine-Laurent LavoisierLavoisier，1743174317941794），），法國化學家，法國化學家，1789 1789 年，拉瓦年，拉瓦錫在他的歷史名著錫在他的歷史名著化化學概論學概論中第一次用清

3、晰的中第一次用清晰的語言把質量守恒定律表達出語言把質量守恒定律表達出來，用實驗進行了驗證來，用實驗進行了驗證 。2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管空氣動力學中， 除了要求解以外，還需要繪制流場的流動圖畫(Flow Patterns)。它能幫助我們直觀形象地分析流體運動。為此，引入跡線圖和流線的概念。 跡線跡線(Path Line)：流體微團在流場中的運動軌跡。或者說，同一個流體微團，在不同時刻的空間坐標的連線。 流線流線(Stream Line)：流場中的一條曲線，線上各點的切向和該點的速度方向相同。如果流動是非定常的，由于速度矢量的大小和方向隨時間變化而變化，所以不同時刻的流線形式也不

4、相同。流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。 2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管xyz流線是空間曲線 , 用 表示。2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管ds( , , ) 0f x yz 如何求流線方程如何求流線方程點A處的速度 和 平行。因此，由矢量叉乘的定義得流線方程為：Vds0dsV 設 是流線上的一個微段。dsVAxyz2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管dsdxidyjdzk0dsV , , , , , , , , ,V x y z tu x y z t iv x y z t jw x y z t k在迪卡爾坐標系下，ijkdsVdxdydzuvw0vdzwdy0 wdx

5、udz0udyvdx笛卡爾坐標系下流線方程的微分形式：dsVAxyz2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管 , , , , , , ,dxdydzu x y z tv x y z tw x y z t上式亦可表達為，0vdzwdy0 wdxudz0udyvdx笛卡爾坐標系下流線方程的微分形式：2.2 跡線、流線、流管跡線、流線、流管在三維空間，在流場中在三維空間，在流場中取一條不為流線的封閉取一條不為流線的封閉曲線，經(jīng)過曲線上每一曲線，經(jīng)過曲線上每一點作流線，所有這些流點作流線，所有這些流線集合構成的管狀曲面線集合構成的管狀曲面被稱為流管，如圖。被稱為流管，如圖。由于流管由流線組成，因此流體

6、不能穿出或者穿入流管表面。由于流管由流線組成，因此流體不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬時，流場中的流管類似真實的固體管壁。在任意瞬時，流場中的流管類似真實的固體管壁。對定常流動，直接運用積分形式的連續(xù)方程，可以證明穿過流對定常流動，直接運用積分形式的連續(xù)方程，可以證明穿過流管截面的質量流量是不變的管截面的質量流量是不變的 。流管流管(Stream Tube)xyz 2.3 流體微團的運動分析流體微團的運動分析流場中的流體微團流場中的流體微團, ,當它沿著流線做當它沿著流線做平移運動平移運動的同時，還的同時，還可能有可能有旋轉旋轉、變形運動變形運動。微團旋轉和變形量取決于速度場，本節(jié)的目的就是

7、用速度微團旋轉和變形量取決于速度場，本節(jié)的目的就是用速度場量化分析微元的旋轉和變形運動。場量化分析微元的旋轉和變形運動。 2.3 流體微團的運動分析流體微團的運動分析yx考慮考慮 xy 平面內的二維流動。取流場中的一個微元體。假設在時刻平面內的二維流動。取流場中的一個微元體。假設在時刻 t t ，流體微元是矩形。一般情況下流場是不均勻的，即流場中的各點速度的流體微元是矩形。一般情況下流場是不均勻的，即流場中的各點速度的大小和方向都可能變化。因此該微團從大小和方向都可能變化。因此該微團從 t t 時刻的位置時刻的位置 ABCD ABCD 運動到運動到 t+t+D Dt 時刻的位置上，流體微團的體

8、積、形狀都發(fā)生了變化，而且也發(fā)生時刻的位置上，流體微團的體積、形狀都發(fā)生了變化，而且也發(fā)生了旋轉。整個運動是同時發(fā)生的，可以將這樣的一個復雜的一般運動分了旋轉。整個運動是同時發(fā)生的，可以將這樣的一個復雜的一般運動分解為幾個簡單的運動的合成如圖所示。解為幾個簡單的運動的合成如圖所示。 BADCtBADCt+D Dt流體微團在流體微團在 xy 平面的角速度定義平面的角速度定義為為AB 邊和邊和 AC 邊邊的的角速度的平均值，記作角速度的平均值，記作 ， 因此，因此，z定義定義 AB 邊和邊和 AC 邊的角速度分別為，邊的角速度分別為， 和和 2.3 流體微團的運動分析流體微團的運動分析2ddt1d

9、dt2vtx DDDD 1,uty D DD D 由，由，有，有，110lim,tdudttyD D D D DD220limtdvdttxD D D D DD121122zdddvdudtdtdxdy角速度角速度 2.3 流體微團的運動分析流體微團的運動分析上面的分析只考慮了在二維 xy 平面內的運動。對一般三維空間流體微團的角速度是指向某特定方向的矢量， 12xyzijkwvuwvuijkyzzxxy上式用速度場表達了流體微團的角速度，更準確地說，是用速度場的導數(shù)表示了流體微團的角速度。 2.3 流體微團的運動分析流體微團的運動分析2V 旋度：定義為旋轉角速度 的兩倍，記為 。1）如果 在

10、流動中處處成立，流動稱為有旋流動。這表明流體微團在流動過程中具有一定的旋轉角速度。0V0yuxv0 V2）如果 在流場中處處成立，流動稱為無旋流動。這表明流體微團沒有角速度，在空間作純粹的平移運動。3）二維無旋流動條件： 再回到前面再回到前面 xy 平面內的二維流平面內的二維流動時流體微團的運動分析。動時流體微團的運動分析。角變形率角變形率k kD1D2udy ty D D BAvdx tx D D CdydxA設設ABAB和和ACAC之間的夾角為之間的夾角為 k k 。當流當流體微團在流場中運動時，體微團在流場中運動時， k k 也會也會相應改變。相應改變。dydxAuvuudyy BCvv

11、dxx 在在t t 時刻，時刻， k k =90=90o o 。在。在t t+ +D Dt 時時刻刻，k k 也會變化了也會變化了 DkDk， 1k DD DDD D在粘性流動中，角變形量之半隨時間變化是一個非常重要在粘性流動中，角變形量之半隨時間變化是一個非常重要的量，稱為的量，稱為角變形率角變形率，用，用個個 g gz 來表示。來表示。 1k DD DDD D1k DD DDD D角變形：角變形：流體微團在流體微團在 xy 平面內的平面內的k k 的變化。規(guī)定當?shù)淖兓?。?guī)定當 k k 減減小時角變形為正。因此，小時角變形為正。因此，角變形=2vtx DDDD 1,uty D DD D 21

12、111222zdddvudtdtdtxygk 類似，在類似，在 yz 和和 zx 平面上流體微團的角變形率為，平面上流體微團的角變形率為，12xwvyzg 12yuwzxg 12zvuxyg角速度角速度（以及旋度）和（以及旋度）和角變形率角變形率只取決于流場速度的導數(shù)，只取決于流場速度的導數(shù)，把速度的導數(shù)寫成如下矩陣形式，把速度的導數(shù)寫成如下矩陣形式，uuuxyzvvvxyzwwwxyz 對于對于無旋流動無旋流動來說，存在一個來說，存在一個標量函數(shù)標量函數(shù) ，速度矢量，速度矢量 恰好等于其恰好等于其梯度梯度。即一個標量函數(shù)的梯度的旋度等于即一個標量函數(shù)的梯度的旋度等于0 0。從上面的式子中可以

13、。從上面的式子中可以得出，得出， , , ,0 x y z t , , , , ,V x y z tx y z t 如果如果 在流場中在流場中處處成立處處成立，流動稱為，流動稱為無旋流動無旋流動。0 V第一章的作業(yè)中曾經(jīng)做過下式的證明，第一章的作業(yè)中曾經(jīng)做過下式的證明，V 就稱為就稱為或速度勢函數(shù)或速度勢函數(shù)(Velocity Potential)。簡稱。簡稱。對于對于無旋流動無旋流動來說，存在一個來說，存在一個標量函數(shù)標量函數(shù) ，速度矢量，速度矢量 恰好等于其恰好等于其梯度梯度。uivjwkijkxyzuxvywz V , , , , ,V x y z tx y z t zVrVrVzr,1

14、,在球坐標系中速度位的表達式為，在球坐標系中速度位的表達式為，在柱坐標系中速度位的表達式為，在柱坐標系中速度位的表達式為，11,sinrVVVrrr 2.5.4 連續(xù)方程的物質導數(shù)形式連續(xù)方程的物質導數(shù)形式 2.5.1 連續(xù)方程的物理意義連續(xù)方程的物理意義 2.5.2 連續(xù)方程的積分形式連續(xù)方程的積分形式 2.5.3 連續(xù)方程的微分形式連續(xù)方程的微分形式 連續(xù)方程描述的是流體力學中的質量守恒規(guī)律：連續(xù)方程描述的是流體力學中的質量守恒規(guī)律：ndmV dAdt 和前面推導和前面推導 的物理意義不同，那里采用的是運動的控的物理意義不同，那里采用的是運動的控制體，這里我們采用制體，這里我們采用，即控制

15、體固，即控制體固定在空間某個位置，流體從中穿過。定在空間某個位置，流體從中穿過。 在第一章中，我們討論了幾種用來在第一章中，我們討論了幾種用來研究流體運動的模型研究流體運動的模型，現(xiàn)，現(xiàn)在對這些流體模型運用基本的物理原理來推導流體運動的基在對這些流體模型運用基本的物理原理來推導流體運動的基本方程。本方程。VS固定控制體V顯然，和前面的推導不同，控制體顯然，和前面的推導不同，控制體的體積和控制面都不隨時間變化，的體積和控制面都不隨時間變化，但是由于流場的非定常特性，控制但是由于流場的非定常特性，控制體內所包含的質量是隨時間變化的體內所包含的質量是隨時間變化的。 此方程是對在此方程是對在空間位置固

16、定的有限控制體空間位置固定的有限控制體運用運用質量守恒定律質量守恒定律得到得到的結果，稱為的結果，稱為。它是流體力學中最基本的方程之一。它是流體力學中最基本的方程之一。上式就是連續(xù)方程的上式就是連續(xù)方程的積分形式積分形式。然而，有時候我們需要關心流場的細節(jié)，就必須對所取定點運然而，有時候我們需要關心流場的細節(jié)，就必須對所取定點運用連續(xù)方程進行分析。在這種情況下，積分形式的連續(xù)方程并用連續(xù)方程進行分析。在這種情況下，積分形式的連續(xù)方程并不適用。不適用。0ggdtSdVS 由于推導時所用的由于推導時所用的控制體的空間位置固定控制體的空間位置固定，所以積分的極限，所以積分的極限形式也是固定的。于是形

17、式也是固定的。于是對時間求偏導數(shù)可以放到體積分符號對時間求偏導數(shù)可以放到體積分符號里面里面。 0ggdtSdVSggdVdSVnSdVSS0ggdtV根據(jù)矢量場面積分和體積分的關系根據(jù)矢量場面積分和體積分的關系( (奧高公式奧高公式) )，有，有因此，因此，0Vt分析積分形式中的被積函數(shù)，如果被積函數(shù)的值是有限的，那分析積分形式中的被積函數(shù)，如果被積函數(shù)的值是有限的，那么此方程要求它在控制體的一部分區(qū)域的積分和剩余的區(qū)域的么此方程要求它在控制體的一部分區(qū)域的積分和剩余的區(qū)域的積分大小相等，符號相反，這樣在整個控制體內的積分才為零。積分大小相等，符號相反，這樣在整個控制體內的積分才為零。然而有限

18、控制體是任意的，因此然而有限控制體是任意的，因此對任意控制體對任意控制體，都要求要此方，都要求要此方程的積分為零，程的積分為零，唯一方法唯一方法是被積函數(shù)在控制體內所有點值都為是被積函數(shù)在控制體內所有點值都為零。因此零。因此 上式就是上式就是連續(xù)方程的微分形式連續(xù)方程的微分形式。該方程建立了。該方程建立了流場中某點流場中某點的流的流動變量之間的關系，與積分形式的連續(xù)方程相反，后者反應的動變量之間的關系，與積分形式的連續(xù)方程相反，后者反應的是流場中一個是流場中一個有限空間有限空間的流動變量之間的關系。的流動變量之間的關系。 VVV 0 Vt第一章我們學習了第一章我們學習了物質導數(shù)物質導數(shù)，下面我

19、們把連續(xù)方程表示成物，下面我們把連續(xù)方程表示成物質導數(shù)的形式。質導數(shù)的形式。 VtDtD考慮微分形式給出的連續(xù)方程考慮微分形式給出的連續(xù)方程 上式即是用上式即是用物質導數(shù)表現(xiàn)的連續(xù)方程物質導數(shù)表現(xiàn)的連續(xù)方程的形式。的形式。0VDtD0VVt 應用上述的矢量記號，上式變?yōu)閼蒙鲜龅氖噶坑浱枺鲜阶優(yōu)?此方程中前兩項的和就是此方程中前兩項的和就是密度的物質導數(shù)密度的物質導數(shù) 。因此有，。因此有， 0 Vt前面我們已經(jīng)指出，流體的運動可以分為前面我們已經(jīng)指出，流體的運動可以分為無旋運動無旋運動和和有旋有旋運動運動兩種，無旋運動是流場中微團的旋轉角速度等于兩種，無旋運動是流場中微團的旋轉角速度等于 0

20、 的運動，而有旋運動則是流場中微團的旋轉角速度的運動，而有旋運動則是流場中微團的旋轉角速度 0的的運動。運動。有旋運動又稱作有旋運動又稱作旋渦運動旋渦運動。旋渦運動是自然界、日常生活中旋渦運動是自然界、日常生活中以及工程實際中常碰到的現(xiàn)象。例如以及工程實際中常碰到的現(xiàn)象。例如龍卷風龍卷風是一種強大的旋是一種強大的旋渦運動；在船尾的后面，河床的拐彎處以及水管的突然擴大渦運動；在船尾的后面，河床的拐彎處以及水管的突然擴大處等都會產(chǎn)生旋渦；飛機在飛行同時也會產(chǎn)生旋渦?？傊幍榷紩a(chǎn)生旋渦；飛機在飛行同時也會產(chǎn)生旋渦。總之旋渦運動是實際存在的一種重要的運動，因而對于渦運動是實際存在的一種重要的運動，

21、因而對于旋渦運動的旋渦運動的研究有著重要的意義研究有著重要的意義。 0V此式表明旋渦場是此式表明旋渦場是無源場。無源場。如同全流場可以用流線描述一樣，有旋運動的如同全流場可以用流線描述一樣，有旋運動的旋渦場旋渦場也可以也可以用用渦線渦線來描述。因此由來描述。因此由速度向量速度向量所構成的速度場里所引進的所構成的速度場里所引進的關于流線、流管、流量等一系列概念，可以套用到由關于流線、流管、流量等一系列概念，可以套用到由旋轉角旋轉角速度向量速度向量所構成的旋渦場中來。所構成的旋渦場中來。 渦線渦線：是充滿旋渦流場中的：是充滿旋渦流場中的一系列的曲線，在任意瞬時一系列的曲線，在任意瞬時該曲線上微團的

22、該曲線上微團的旋轉角速度旋轉角速度向量向量（旋轉軸線方向按右手（旋轉軸線方向按右手定則）都和定則）都和曲線相切曲線相切，右如，右如圖所示。圖所示。zyxdzdydx渦線方程渦線方程： 0dsds渦管渦管：某瞬時，在旋渦場中任?。耗乘矔r，在旋渦場中任取一條一條非渦線的光滑封閉曲線非渦線的光滑封閉曲線（曲（曲線不得與同一條渦線相交于兩線不得與同一條渦線相交于兩點），過該曲線的每一點作渦線，點），過該曲線的每一點作渦線，這些這些渦線形成的管狀曲面渦線形成的管狀曲面稱為渦稱為渦管，見右圖。管，見右圖。 渦通量渦通量：通過任一截面的：通過任一截面的渦量渦量的面積分。定義為：的面積分。定義為：渦管的側表面

23、是渦管的側表面是渦面渦面。在這個渦面上流體微團的角速度矢。在這個渦面上流體微團的角速度矢量量 與渦面的法向矢量相垂直。這表明與渦面的法向矢量相垂直。這表明渦通量不能穿越渦渦通量不能穿越渦管表面管表面。渦管截面大小和所取的圍線的大小有關，因此。渦管截面大小和所取的圍線的大小有關，因此渦渦管可大可小，甚至無限小管可大可小，甚至無限小，渦線是橫截面積趨向于零的渦，渦線是橫截面積趨向于零的渦管。管。 222nVddndd速度場的速度場的旋度旋度 V 又稱又稱渦量渦量。旋渦強度旋渦強度，或稱渦量強度：設在，或稱渦量強度：設在渦管上取一截面渦管上取一截面，截面面積，截面面積為為 ，則定義為，則定義為 0V

24、dV dgg 上式就是渦管的旋渦強度。對上式就是渦管的旋渦強度。對于同一渦管，旋渦強度為一于同一渦管，旋渦強度為一常常值值。因為，。因為， 22nVdddkdn應該指出，雖然渦場、渦線、渦量等在概念上和流場、流線、應該指出，雖然渦場、渦線、渦量等在概念上和流場、流線、流量等相似，但不能把兩者混淆起來。流量等相似，但不能把兩者混淆起來。渦線和流線渦線和流線應該是不同的，如果運動有渦，便存在渦線，應該是不同的，如果運動有渦，便存在渦線，運動無渦則不存在渦線。但是只要有流體運動，不論是否運動無渦則不存在渦線。但是只要有流體運動，不論是否有渦，有渦，流線總是存在的流線總是存在的。 速度環(huán)量速度環(huán)量：如

25、果積分路徑為：如果積分路徑為一封閉曲線一封閉曲線，則，則速度線積分速度線積分值值的定義為速度環(huán)量，即，的定義為速度環(huán)量，即， 本章前面的內容給出了流場中流體微團的旋轉運動以及旋本章前面的內容給出了流場中流體微團的旋轉運動以及旋度的概念。而在度的概念。而在同一流動區(qū)域中所有流體旋度的總效應同一流動區(qū)域中所有流體旋度的總效應則則是以是以速度的環(huán)量速度的環(huán)量來體現(xiàn)的。來體現(xiàn)的。 速度環(huán)量是標量，取速度環(huán)量是標量，取逆時針積分方逆時針積分方向為正向為正。sdVdsVzyx斯托克斯定理表明：沿空間任一封閉曲線斯托克斯定理表明：沿空間任一封閉曲線l上的上的環(huán)量環(huán)量，等于貫，等于貫通以此曲線所成的任意曲面上

26、通以此曲線所成的任意曲面上旋度的面積分旋度的面積分。根據(jù)此定理，。根據(jù)此定理，一個一個渦管的旋渦強度渦管的旋渦強度可以以此可以以此渦管的圍線的環(huán)量渦管的圍線的環(huán)量值代替，所值代替，所以環(huán)量也就成了以環(huán)量也就成了渦強渦強的同義詞。如果曲線所圍成的區(qū)域中無的同義詞。如果曲線所圍成的區(qū)域中無渦通量，則沿此圍線的渦通量，則沿此圍線的環(huán)量為零環(huán)量為零。lSnl dVdS斯托克斯定理表明，流場中若沿任意閉合曲線的斯托克斯定理表明，流場中若沿任意閉合曲線的速度環(huán)量速度環(huán)量為零為零，則流場中的流動是，則流場中的流動是無旋無旋的。的。通常將圍繞包含通常將圍繞包含點渦點渦閉合曲線上的速度環(huán)量稱為閉合曲線上的速度環(huán)

27、量稱為點渦強度點渦強度。：用來確定誘導速：用來確定誘導速度的大小。該公式指出度的大小。該公式指出, ,在在不可壓不可壓流動流動中，強度是中，強度是 、微段長度、微段長度 dL 的渦線對周圍流場所產(chǎn)生得誘導速的渦線對周圍流場所產(chǎn)生得誘導速度為度為 ：誘導速度誘導速度：由旋渦存在而產(chǎn)生的速度。：由旋渦存在而產(chǎn)生的速度。34dLrdwr dLdwBArNMO 2112sin4coscos4wdhh 誘導速度的方向誘導速度的方向是垂直紙面的，按圖示方向，它指向外的。是垂直紙面的，按圖示方向，它指向外的。如果渦線的一端無限長且如果渦線的一端無限長且M M的投影在另一端點，的投影在另一端點，如果如果渦線兩

28、端都延伸到無窮遠渦線兩端都延伸到無窮遠， 對于無限長渦線所引起的誘導速度場，在與渦線垂直的平面對于無限長渦線所引起的誘導速度場，在與渦線垂直的平面上流動都是一樣的，因此這種流動可以看作平面流動，通常上流動都是一樣的，因此這種流動可以看作平面流動，通常稱平面稱平面點渦流動點渦流動。 4wh 2wh 21hMdLdrDAB下一步：用流場變量下一步：用流場變量( (壓力、密度、速度壓力、密度、速度) )來表述來表述(2-18)。amF VmdtdF 動量方程描述的是動量守恒定律：動量方程描述的是動量守恒定律： 控制體中動量隨時控制體中動量隨時間的變化率等于作用在控制體上的力間的變化率等于作用在控制體

29、上的力。 （2-18） viscousxxffxpVutu tututu 第二項第二項中，把中，把 看成是標量看成是標量 和矢量和矢量 的積。運的積。運用矢量運算，該項可以展開為，用矢量運算，該項可以展開為，VuuV uVuVuVVu 下面用物質導數(shù)的形式來表示動量方程。考慮如下形式給下面用物質導數(shù)的形式來表示動量方程?？紤]如下形式給出的出的 x 方向方向的動量方程的微分形式，的動量方程的微分形式，左端左端第一項第一項可以展開為，可以展開為，Vuivjwk ()DupffviscousxxDtx ()DvpffviscousyyDty ()DwpffviscouszzDtz 因此，動量方程的因此，動量方程的物質導數(shù)形式物質導數(shù)形式為，為，viscousDVpffDt 對對不可壓流動不可壓流動，密度密度是常數(shù)。流場的主要是常數(shù)。流場的主要變量變量是是壓強壓強 和和速度速度 。連續(xù)方程連續(xù)方程和和動量方程動量方程都