差分格式穩(wěn)定性及數(shù)值效應比較實驗

1、差分格式穩(wěn)定性及數(shù)值效應比較實驗一實驗目的:1以一階線性雙曲線方程為例，使用 2了解4種差分格式的穩(wěn)定性。Matlab工具分析4種差分格式的誤差二實驗問題:對于一階線性雙曲型方程：ut + aux = 0,如=心）=唸;取a=1,2,4, h=0.1, t =0.08,對不同的差分格式（迎風格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，修正迎風格式）及不同的 a值進行迭代計算。通過將計 算結(jié)果與精確解來進行比較，來討論分析差分格式的穩(wěn)定性。三實驗原理:1. 迎風格式：這種格式的基本思想是簡單的，就是在雙曲型方程中關(guān)于空間偏導數(shù)用在特 征線方向一側(cè)的單邊差商來代替，格式如

2、下：.n+1 1tn.n.nU -11；U一片J+a丄宀=Ih.n+l.11.n.,11Ih運算格式：二（1 +訓曙為加02. Lax-Friedrich格式：護-扌婢1 +略）I嚅- “i+ai=0運算格式：申=（1 就用土 （1 + a喀13. Lax-Wendroff格式：這種格式構(gòu)造是采用Taylor級數(shù)展開和微分方程本身得到 運算格式：= (aX -l)u1 + (l + aX)(l-aX)l + (aX + l)ux小 是d取整數(shù)部分，fa4.修正迎風格式(目標點范圍跟蹤格式)：其中。根據(jù)之后的理論分析可以得到這是一個無條件穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。四四種格式理論分析：通過求差分格式的增長因子G(

3、t , k),來判定差分格式是否穩(wěn)定1. 迎風格式：記:F，一乙、；二：.卩三爲； ：-,：；得-.：,G(T,k) = l-a(l-e_lkh)=l-a(l-眺 kh 卜小 sinldi所以 |訓!:;:卜二 1 f : I - .S '、，:二好二則在以下格式用相同方法求解穩(wěn)定性條件。<1 ,滿足von Neumann條件，格式穩(wěn)定。2. Lax-Friedrich格式：G（;k） = cosli-iahinkli，在 J時穩(wěn)定。3. Lax-Wendroff格式:G（t*）二1 2譏sin2學i譏血kh，在？ X < 1時穩(wěn)定2 * 亠4. 修正迎風格式（目標點范圍跟

4、蹤格式）：G（調(diào)，咖卜岡（1-嚴）,其中皿恤卜1,卜訓1一嚴壯1的成立條件為< 而1恒成立，故格式無條件穩(wěn)定。五實驗結(jié)果:迎風格式Lax-Friedrich格式Lax-Wendroff格 式修正迎風格式a=22Lax-Wendroff格式修正迎風格式迎風格式Lax-Friedrich格式Lax-Wendroff格式修正迎風格式六總結(jié)：本次實驗，通過4種差分格式求解T=4時的解并與解析解畫圖比較，可以看 出：a=1 (a入=0.8v 1 )時，迎風格式，Lax-Friedrichs格式，修正迎風格式 的計算 結(jié)果與解析解近似情況較好，而Lax-We ndroff格式則在間斷點處出現(xiàn)了波前波

5、，形成雙波現(xiàn)象，這符合Lax-We ndroff格式為二階迭代格式的性質(zhì)。 a=2 (a 入=1.6> 1)時，迎風格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff 格式都 出現(xiàn)了比較強烈的震蕩。這三種震蕩中，Lax-Friedrichs格式震蕩較小，迎風格式與Lax-Wendroff格式的震蕩則較大。與之相對應的是修正迎風格式，保 持著穩(wěn)定的性質(zhì)。 a=4 (a 入=3.2> 1)時，迎風格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff 格式的 震蕩更加強烈。修正迎風格式則仍然保持著原有的穩(wěn)定性不變。由上得出，穩(wěn)定性對差分格式求解偏微分方程有重大意

6、義。一個差分格式是 否好，是否可用，首先要判定它是否穩(wěn)定并找到穩(wěn)定性條件。修正迎風格式強大 的穩(wěn)定性在解決一階線性雙曲線方程中有著很強的實用價值。七程序:迎風格式：23456function yingfeng (a? htj mi rut j jm= jnaxx-ninx) /h;T=4;p-t/h;n-I/t;ul=ones(m+n+lJ 1);ul fn+l: Jn+n+ll=O;g io n 121314151617u2=ul;for i=l:1:nfor j=i+l: 1 ：Jit+n+lu2(j)=a»p*ul (j-l>+(l-a*p)*u2(j);-ertdul=

7、u2;-endyl=u2(n+l：R+n+l)；xl=ninx:h:ikaKX;plot (zljyljJ '' ) ILax-Friedrich格 式:2345Sg1011121314151617function Friedrichs(a, hj tj JuirDt, jwcx)(max j(-mi nx) /h:1-4;p-t/h：n=T/t:ul=ones (ji+2+1, 11 ;ul(n+l:m+2*n+l)=0;u2=ul: for i=l:1;nfor j=i+l: l:ii+2*n+l-iu2(j)=0, 5*(l+a*p)*ul t j-D+O. 5*(l-a

8、#p)*u2(j+l);endul=u2:endyl=u2 tn+1: Ji+n+1):x 1.二minx: h: naxx :plot (xlj yl,L 一 )|Lax-Wendroff格 式:1Ffunction lendroffhj tj minxj jnaxx)2 -m= jfiaxx-jninx) /h:3 -T-4;4 -p=t/h;5 -& ul=one5(ja+2*n+l, 1);7 ul n+l :in+2+n+l)=0;S -u2=ul:9 -for 1:1 ：n10 -for j=i+l: 1 :m+2*rr+-l-i11 -u2 (j)=0- 5*a*p* (

9、l+a*p) *ul (j-l) + ( l-a*p) * (l+a*p) *u2(j)+0* 5*a#p* (a*p-1) *ul (j+1)12 -end13 -ul=u2;14 一-end15 一yl=u2 (n+l :m+n+l):16 -x l=m.iiTK: h: rnaxx :17 -plot (x lj ylj ? * )修正迎風格式:1funct ion gaij inyingf亡ng (每 h, t, uiinxj maxx)2m= t iRaxx-minx Vh:3T=4;4p=t/h;5n=T/t;6ulonesCm+n+lj 1)；7ul(n+1:m+n+1 =0:8u2=ul:gfor i=1:1:nio Efor j=i-Hloor (a*p) + L: 11111+