三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用_9649

1、三次函數(shù)的性質(zhì)以及在高考中的應(yīng)用三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個重要的函數(shù)，在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨命題。2004 年高考，在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個函數(shù)的單獨命題，特別是湖北卷以壓軸題的形式出現(xiàn)，更應(yīng)該引起我們的重視。 單調(diào)性和對稱性最能反映這個函數(shù)的特性。 下面我們就來探討一下它的單調(diào)性、對稱性以及圖象變化規(guī)律。函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為。我們不妨把方程稱為原函數(shù)的導(dǎo)方程，其判別式。若，設(shè)其兩根為，則可得到以下性質(zhì)：性質(zhì) 1：函數(shù)，若， 當(dāng)時 ， y f(x) 是 增 函 數(shù) ； 當(dāng)時 ， 其 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是，單調(diào)遞增區(qū)間是；若，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)

2、時，其單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是。（證明略）推論：函數(shù)，當(dāng)時，不存在極大值和極小值；當(dāng)時，有極大值、極小值。根據(jù) a 和的不同情況，其圖象特征分別為：圖 1性質(zhì)2：函數(shù)若，且，則：；。（證明略）性質(zhì)3：函數(shù)是中心對稱圖形，其對稱中心是（）。證明：設(shè)函數(shù)的對稱中心為（m，n）。按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)， 所以化簡得：上式對恒成立，故，得，。所以，函數(shù)的對稱中心是（）?？梢?， yf(x) 圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)y的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點。下面僅選一些 2004 年高考中出現(xiàn)的部分試題，讓我們來體會一下如何應(yīng)用這些性質(zhì)快速、準(zhǔn)確地解答問題。例 1. （浙江）設(shè)是函數(shù)

3、f(x) 的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖2 所示，則y f(x) 的圖象最有可能是（）圖 2圖 3解：根據(jù)圖象特征，不妨設(shè)f(x) 是三次函數(shù)。則的圖象給出了如下信息：；導(dǎo)方程兩根是0，2，（ f(x) 對稱中心的橫坐標(biāo)是1）；在（ 0， 2）上；在（， 0）或（ 2，）上。由和性質(zhì)1 可排除 B 、 D；由和性質(zhì)1 確定選 C。例 2. （江蘇）函數(shù)在閉區(qū)間 3， 0上的最大值、最小值分別是（）A. 1， 1 B. 1， 17C. 3， 17 D. 9 ， 19解：函數(shù)的導(dǎo)方程是，兩根為1 和 1，由性質(zhì)2 得：，。故選 C。例 3. （天津）已知函數(shù)在 x± 1 處取得極值。（ I ）討論

4、 f(1)和 f( 1) 是函數(shù) f(x) 的極大值還是極小值；（ II ）過點 A （ 0， 16）作曲線 y f(x) 的切線，求此切線方程。解：（ I ）因為，所以導(dǎo)方程。因為在 x± 1 處取得極值，所以，是導(dǎo)方程的兩根，所以解得a 1， b 0所以由推論得是 f(x) 的極大值； f(1) 2 是 f(x) 的極小值。（II ）曲線方程為，點 A （ 0，16）不在曲線上。設(shè)切點為M因為，故切線方程為點 A （ 0， 16）在切線上，所以解得，切點為M （ 2， 2）故所求切線方程為例 4. （湖北）已知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切。（I ）求 b 與 c 的關(guān)系式（用c

5、表示 b）；（II ）設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)有極值點，求c 的取值范圍。解：（ I ）依題意，得，所以因為所以（II ）因為所以 F（x）的導(dǎo)方程為：依性質(zhì) 1 的推論得：所以，所以或解之得故所求c 的范圍是（0，）（）?？v觀以上事例， 只要我們掌握了函數(shù)的三條性質(zhì)，在高考中無論是容易題、中檔題還是難題，都能找到明確的解題思路，解題過程也簡明扼要。盡管如此， 我們還要進一步加強對三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、對稱性、圖象變化規(guī)律、切線方程等性質(zhì)的研究，這也有助于提高對知識系統(tǒng)性的理解水平，拓寬解題思路。以導(dǎo)數(shù)為工具對三次函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、 對稱性、根的性質(zhì)等問題進行探索研究經(jīng)過實驗驗證深刻挖掘三次函數(shù)的性質(zhì)為進一步探索高次函數(shù)的性質(zhì)提供了方法依據(jù)為高考有關(guān)問題找到了有效的解決方法。關(guān)鍵詞三次函數(shù)圖像性質(zhì)三次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體是應(yīng)用二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的好素材。三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)。但教材和各種資料中往往只從求導(dǎo)、求極值、 求單調(diào)區(qū)間等角度進行一些零碎的、淺表的探索而很少對它作出比較系統(tǒng)地