高考數(shù)學(xué)人教a版理科題庫：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第7講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1直線4kx4yk0與拋物線y2x交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|4，則弦ab的中點(diǎn)到直線x0的距離等于()a. b2 c. d4解析直線4kx4yk0，即yk，即直線4kx4yk0過拋物線y2x的焦點(diǎn).設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|x1x24，故x1x2，則弦ab的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，弦ab的中點(diǎn)到直線x0的距離是.答案c2設(shè)斜率為的直線l與橢圓1(a>b>0)交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為()a. b. c. d.解析由于直線與橢圓的兩交點(diǎn)a，

2、b在x軸上的射影分別為左、右焦點(diǎn)f1，f2，故|af1|bf2|，設(shè)直線與x軸交于c點(diǎn)，又直線傾斜角的正切值為，結(jié)合圖形易得tan ，故|cf1|cf2|f1f2|2c，整理并化簡得b2(a2c2)ac，即(1e2)e，解得e.答案c3拋物線y22px與直線2xya0交于a，b兩點(diǎn)，其中點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,2)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，則|fa|fb|的值等于()a7 b3 c6 d5解析點(diǎn)a(1,2)在拋物線y22px和直線2xya0上，則p2，a4，f(1,0)，則b(4，4)，故|fa|fb|7.答案a4設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為e，過f2的

3、直線與雙曲線的右支交于a，b兩點(diǎn)，若f1ab是以a為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2()a12 b42c52 d32解析如圖，設(shè)|af1|m，則|bf1|m，|af2|m2a，|bf2|m2a，|ab|af2|bf2|m2am2am，得m2a，又由|af1|2|af2|2|f1f2|2，可得m2(m2a)24c2，即得(208)a24c2，e252，故應(yīng)選c.答案c5已知直線l：yk(x2)(k>0)與拋物線c：y28x交于a，b兩點(diǎn)，f為拋物線c的焦點(diǎn)，若|af|2|bf|，則k的值是()a. b. c2 d.解析法一據(jù)題意畫圖，作aa1l，bb1l，bdaa1.設(shè)直線l的傾斜角為，|

4、af|2|bf|2r，則|aa1|2|bb1|2|ad|2r，所以有|ab|3r，|ad|r，則|bd|2r，ktan tanbad2.法二直線yk(x2)恰好經(jīng)過拋物線y28x的焦點(diǎn)f(2,0)，由可得ky28y16k0，因?yàn)閨fa|2|fb|，所以ya2yb.則yayb2ybyb，所以yb，ya·yb16，所以2y16，即yb±2.又k>0，故k2.答案c6過雙曲線1(a>0)的右焦點(diǎn)f作一條直線，當(dāng)直線斜率為2時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是()a(，5) b(，) c(1

5、，) d(5,5)解析令b，c，則雙曲線的離心率為e，雙曲線的漸近線的斜率為±.據(jù)題意，2<<3，如圖所示，2<<3，5<e2<10，<e<.答案b二、填空題7橢圓y21的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是_解析設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x21，y1y21.a，b在橢圓上，y1，y1.兩式相減得：(y1y2)(y1y2)0，即，x1x21，y1y21，即直線ab的斜率為.直線ab的方程為y，即該弦所在直線的方程為2x4y30.答案2x4y308已知橢圓c：1(a>b>0)，f(，0)為其右焦

6、點(diǎn)，過f垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓c的方程為_解析由題意，得解得橢圓c的方程為1.答案19過橢圓1(ab0)的左頂點(diǎn)a且斜率為1的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為m，與y軸的交點(diǎn)為b，若|am|mb|，則該橢圓的離心率為_解析由題意知a點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0)，l的方程為yxa，b點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，a)，故m點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得a23b2，c22b2，e.答案10已知曲線1(a·b0，且ab)與直線xy10相交于p，q兩點(diǎn)，且·0(o為原點(diǎn))，則的值為_解析將y1x代入1，得(ba)x22ax(aab)0.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1x2，x1

7、x2.·x1x2y1y2x1x2(1x1)·(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10，即2a2ab2aab0，即ba2ab，所以2.答案2三、解答題11在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的a，b兩點(diǎn)(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；(2)如果·4，證明：直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)(1)解由題意：拋物線焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)l：xty1，代入拋物線y24x，消去x得y24ty40，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，·x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t

8、(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)證明設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x得y24ty4b0，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b，·x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直線l過定點(diǎn)(2,0)若·4，則直線l必過一定點(diǎn)12給出雙曲線x21.(1)求以a(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程；(2)若過點(diǎn)a(2,1)的直線l與所給雙曲線交于p1，p2兩點(diǎn)，求線段p1p2的中點(diǎn)p的軌跡方程；(3)過點(diǎn)b(1,1)能

9、否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點(diǎn)q1，q2，且b是q1q2的中點(diǎn)？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由解(1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直線斜率k4.故求得直線方程為4xy70.(2)設(shè)p(x，y)，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于p1，p2，p，a四點(diǎn)共線，得，由可得，整理得2x2y24xy0，檢驗(yàn)當(dāng)x1x2時(shí)，x2，y0也滿足方程，故p1p2的中點(diǎn)p的軌跡方程是2x2y24xy0.(3)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線m存在，

10、按照(1)的解法可得直線m的方程為y2x1.考慮到方程組無解，因此滿足題設(shè)條件的直線m是不存在的13在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知雙曲線c1：2x2y21.(1)過c1的左頂點(diǎn)引c1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積(2)設(shè)斜率為1的直線l交c1于p、q兩點(diǎn)若l與圓x2y21相切，求證：opoq.(3)設(shè)橢圓c2：4x2y21.若m、n分別是c1、c2上的動(dòng)點(diǎn)，且omon，求證：o到直線mn的距離是定值(1)解雙曲線c1：y21，左頂點(diǎn)a，漸近線方程：y±x.不妨取過點(diǎn)a與漸近線yx平行的直線方程為y，即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為s|o

11、a|y|.(2)證明設(shè)直線pq的方程是yxb.因?yàn)橹本€pq與已知圓相切，故1，即b22.由得x22bxb210.設(shè)p(x1，y1)、q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故opoq.(3)證明當(dāng)直線on垂直于x軸時(shí)，|on|1，|om|，則o到直線mn的距離為.當(dāng)直線on不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線on的方程為ykx，則直線om的方程為yx.由得所以|on|2.同理|om|2.設(shè)o到直線mn的距離為d，因?yàn)?|om|2|on|2)d2|om|2|on|2，所以3，即d.綜上，o到直線mn的距離是

12、定值14在圓x2y24上任取一點(diǎn)p，過點(diǎn)p作x軸的垂線段，d為垂足，點(diǎn)m在線段pd上，且|dp|dm|，點(diǎn)p在圓上運(yùn)動(dòng)(1)求點(diǎn)m的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)c(1,0)的直線與點(diǎn)m的軌跡交于a，b兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)n，使·為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)n的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)設(shè)p(x0，y0)，m(x，y)，則x0x，y0y.p(x0，y0)在x2y24上，xy4.x22y24，即1.點(diǎn)m的軌跡方程為1(x±2)(2)假設(shè)存在當(dāng)直線ab與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線ab的方程為yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，n(n,0)，聯(lián)立方程組整理得(12k2)x24k2x2k24