等腰三角形性質(zhì)定理

1、 教師日期學(xué)生課程編號課型專題課題等腰三角形的性質(zhì)定理教學(xué)目標(biāo)通過觀察發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)；掌握等腰三角形的識別方法，會用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計算和證明；理解等腰三角形與等邊三角形的相互關(guān)系；能夠利用等腰三角形的識別方法判斷等腰三角形；掌握等邊三角形的特征和識別方法；掌握一般文字命題的解題方法教學(xué)重點重點：等腰三角形的性質(zhì)與判定。 難點：比較復(fù)雜圖形、題目的推理證明教學(xué)安排版塊時長1等腰三角形的性質(zhì)30分鐘2等腰三角形的判定30分鐘3例題講解40分鐘4隨堂練習(xí)20分鐘等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì)定理知識點一：等腰三角形、腰、底邊在小學(xué)里我們就已經(jīng)學(xué)過，有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其

2、中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角如圖所示，在ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，A是頂角，B、C是底角知識點二：三角形按邊分類 不等邊三角形三角形 底邊與腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形（正三角形）知識點三：等腰三角形的性質(zhì)1、性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”） 性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）2、這兩個性質(zhì)證明如下： 在ABC中，AB=AC，如圖所示 作底邊BC的高AD，則有 RtABDRtACD B=C，1=2BD=CD 于是性質(zhì)

3、1、性質(zhì)2均得證3、說明：（1）等腰三角形的性質(zhì)1用符號表示為：AB=AC，B=C； 性質(zhì)1是等腰三角形的一條重要（主要）性質(zhì)，也是今后我們證明角相等的又一個重要依據(jù)（2）性質(zhì)2實質(zhì)包含三條性質(zhì)，符號表示為： AB=AC，ADBC，1=2， BD=CD； 或 AB=AC，BD=CD，l=2， ADBC 性質(zhì)2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等 （3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸一、 規(guī)律方法指導(dǎo)1 等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知

4、條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。2 常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。二、 難點分析1、 對于“等腰三角形的三線合一”一定要注意是底邊上的高線、中線和頂角平分線，其他的高、中線、角平分線不滿足三線合一。2、 分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進(jìn)行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。類型一：與度數(shù)有關(guān)的計算1如圖，在ABC中，D

5、在BC上，且AB=AC=BD，1=30°，求2的度數(shù)。思路點撥: 解該題的關(guān)鍵是要找到2和1之間的關(guān)系，顯然2=1+C，只要再找出C與2的關(guān)系問題就好解決了，而C=B，所以把問題轉(zhuǎn)化為欲找出2與B之間有什么關(guān)系，變成ABD的角之間的關(guān)系，問題就容易的多了。解析：AB=AC B =C AB=BD 2=3 2=1+C 2=1+B 2+3+B=180° B=180°22 2=1+180°22 32=1+180° 1=30° 2=70°總結(jié)升華：關(guān)于角度問題可以通過建立方程進(jìn)行解決。舉一反三：【變式1】如圖，D、E在ABC的邊BC上

6、，且BE=BA，CD=CA，若BAC=122°，求DAE的度數(shù)。【變式2】在ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，BAD=30°，求EDC的度數(shù)。類型二：等腰三角形中的分類討論2當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進(jìn)行分類討論（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。思路點撥: 由等腰三角形的性質(zhì)可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構(gòu)成三角形的前提，因此必須進(jìn)行分類討論。解析：（1）因為8+810，10+108

7、，則在這兩種情況下都能構(gòu)成三角形； 當(dāng)腰長為8時，周長為8+8+10=26； 當(dāng)腰長為10時，周長為10+10+8=28； 故這個三角形的周長為26cm或28cm。（2）當(dāng)腰長為3時，因為3+37，所以此時不能構(gòu)成三角形； 當(dāng)腰長為7時，因為7+73，所以此時能構(gòu)成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm。總結(jié)升華：對于此類題目在進(jìn)行分類討論時，必須運用三角形的三邊關(guān)系來驗證是否能構(gòu)成三角形 舉一反三：【變式1】當(dāng)頂角或底角不能確定時，必須進(jìn)行分類討論等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內(nèi)角的度數(shù)【變式2】當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時，必須分類討論等腰三角

8、形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內(nèi)角的度數(shù)。【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論 在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為45°，求B的度數(shù)?！咀兪?】由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。類型三：等腰三角形的性質(zhì)定理與全等三角形的應(yīng)用3.如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，ABC=AED，點F是CD的中點求證：AFCD思路點撥: 要證明AFCD，而點F是CD的中點，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質(zhì)，于是連接AC、AD，證明AC=

9、AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到結(jié)論解析：連接AC、AD 在ABC和AED中， AB=AE（已知） ABC=AED（已知） BC=ED（已知）ABCAED（SAS）AC=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又ACD中AF是CD邊的中線（已知）AFCD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）【變式1】如圖，ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DFAC于F交BC于E，求證：DBE是等腰三角形課后作業(yè)一、填空：1、等腰三角形的的兩邊長為4cm和9cm，則該等腰三角形的周長為_cm。2、等腰三角形的周長為20 cm，一邊長為6 cm，則底邊長為_。3、等

10、腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角為_。4、已知BD是等腰ABC的角平分線，如果A=80°，那么ADB等于_。5、如圖，在等腰RtOAA1中，OAA1=90°，OA=1，以O(shè)A1為直角邊作等腰RtOA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰RtOA2A3，則OA4的長度為_。6、如圖，在ABC中，ABAC，BAC120°，D是BC的中點，DEAC.  則AB : AE_。7、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點O，AD與BC交于點P，BE與CD

11、交于點Q，連結(jié)PQ以下五個結(jié)論：AD=BE； PQAE； AP=BQ；DE=DP；AOB=60°.恒成立的有_（把你認(rèn)為正確的序號都填上）。 第6題圖 第7題圖二、選擇題1. 若一個三角形的三個外角度數(shù)比為2：3：3，則這個三角形是（ ）A. 等腰三角形 B. 等邊三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形2. 將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（ ）圖1A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個3. 如圖2，C、E和B、D、F分別在GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18

12、°，則GEF的度數(shù)是（ ）A80° B90° C100° D108° 圖2 圖34. 如圖3，已知AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）A3B4C5D65. 在ABC中，AB=AC，下列推理中錯誤的是（   ）A、如果AD是中線，那么ADBC，BAD=DAC B、如果BD是高，那么BD是角平分線 C、如果AD是高，那么BAD=DAC、BD=DC D、如果AD是角平分線，那么AD也是BC邊的垂直平分線三、解答題1、等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數(shù)，求各邊長。2、（1）等腰三角形的一個角為50°，求另外兩個角的度數(shù)。 （2）等腰三角形的一個外角為100°，求該等腰三角形的頂角。3、等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。4、 如圖2所示，ABC和BDE都是等邊三角形。求證：AECD。 5、如圖，等腰ABC中，AB=AC，DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，求A的度數(shù)6、“有兩邊相等的兩個直