極限計(jì)算方法總結(jié)

1、極線的運(yùn)算法則班級(jí) :組名：組員 :高等數(shù)學(xué)是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。求極限方法眾多， 非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來(lái)較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到高等數(shù)學(xué) 后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對(duì)極限概念和一些結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，然后通過(guò)例題給出求極限的各種方法，以便學(xué)員更好地掌握這部分知識(shí)。一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1定義 ：（各種類(lèi)型的極限的嚴(yán)格定義參見(jiàn)高等數(shù)學(xué)函授教材，這里不一一敘述）。說(shuō)明：（ 1）一些最簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：lim b0( , 為常數(shù)且a0) ； lim(3 1)5 ；nana bx

2、x 2lim qn0 ， 當(dāng) | q |1時(shí)；等等不存在，當(dāng)n| q | 1時(shí)（ 2）在后面求極限時(shí)， （1）中提到的簡(jiǎn)單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。2極限運(yùn)算法則定理 1已知lim f ( x) ， limg ( x) 都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1） lim f ( x)g (x)AB（ 2） limf ( x)g ( x)AB（ 3） limf ( x)A ,(此時(shí)需 B 0成立 )g( x)B說(shuō)明：極限號(hào)下面的極限過(guò)程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3兩個(gè)重要極限sin x1（ 1） limxx011 ) x（

3、 2） lim (1x) xe ；lim (1ex0xx說(shuō)明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡(jiǎn)介：靳一東，男， （ 1964），副教授。1x例如： lim sin 3x1 ， lim (1 2x) 2 xe ， lim (13 ) 3e ；等等。x 03xx0xx4等價(jià)無(wú)窮小定理 2無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮?。礃O限是0）。定理 3當(dāng) x0 時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1x) e x1 。說(shuō)明 ：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x 換成 g( x) 時(shí)（ g

4、( x)0 ），仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如： 當(dāng) x0 時(shí)， e3x1 3x； ln(1x2 ) x2。定理 4如果函數(shù)f (x), g( x),f1 ( x), g1 ( x)都是 xx0 時(shí)的無(wú)窮小，且f ( x) f1 (x)存 在 時(shí) ， limf ( x)f1 ( x) ， g( x) g1 ( x) ， 則 當(dāng) lim也存在且等于x x0 g1 ( x)xx0 g (x)f1 ( x)f ( x)f1 (x)。f ( x) lim，即 lim= limx x0 g1( x)xx0 g (x)x x 0 g1 (x)5洛比達(dá)法則定理 5 假設(shè)當(dāng)自變量x 趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)

5、，函數(shù)f (x) 和 g( x) 滿足：（ 1） f (x) 和 g (x) 的極限都是 0 或都是無(wú)窮大；（ 2） f (x) 和 g (x) 都可導(dǎo)，且 g( x) 的導(dǎo)數(shù)不為 0；（ 3） lim f ( x) 存在（或是無(wú)窮大） ；g (x)則極限 limf ( x)f ( x)f (x)f ( x)也一定存在，且等于 lim，即 lim= lim。g ( x)g (x)g( x)g ( x)說(shuō)明 ：定理 5 稱(chēng)為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“0”型或“”型；條件（2）一般都

6、滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢0后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0 是函數(shù) f ( x) 的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)im f ( x)f (x0 )。x x07極限存在準(zhǔn)則定理 7（準(zhǔn)則 1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理 8（準(zhǔn)則 2） 已知 xn , yn , zn 為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（ 1） ynxnzn , (n 1,2,3,)（2） lim yna ， lim znann則極限 lim xn 一定存在，且極限值也是a ，即 lim xn a 。nn二、求極限方法舉例1 用初

7、等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限例 1lim3x12x1x 1解：原式 = lim(3x1) 22 23x33lim。x 1 ( x 1)( 3x 1 2)x 1 ( x 1)( 3x 1 2)4注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例 2limn (n2n1)nn( n2)(n1)分子分母同除以n33解：原式 = limlim。nn2n1n21 211nn例 3lim( 1) n3n2n3nn上下同除以 3 n(1)n1解：原式lim31。( 2) n1n32 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限1例 4limx 2e xx21解：因?yàn)?x02 是函數(shù) f ( x)x 2 e x 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，1所

8、以 原式 = 2 2 e 24e。3 利用兩個(gè)重要極限求極限1cos x例 5 lim3x2x 02sin 2x2 sin 2x1解：原式 = lim22lim2x。x03xx 012)26(2注：本題也可以用洛比達(dá)法則。2例 6 lim (13sin x) xx 016sin x16sin x解：原式 = lim (13sin x)3sin xxlim (1 3sin x) 3 sin x xe6。x0x0例 7 lim ( nn2 )nn13n 13n3n 13n解：原式 = lim (1) 3n 1lim (1) 3 n 1e 3。nn1nn14 利用定理2 求極限例 8 lim x2

9、sin 1x0x解：原式 =0（定理 2 的結(jié)果）。5 利用等價(jià)無(wú)窮小代換（定理4）求極限x ln(1 3x)例 9 limx0 arctan(x 2 )解：x0時(shí)，ln( 13x) 3x ， arctan(x 2 ) x2 ，原式 = limx3x3 。x2x 0exesin x例 10 limsin xx 0 x解：原式 = lim esin x (ex sin x1)lim esin x (xsin x)1 。x 0xsin xx0xsin x注：下面的解法是錯(cuò)誤的：(ex1)( esin x1)xsin x原式 = limxsin xlim1 。x 0x0 xsin x正如下面例題解法

10、錯(cuò)誤一樣：lim tan xsin xlimx x0 。x 0x3x 0x 3tan(x2 sin 1)例 11limsin xxx 0解：當(dāng) x0 時(shí)，x2 sin 1是無(wú)窮小，tan(x 2 sin 1 )與 x2sin 1 等價(jià) ，xxxx2 sin 1lim xsin 1所以，原式 = limx0 。（最后一步用到定理 2）x 0xx 0x6 利用洛比達(dá)法則求極限說(shuō)明 ：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。1cos x（例 4）例 12 lim2x 03x解：原式 = lim sin x1。（最后一步用到了重要極

11、限）x0 6x6cos x例 13 lim2x1x1x2sin解：原式 = lim2。x112例 14limxsin xx3x 01cos x= limsin x1解：原式 = lim3x 26 x6。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）x0x0例 15limsin xx cos xx2sin xx 0解：原式limsin xx cos xlimcos x(cos x x sin x)x2x3x2x0x 0limx sin x1x03x 23例 18lim 11x 0xln(1x)解：錯(cuò)誤解法 ：原式 = lim 11 0。x0xx正確解法：原式limln(1x)xln(1x)xxln(1x)

12、limxxx0x011lim1 xlimx1。x)x02xx 0 2x(12應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例 19limx2sin xx 3x cosx解：易見(jiàn)：該極限是“0 ”型，但用洛比達(dá)法則后得到： lim 12cosx ，此極限0x3sin x不存在，而原來(lái)極限卻是存在的。正確做法如下：2sin x1x原式 = lim（分子、分母同時(shí)除以x）xcosx3x1（利用定理1 和定理 2）=37 利用極限存在準(zhǔn)則求極限例 20已知 x12 , xn 12xn, (n1, 2,) ，求 limxnn解：易證：數(shù)列 xn 單調(diào)遞增，且有界（0< xn <2），由準(zhǔn)則1 極限 limxn 存在，n設(shè) lim xna 。對(duì)已知的遞推公式 xn 12xn兩邊求極限，得：na2a ，解得： a2 或 a1（不合題意，舍去）所以limxn2 。n例 21lim(111)1n 22n2nn2n解： 易見(jiàn)：n1