第四章第三四講

1、上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 一、第二換元法二、分部積分法上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1 1 求求2sectan.xxdx :tantanxdx 解解 原原式式21(tan )2xc 3sectan.xxdx 求求2:secsecxdx 解解 原原式式例例2 2 31sec3xc 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3 3 求求.csc xdx解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121cuu 11ln21.cos1cos1ln21cxx 類似地可推出類似地可推出.)tanln(secsec

2、cxxxdx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例4 4 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1cexx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例5 5 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlncx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例6 6 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .12121

3、3212133cxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例7 7 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回解解例例8 8 設設 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212cuu .21)(2cxxxf 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設置方法改變中間變量的設置方法.

4、過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應用（應用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）第二類換元法上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設設 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxf 則則dxdtdtdxf )()()(ttf ,)(1t )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)( t ，又設又設)()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，定理定理2 2 )()()()(xtdtttfdxxf

5、)(tf ).(xf 說明說明)(xf為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù),上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回tdtadxtaxcossin ，則，則解：令解：令tdta22cos 原式原式ctta 2sin2122cttata cossin2222caxaaxaaxa 22222arcsin2 dtta 2cos122txa22xa dxxa 221：求：求例例caxaxaxdxxa arcsin2222222即即上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt )tan

6、ln(sectax22ax .ln22caaxax 2,2t上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa

7、 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 積分中為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的三角代換并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定情況來定.說明說明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224cttt 353251.1)348(151242cxxx 解解上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 t

8、ex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111ctt 11ln .11ln2cxex ,1ln2 tx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回說明說明(3)(3) 當分母的階較高時當分母的階較高時, 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417cxx 解解上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例6 6 求求dxxx )2(17dxxx )2xxx .|ln21|2|ln1417cxx

9、解解法法2：677(2)xdxxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例7 7 求求解解.1122dxxx dxxx 1122令令tx1 ,12dttdx dxttt 22211111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 21)1(112122tdt ct 21cxx 21上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回說明說明(4)(4) 當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例8 8 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(1

10、3 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116ctt arctan 6.arctan 666cxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 tdt2t5t22原式原式tdt2dx5txt5x2 ，則，則，即，即解：令解：令 dxxx5.2求求練習練習 dt25t10t224ct25t310t51235 c255x3105x515x22 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回基基本本積積分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx

11、;arctan11)20(22caxadxxa 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回;ln211)22(22cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22caxdxxa .)ln(1)24(2222caxxdxax ;ln211)21(22caxaxadxax 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導法則利用兩個函數(shù)乘積的求導法則.設設函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式2.分部積分法上一頁上一頁下一頁下一頁返回返

12、回例例1 1 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossincxxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例2 2 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex 總結(jié)

13、總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函就考慮設冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3 3 求積分求積分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22cxxxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例4

14、4 求積分求積分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144cxxx 總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例5 5 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexx

15、exxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例6 6 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2cxxx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例7 7 求不定積分求不定積分.sec3 xdx解解 xdx3sec xxd tansec xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2 xdxxxxx3sec|tansec|lntanseccxxxxxdx |)tansec|lntan(sec21sec3注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例8 8 求積分求積分 .dxex解解 dxex tdtetxt22 ttde2tdetett 22cetett 22cxex )1(2上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得