第五講函數(shù)的微分運(yùn)算

1、一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、函數(shù)的極值三、函數(shù)的極值四、函數(shù)的積分四、函數(shù)的積分3/13一一. 函數(shù)極限的實(shí)現(xiàn)函數(shù)極限的實(shí)現(xiàn)格式：格式：limit(f,x,a) 計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)xa時(shí)時(shí),f(x)的極限值，的極限值， limit(f,x,a,right) 計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)xa+時(shí)時(shí), f的右極限，的右極限， limit(f,x,a,left) 計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)xa-時(shí)時(shí), f的左極限，的左極限，2011.coslimxxx 求求例例特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)a=0時(shí)有：時(shí)有：解：解： syms x %定義變量定義變量 limit(1-cos(x)*x(-2)x0limit fli

2、mitf x()( ) 注意：注意：求極限時(shí)，先要定義自變量，然后直接將函求極限時(shí)，先要定義自變量，然后直接將函數(shù)放入數(shù)放入limit的括號(hào)內(nèi)，不用引號(hào)的括號(hào)內(nèi)，不用引號(hào).ans =1/2省略了自變量省略了自變量的變化過(guò)程的變化過(guò)程4/131.一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：計(jì)算一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：計(jì)算y = f(x) 導(dǎo)數(shù)的命令為導(dǎo)數(shù)的命令為:diff(y)例例2.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxxxxxxy221.(1)ln(12)2 求求xxyyxx2arcsin112.ln211 求求y=sym(1+x)*log(1+x+sqrt(2*x+x2)-sqrt(2*x+x2);dy=diff(y);

3、b=simplify(dy); )x2(x(x1(log2/1 解解:syms x結(jié)果為：結(jié)果為：二二. 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)現(xiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)現(xiàn)5/13例例2.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxxxxxxy221.(1)ln(12)2 求求xxyyxx2arcsin112.ln211 求求y=sym(asin(x)/sqrt(1-x2)+0.5*log(1-x)/(1+x);dy=diff(y);b=simplify(dy);解解:syms x高階導(dǎo)數(shù)可直接計(jì)算：高階導(dǎo)數(shù)可直接計(jì)算：diff(s,v,n) 求求s對(duì)對(duì)v的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 6/132. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算計(jì)算計(jì)算 z=f(x,

4、y) 的偏導(dǎo)數(shù)的方法為：的偏導(dǎo)數(shù)的方法為：首先定義自變量：首先定義自變量： syms x y; 然后建立函數(shù)：然后建立函數(shù)：z=sym(f(x,y)用用diff求導(dǎo)：求導(dǎo)：dzdx=diff(z,x) ，dzdy=diff(z,y)例例3. 求求 的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù) y/xez 解：解：syms x y;z=sym(exp(x/y); dzdx=diff(z,x) ,dzdy=diff(z,y)7/13三三. 求函數(shù)的極大值與極小值求函數(shù)的極大值與極小值 在在matlab中有求函數(shù)極小值的命令：中有求函數(shù)極小值的命令：計(jì)算計(jì)算f在在a, b之間取極小值時(shí)的之間取極小值時(shí)的x與與y(即即f

5、val). 命令：命令：x,fval = fminbnd(f,a,b)解：解：f=inline(2*x.3-6*x.2-18*x+7) 例例4. 求求 在區(qū)間在區(qū)間(-2,4)內(nèi)極小值內(nèi)極小值 718x-6x2x f(x)23 x,fval = fminbnd(f, -2, 4) 故故 函數(shù)在函數(shù)在x=3時(shí)，有極小值時(shí)，有極小值- -47輸出結(jié)果為：輸出結(jié)果為：x = 3.0000 fval = - -47.00008/13注意：如果計(jì)算極大值，可將注意：如果計(jì)算極大值，可將f(x)前面添負(fù)號(hào)，前面添負(fù)號(hào)，則則- -f(x)的極小值點(diǎn)，即的極小值點(diǎn)，即f(x)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn).極大值為極大

6、值為- -fval例例5. 求求 在區(qū)間在區(qū)間(- -2,4)內(nèi)極大值內(nèi)極大值 718x-6x2x f(x)23 解：解：f=-2*x.3+6*x.2+18*x-7 ;x,fval = fminbnd(f, -2, 4) x = - -1.0000fval = - -17.0000故故f(x)在在x= - -1時(shí)有極大值時(shí)有極大值17注意：注意：計(jì)算函數(shù)極值時(shí)，不能用計(jì)算函數(shù)極值時(shí)，不能用sym(f(x)表示法表示法但是可以用：但是可以用：y=f(x)注意符號(hào)！注意符號(hào)！9/13四、不定積分、定積分與廣義積分的計(jì)算四、不定積分、定積分與廣義積分的計(jì)算1.符號(hào)函數(shù)的積分符號(hào)函數(shù)的積分 格式格式

7、: int(s,v,a,b)其中，其中，s積分表達(dá)式；積分表達(dá)式； v積分變量；積分變量； a積分下限，積分下限，b積分上限積分上限如果求不定積分，無(wú)窮積分請(qǐng)大家猜想格式如何？如果求不定積分，無(wú)窮積分請(qǐng)大家猜想格式如何？ 例例6. 計(jì)算計(jì)算 dxxex解：解：s=x*exp(-x)g=int(s,x)ans =-x*exp(-x)-exp(-x) 注意：計(jì)算結(jié)果只給出一個(gè)原函數(shù)，沒(méi)有任意常數(shù)注意：計(jì)算結(jié)果只給出一個(gè)原函數(shù)，沒(méi)有任意常數(shù)c10/132.梯形法數(shù)值積分梯形法數(shù)值積分 格式格式 : i=trapz(x,y)其中，其中，x是積分區(qū)間是積分區(qū)間a,b的取值的取值(向量向量),y是相是相應(yīng)

8、的函數(shù)值應(yīng)的函數(shù)值3.辛普森法辛普森法 格式格式 : i=quadl(fun,a,b)注意：注意：quadl最后是字母最后是字母l, 不是數(shù)字不是數(shù)字1 例例7. 計(jì)算計(jì)算x201sinxe dx1cosx 方法方法1:1:輸入輸入 y=(1+sin(x)*exp(x)/(1+cos(x);i1=int(y,x,0,pi/2)符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算, ,不不要點(diǎn)乘除要點(diǎn)乘除11/13例例7. 計(jì)算計(jì)算x201sinxe dx1cosx 方法方法2:2:輸入輸入 x=0:0.01:pi/2; y=(1+sin(x).*exp(x)./(1+cos(x); i2=trapz(x,y)方法方法3:3:輸入

9、輸入 x=0:0.01:pi/2;i3=quadl(1+sin(x).*exp(x)./(1+cos(x),0,pi/2)結(jié)果為結(jié)果為:i1=exp(1/2:i1=exp(1/2* *pi) i2=4.8030 i3 =4.8105pi) i2=4.8030 i3 =4.810512/13五五 . 函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式格式：格式：taylor(f,a) 功能：功能：f在在x=a處的泰勒級(jí)數(shù)前處的泰勒級(jí)數(shù)前5項(xiàng)項(xiàng)格式：格式：taylor(f,v) 功能：功能：f對(duì)變量對(duì)變量v的泰勒展式前的泰勒展式前5項(xiàng)項(xiàng)格式：格式：taylor(f,v,n) 功能：求功能：求f的的n 階泰勒展式階泰勒展式,且且 (n缺省時(shí)默認(rèn)為缺省時(shí)默認(rèn)為 5）例例8. 求求 的麥克勞林級(jí)數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)xxey 解：解：syms x, y=x*exp(-x), taylor(y,9)ans=x-x2+1/2*x3+1/6*x4+1/24*x5+1/120*x6+1/720*x7+1/5040*x813/13simplify(y)，simple(y)化簡(jiǎn)函數(shù)y=f(x)diff(y), diff(z,x)計(jì)算y = f(x) 導(dǎo)數(shù), 偏導(dǎo)數(shù)diff(y,n)計(jì)算y = f(x) n階導(dǎo)數(shù)x,fval = fminbnd(f,a,b