數(shù)學(xué)分析微分方程6

1、6 6 高階線性微分高階線性微分方程方程)()()(22xfyxqdxdyxpdxyd 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性二階線性齊次齊次微分方程微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性二階線性非齊次非齊次微分方程微分方程n階線性微分方程階線性微分方程)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn 一、基本概念基本概念2階線性微分方程階線性微分方程二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.1.二階二階齊次齊次方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu): :定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,那那末末2211yc

2、ycy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, cc是是常常數(shù)數(shù)）問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211ycycy )1(0)()( yxqyxpy例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( x特別地特別地: 若若在在 i 上上有有常常數(shù)數(shù)， )()(21xyxy則則函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy在在 i 上上線線性性無無關(guān)關(guān).定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線的兩個(gè)線性無關(guān)的特解性無關(guān)的特解, , 那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)(1)的通

3、解的通解. .例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xcxcy 2.2.二階二階非齊次非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)線性方程的解的結(jié)構(gòu): :定定理理 3 3 設(shè)設(shè)*y是是二二階階非非齊齊次次線線性性方方程程)2()()()(xfyxqyxpy 的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , y是是與與( (2 2) )對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yyy 是是二二階階非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是

4、幾個(gè)函是幾個(gè)函數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxqyxpy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxqyxpy )()()(2xfyxqyxpy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的疊加原理解的疊加原理三、降階法與常數(shù)變易法三、降階法與常數(shù)變易法1.1.齊次線性方程求線性無關(guān)特解齊次線性方程求線性無關(guān)特解-降階法降階法的一個(gè)非零特解，的一個(gè)非零特解，是方程是方程設(shè)設(shè))1(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxqyxpyuyxpyuy,uv

5、令令則有則有, 0)(2(111 uyxpyuy即即解得解得,1)(21 dxxpeyvdxeyudxxp )(211,1)(2112dxeyyydxxp 劉維爾公式劉維爾公式齊次方程通解為齊次方程通解為.1)(211211dxeyycycydxxp 0)(2(111 vyxpyvy的一階方程的一階方程 v2.2.非齊次線性方程通解求法非齊次線性方程通解求法-常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為2211ycycy (3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)非齊次方程通解為2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 設(shè)設(shè)0)()(2211

6、yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程將將),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxqyxpyxcyxqyxpyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw設(shè)系數(shù)行列式設(shè)系數(shù)行列式,)()()(21xwxfyxc 則則,)()()(12xwxfyxc 積分可得積分可得,)()()(211 dxxwxfycxc,)()()(122 dxxwxf

7、ycxc非齊次方程通解為非齊次方程通解為.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyycycy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx對(duì)應(yīng)齊次方程兩特解分別為對(duì)應(yīng)齊次方程兩特解分別為,1xey xy 2對(duì)應(yīng)齊方通解為對(duì)應(yīng)齊方通解為.21xecxcy 例例, 011 xxxx,)()(21xexcxxcy 設(shè)原方程的通解為設(shè)原方程的通解為應(yīng)滿足方程組應(yīng)滿足方程組，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(cexexcxx ，11)(cxxc 原方程的通解為原方程的通解為. 1221 xxecxcyx四、小結(jié)四、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；線性相關(guān)與線性無關(guān)；降階法與常數(shù)變易法；降階法與