BBD23隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)

1、主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學(xué) 第十四講2第三節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo) 第二章 331xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxf可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱(chēng)為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .則稱(chēng)此如如 010yex1 ey0111yex1y0121yyxexy函數(shù) 為方程 所確定的隱函數(shù)隱函數(shù) .)(xfy 0),(yxf40),(yxf0),(dd

2、yxfx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 例例1 xyy 是由方程0exyey所確定的，求.y解：解：方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)。yeyxeyyy0yxy5例例2. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x)(0因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)直接將0, 0yx代入 (*)求得：6例例3. 求橢圓191622yx在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)8xyy920y2323

3、xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx將點(diǎn))3,2(23代入03341y7求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)y1yxddxeyxddyxddxe11例例4. 設(shè)8觀察函數(shù),)4(1) 1(23xexxxy方法方法: : 先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法-適用范圍適用范圍: :.)()(的情形數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.sinxxy 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).9例例1.)0(sinxxyx. 解解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為對(duì)隱式求導(dǎo)數(shù) xxylnsinln兩邊對(duì)

4、x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx求.y10 1) 對(duì)冪指函數(shù)vuy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說(shuō)明說(shuō)明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:11)01,0,0(xbabaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)yln兩邊對(duì) x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb例例2求.y12例例3 )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對(duì) x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxx

5、y41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xuuuuuuu)ln(ln0求.y13三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若變量 y 是 x 的函數(shù)， 其對(duì)應(yīng)關(guān)系是通過(guò)第三個(gè)變量 t 聯(lián)系在一起的，即 x , y 是 t 的函數(shù)。參數(shù)方程的一般形式為： tytx t 是參變量。例如：例如：242tytx表示拋物線2xy taytaxsincos表示半徑為 a 的圓：222ayx例如：例如： 炮彈以初速度 v0 與水平方向角 t 射出， 其運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：20021sincosgtatvyatvx表示。又如：又如：14若參數(shù)方程

6、)()(tytx可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時(shí), 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí), 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)15)sin(ttax)cos1 (tay求在2t處的切線方程。解解：點(diǎn)坐標(biāo)：) 12(axay 2txdyd2ttasin)cos1 (ta12t切線方程：12axay例例1 已知擺線方程16, 求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddye0ddtty0ddtxy例

7、例2. 設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì) t 求導(dǎo), 得26 ttyddtsin0ddtyteycostxtydddd2e0t1y20ddttxe17極坐標(biāo)：極坐標(biāo)：若將直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)取為極點(diǎn)，m軸的正半軸取為極軸。0 xx設(shè)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)yx,的坐標(biāo)m極坐標(biāo)系中點(diǎn)m的坐標(biāo), r, rrsincosryrxxyryxtan222r020 omr稱(chēng)為極坐標(biāo)的極徑。稱(chēng)為極坐標(biāo)的極角。把y由極軸出發(fā)逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。兩坐?biāo)系中變量間關(guān)系：yx18r在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)斜率xykdd222, ),0(2m 切線方程為22xy2例例3. 求螺線19內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)