同濟第六版高數(shù)多元函數(shù)的基本概念

1、返回返回zhouq第九章第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用logo第第1 1節(jié)節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 1 1、鄰域、鄰域 2 2 、區(qū)域、區(qū)域 3 3、二元函數(shù)、二元函數(shù)二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性 返回返回zhouq 設(shè)設(shè)),(000yxp是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點點),(000yxp距距離離小小于于 的的點點),(yxp的的全全體體，稱稱為為點點0p的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 pu， （1 1）鄰域）鄰域0p ),(0 p

2、u |0ppp.)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念( (以二元為例以二元為例) ) 例如：點例如：點(0，2)的的0.5鄰鄰 域如圖所示域如圖所示(0，2)0.5簡記為簡記為)(0pu)(00pu特記特記去心鄰域：去心鄰域： .)()(0 | ),(2020 yyxxyx返回返回zhouq（2 2）區(qū)域）區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點點為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個個點點如如果果存存在在點點是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設(shè)設(shè)epepuppe .ee 的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于ep .為為開開集集的的點點都都是是內(nèi)內(nèi)點點，則則稱稱如

3、如果果點點集集ee41),(221 yxyxe例如：例如：即為開集即為開集21如圖所示：如圖所示：返回返回zhouq的的邊邊界界點點為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點點（點點也也有有不不屬屬于于的的點點，于于的的任任一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點點epeepeepep 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 ee是是連連通通的的，則則稱稱開開集集的的點點都都屬屬于于來來，且且該該折折線線上上點點，都都可可用用折折線線連連結(jié)結(jié)起起內(nèi)內(nèi)任任何何兩兩是是開開集集如如果果對對于于設(shè)設(shè)dddd連通的開集稱為連通的開集稱為區(qū)域區(qū)域或或開區(qū)域開區(qū)域

4、.41| ),(22 yxyx例如例如xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域. （2 2）區(qū)域）區(qū)域返回返回zhouq0| ),( yxyx為有界閉區(qū)域；為有界閉區(qū)域；為無界開區(qū)域為無界開區(qū)域xyo例如，例如，無無界界點點集集為為有有界界點點集集，否否則則稱稱為為成成立立，則則稱稱切切對對一一，即即不不超超過過間間的的距距離離某某一一定定點點與與，使使一一切切點點如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于點點集集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyxxyo返回返回zhouq幾點說明幾點說明 平面上的鄰域、區(qū)域等概念可推廣到一般空間平面上的鄰域、區(qū)域等概

5、念可推廣到一般空間以及以及n n維空間中去；維空間中去； nrpppppu ,|),(00 如在空間中：如在空間中： 300,|),(rpppppu 鄰域鄰域的定義式為：的定義式為： .)()yy()xx(| )y , x( 202020 z z z，鄰域鄰域的幾何意義為半徑為的幾何意義為半徑為 ，球，球心在心在(x0， y0， z0) 球體，球體，如圖：如圖：xyz在在n n維維空間中：空間中：無幾何意義無幾何意義返回返回zhouq 設(shè)設(shè)d是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點dyxp ),(， 變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它

6、它對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(pfz ）. . （3 3）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 1、類似地可定義三元及三元以上函數(shù)、類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定義：定義：自變量自變量定義域定義域z的變化范圍稱的變化范圍稱值域值域因變量因變量 2、允許自變量變化的范圍為、允許自變量變化的范圍為定義域定義域返回返回zhouq例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義

7、域為., 42| ),(222yxyxyxd 為使分子、分母有意義，需成立下式為使分子、分母有意義，需成立下式返回返回zhouq 如圖所示，二元函數(shù)如圖所示，二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面的圖形通常是一張曲面. .),(),(| ),(dyxyxfzzyxg稱點集：稱點集：為二元為二元函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形。 3、二元函數(shù)的圖形、二元函數(shù)的圖形如如.),(222ayxyxd 222yxaz xyzo2222azyx 222yxaz .222yxaz 返回返回zhouq定定義義：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為),(,000yxpd是是其其內(nèi)內(nèi)點點或或邊邊界界點點，如如果果對對于于任

8、任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ，總總存存在在正正數(shù)數(shù) 0 0，使使得得對對于于適適合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxpp 的的一一切切點點，都都有有 |),(|ayxf成成立立，則則稱稱 a a 為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時時的的極極限限， 記記為為 ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( ayxf這這里里|0pp ）. . 二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限說明：說明：1 1）定義中）定義中pp0的方式是任意的；的方式是任意的；2 2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限3 3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二

9、元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似返回返回zhouq例例2 2 求證求證 01sin)(lim222200 yxyxyx0221sin)22( yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立證明：證明：返回返回zhouq例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解：解：22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x.

10、0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 或或y0當(dāng)當(dāng)y0時時注意注意：多元函數(shù)的極限求法較復(fù)雜，在此不多做研究；但多元函數(shù)的極限求法較復(fù)雜，在此不多做研究；但部分極限可通過一元函數(shù)的極限的有關(guān)結(jié)論求得；部分極限可通過一元函數(shù)的極限的有關(guān)結(jié)論求得；返回返回zhouq例例4 4 證明極限證明極限 不存在不存在證明：證明：26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在。故極限不存在。注意注意：證明多元函數(shù)的極限不存在時；一般是取兩種證明多元函數(shù)的極限不

11、存在時；一般是取兩種不同的路徑求極限，若兩個極限不相等，則由多元函不同的路徑求極限，若兩個極限不相等，則由多元函數(shù)極限的定義知，該數(shù)極限的定義知，該 極限不存在；極限不存在；返回返回zhouq定定 義義 ： 設(shè)設(shè)n元元 函函 數(shù)數(shù))(pf的的 定定 義義 域域 為為 點點 集集0, pd是是 其其 內(nèi)內(nèi) 點點 或或 邊邊 界界 點點 ，如如 果果 對對 于于 任任 意意 給給 定定的的 正正 數(shù)數(shù) ， 總總 存存 在在 正正 數(shù)數(shù) ， 使使 得得 對對 于于 適適 合合 不不 等等式式 |00pp的的 一一 切切 點點dp ， 都都 有有 |)(|apf成成 立立 ，則則 稱稱 a a 為為n

12、元元 函函 數(shù)數(shù))(pf當(dāng)當(dāng)0pp 時時 的的 極極 限限 ， 記記 為為 apfpp )(lim0. . 多元函數(shù)極限的推廣多元函數(shù)極限的推廣 在在n維向量空間中，可將維向量空間中，可將n元函數(shù)元函數(shù)f( (x1，x2，xn) )看成空間點看成空間點p ( (x1，x2，xn) )的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為點函數(shù)點函數(shù)，記為：記為： f( (p) )返回返回zhouq設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù))(pf的的定定義義域域為為點點集集0,pd 點點d ，如如果果)()(lim00pfpfpp 則則稱稱 n 元元函函數(shù)數(shù))(pf在在點點0p處處連連續(xù)續(xù). . 三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義：定義

13、：說明：說明： 同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, ,關(guān)于連續(xù)關(guān)于連續(xù)：多元函數(shù)在：多元函數(shù)在p0 0點連續(xù)，即指極限成立點連續(xù)，即指極限成立 )()(lim00pfpfpp 關(guān)于間斷關(guān)于間斷：沒有定義的點一定是間斷點，多元：沒有定義的點一定是間斷點，多元函數(shù)的間斷點可形成一條線；函數(shù)的間斷點可形成一條線；連續(xù)函數(shù)求極限等同求連續(xù)函數(shù)求極限等同求函數(shù)值函數(shù)值返回返回zhouq例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解)0 , 0(),(0fyxfyyxyxyxxyxyx22222

14、222330 yx ),0 , 0(),(lim)0 , 0(),(fyxfyx故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處連續(xù)處連續(xù). .0返回返回zhouq例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化， 極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)21kk 則極限則極限返回返回zhouq 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)上的多元連續(xù)函數(shù)，在函數(shù)，在d上

15、至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上的多元連續(xù)函數(shù)，如果上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在在d上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在d上取得介于這兩上取得介于這兩值之間的任何值至少一次值之間的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理：）最大值和最小值定理：（2 2）介值定理：）介值定理：閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)的連續(xù)性：多元函數(shù)的連續(xù)性：一切多元一切多元初等函數(shù)初等函數(shù)在其定義在其定義區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的；是連續(xù)的；注：以上結(jié)論都不作證明，可直接應(yīng)用；注：以上結(jié)論都不作證明，可直接應(yīng)用；關(guān)于連

16、續(xù)函數(shù)的重要結(jié)論關(guān)于連續(xù)函數(shù)的重要結(jié)論返回返回zhouq例例 .11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 函數(shù)在函數(shù)在(0(0，0)0)點無定義，但點無定義，但(分子有理化分子有理化)(為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù))(求函數(shù)值求函數(shù)值 )返回返回zhouq多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）小結(jié)小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義返回返回zhouq 若若點點),(yx沿沿著著無無數(shù)數(shù)多多條條平平面面曲曲線線趨趨向向于于點點),(00yx時時，函函數(shù)數(shù)),(yxf都都趨趨向向于于 a，能能否否斷斷定定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？ 思考題思考題解答解答: 不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因若取因若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41返回返回z