一元函數(shù)積分學(xué)第25節(jié)定積分

1、 第二節(jié)第二節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義一、兩個(gè)實(shí)例一、兩個(gè)實(shí)例二、定積分的定義二、定積分的定義返回返回四、定積分的性質(zhì)與四、定積分的性質(zhì)與n-ln-l公式公式xyo? a曲邊梯形曲邊梯形1 1 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積一、兩個(gè)實(shí)例一、兩個(gè)實(shí)例與兩條直線與兩條直線ax 、bx 0 y和和)(xfy ab由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線直接求直接求a a是困難的是困難的要設(shè)法近似取代，要設(shè)法近似取代，且要盡量精確且要盡量精確所圍成所圍成矩形面積矩形面積ahhaahb梯形面積梯形面積)(2bah方法方法: 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代

2、曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，顯然，小矩形越多，abxyo（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）abxyo（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）矩形總面積越接近曲邊梯形面積矩形總面積越接近曲邊梯形面積由此得出求曲邊梯形面積由此得出求曲邊梯形面積a a的一般思路：的一般思路：曲邊梯形如圖曲邊梯形如圖,1210bnxnxxxxa - - l,ba內(nèi)插入若干個(gè)分點(diǎn)，內(nèi)插入若干個(gè)分點(diǎn)，在區(qū)間在區(qū)間abxyo;1- - - d diiixxx長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為,1- -iixx，小區(qū)間小區(qū)間,n個(gè)個(gè)ba分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)ix x在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iixx,1- -iiixfad d )(x x為高的

3、小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxxx x- -(1) (1) 分割分割(2) (2) 近似替代近似替代iiixfsd d )(x x相應(yīng)曲邊梯形面積的近似值為相應(yīng)曲邊梯形面積的近似值為ix xix1x1- -ix1- -nxx2 2iniixfad d )(1x x曲邊梯形面積曲邊梯形面積a的近似值為的近似值為則當(dāng)則當(dāng) 0 時(shí)時(shí),就有就有為此為此必須讓所有區(qū)間的長(zhǎng)度都無(wú)限縮小必須讓所有區(qū)間的長(zhǎng)度都無(wú)限縮小即即:iniixfad d )(lim10 x x 曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為(3) (3) 求和求和將所有小曲邊梯形的面積相加可得將所有小曲邊梯形的面積相加

4、可得(4) (4) 取極限取極限要得到要得到a a的精確值的精確值 必須利用極限工具必須利用極限工具, ,設(shè)設(shè)為所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值,xmaxn21d d lxd dxd d,2 2 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，是時(shí)間間隔是時(shí)間間隔,21tt上上 t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s.s.（3）將各小段的路程相加，便得到路程的近似值，）將各小段的路程相加，便得到路程的近似值，)(tvv 已知速度已知速度0)(tv，且且思路思路：因?yàn)樗俣仁亲兓?，故無(wú)法直接求出路

5、程因?yàn)樗俣仁亲兓?，故無(wú)法直接求出路程s s，于是，于是（1）把整段時(shí)間分割成若干小段，）把整段時(shí)間分割成若干小段，（2）每小段上速度看作不變，求出該小段上路程的近似值）每小段上速度看作不變，求出該小段上路程的近似值（4）通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值）通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值（1 1）分割）分割212101tttttttnn - -l1- - - d diiitttiiitvsd d d d)( 某小段路程值某小段路程值某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度（3）求和）求和iinitvsd d )(1 （4 4）取極限）取極限,max21ntttd dd dd d l iniit

6、vsd d )(lim10 路程的精確值路程的精確值返回返回即：即：(2) (2) 近似替代近似替代返回返回從以上兩例可以看出：從以上兩例可以看出：（2 2）近似替代）近似替代（1 1）分割）分割（3）求和）求和（4 4）取極限）取極限兩個(gè)背景完全不同的例子，卻有著完全類似的解決方案兩個(gè)背景完全不同的例子，卻有著完全類似的解決方案當(dāng)我們忽略兩例的背景，而把上述解題的思路抽象出來(lái)，當(dāng)我們忽略兩例的背景，而把上述解題的思路抽象出來(lái)，就可以得到以下重要的定積分的概念就可以得到以下重要的定積分的概念設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界， bxxxxxann - -1210l1- - - d di

7、iixxx，), 2 , 1(l i， 定義定義二、定積分的定義二、定積分的定義我我們們就就稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限 i為為函函數(shù)數(shù))(xf 記為記為 baidxxf)(iinixfd d )(lim10 x x 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和附注附注： badxxf)( badttf)( baduuf)(而而與與積積分分變變量量字字母母的的選選取取無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .即即 稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. . 定理定理1 1)(xf一一定定在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. . 存在定理存在定理定理定理2

8、 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界， 則則)(xf也一定在區(qū)間也一定在區(qū)間,ba上可積上可積. . 怎樣的函數(shù)怎樣的函數(shù))(xf才才在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積呢？呢？. . 若不特別申明，我們以后只討論連續(xù)函數(shù)的定積分若不特別申明，我們以后只討論連續(xù)函數(shù)的定積分例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.10dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點(diǎn)點(diǎn)為為nixi ，(ni, 2 , 1l )小區(qū)間小區(qū)間,1iixx- -的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度nxi1 d d，(ni, 2 , 1l )取取iix x x iinixfd d )(1x xiinixd d x x1nni

9、ni11 ), 2 , 1(nil niin121則：則：2)1(12 nnn)(21 niinixfd d )(lim10 x x 故：故：dxx 1021 1 1這顯然與實(shí)際吻合這顯然與實(shí)際吻合但類似的計(jì)算非常困難，參見教材但類似的計(jì)算非常困難，參見教材p123 p123 例例1 1因此，要尋找求定積分的更好的方法因此，要尋找求定積分的更好的方法 牛牛萊公式萊公式, 0)( xf baadxxf)(表示表示曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf - - baadxxf)(表示表示曲邊梯形面積的代數(shù)和曲邊梯形面積的代數(shù)和1a2a3a4a4321)(aaaadxxfba - - - -三

10、、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義表示表示曲邊梯形面積的負(fù)值曲邊梯形面積的負(fù)值 f (x) 任意任意即：即：在在 x 軸下方的面積取軸下方的面積取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)軸上方的面積取軸上方的面積取正號(hào)正號(hào)；在在之間的之間的各部分面積的代各部分面積的代數(shù)和數(shù)和直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xbxaxxfx ,)( - - -例例2 2 利用幾何意義計(jì)算定積分利用幾何意義計(jì)算定積分解解1 1dxx 10)1表示表示由由 x = 0, x = 1, y = 0, y = x所圍成的直角三角形的面積所圍成的直角三角形的面積表示表示1121 21 dxx - - sin)2由由

11、x = -, x =, y = 0, y = sinx 所圍成的兩塊圖形所圍成的兩塊圖形兩塊圖形面積相等兩塊圖形面積相等, 又分別在上下半平面又分別在上下半平面.= 0.)110dxx .sin)2dxx - - .)3022dxxaa - -6420246-1 1-1-1的面積的面積, ,例例2 2 利用幾何意義計(jì)算定積分利用幾何意義計(jì)算定積分.)110dxx 解解.sin)2dxx - - .)3022dxxaa - -是半徑為是半徑為 a 的圓的圓表示表示半徑為半徑為 a 的圓面積的圓面積的四分之一的四分之一( (第一象限部分第一象限部分) )322xay- - dxxaa - -022

12、故故aa24a 用上述方法求定積分只適用于特殊情形用上述方法求定積分只適用于特殊情形, ,一般情形一般情形, ,需另謀出路需另謀出路 牛牛萊公式萊公式對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定: :說(shuō)明說(shuō)明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在， 且且不考慮積分上下限的大小不考慮積分上下限的大小四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì) 和和牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式證證 badxxgxf)()(iiinixgfd d )()(lim10 x xx x iinixfd d )(lim10 x x iinixgd d )(lim10 x x badxxf)(.)( badxx

13、g（此性質(zhì)可以推廣到此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和有限多個(gè)函數(shù)作和的情況的情況） badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)2 2函數(shù)的和與差可與函數(shù)的和與差可與定積分交換順序定積分交換順序dxba 1dxba ab- - .性質(zhì)性質(zhì)1 1證證 badxxkf)(iinixkfd d )(lim10 x x iinixfkd d )(lim10 x x iinixfkd d )(lim10 x x .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)3 3常數(shù)可與定積分交換順序常數(shù)可與定積分交換順序常數(shù)是常數(shù)是“自由人自由人” babadxxfkdxxkf)()( (k為常數(shù)為常數(shù)).

14、補(bǔ)充補(bǔ)充：不論：不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, , 上式總成立上式總成立. .cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf定積分對(duì)于定積分對(duì)于積分區(qū)間積分區(qū)間具有可加性具有可加性 badxxf)( - - cbcadxxfdxxf)()(則則 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)1 1、2 2、3 3常用于定積分的常用于定積分的計(jì)算計(jì)算證證, 0)( xf, 0)( x xif), 2 , 1(nil , 0 d dix, 0)(1 d dx x iinixf,max21nxxx

15、d dd dd d l iinixfd d )(lim10 x x . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)5 5解解令令,)(xexfx- - 0, 2- - x, 0)( xf, 0)(02 - - - -dxxexdxex - -02,02dxx - - 于是于是dxex - -20.20dxx - - 性質(zhì)性質(zhì)5 5常用于定積分的常用于定積分的大小比較大小比較3性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( - -xfxg, 0)()( - - dxxfxgba, 0)()( - - babadxxfdxxg（1）)(ba 證證, )()()(xfxfxf - -,)()

16、()(dxxfdxxfdxxfbababa - -即即dxxfba )(dxxfba )(.說(shuō)明：說(shuō)明： 可積性是顯然的可積性是顯然的. .性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：dxxfba )(dxxfba )(.（2）證證,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba- - - - 性質(zhì)性質(zhì)6常用于常用于估計(jì)積分值的大致范圍估計(jì)積分值的大致范圍性質(zhì)性質(zhì)6 6解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx4證證mdxxfabmba - - )

17、(1)()()(abmdxxfabmba- - - - 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式性質(zhì)性質(zhì)7常用于常用于有關(guān)有關(guān) 定積分的定積分的證明題中證明題中使使,)(1)( - - x xbadxxfabf)(ba x xdxxfba )()(abf- - x x.即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoabx x)(x xf底底邊邊， 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，考察定積分考察定積分 xadxxf)( xadttf)(記為：記為：.)()( xadtt

18、fx稱為稱為積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)如果上限如果上限x在區(qū)間在區(qū)間,ba上任意變動(dòng)，上任意變動(dòng)，,ba上定義了一個(gè)函數(shù)，上定義了一個(gè)函數(shù)，先引入積分上限函數(shù)的概念先引入積分上限函數(shù)的概念 x為為,ba上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，并且設(shè)并且設(shè)所以它在所以它在一個(gè)取定的一個(gè)取定的x值，定積分值，定積分都都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，則對(duì)于每則對(duì)于每或：或：變上限函數(shù)變上限函數(shù)中值定理的應(yīng)用中值定理的應(yīng)用: : 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)abxyo積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xxd d 證：證：dttfxxxxa d d d d )()()()(xxx - -d

19、 d dddttfdttfxaxxa - - d d )()()(x x顯然只能利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證顯然只能利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證（p129）dttfdttfdttfxaxxxxa - - d d )()()(,)( d d xxxdttf由由積分中值定理積分中值定理得得xfd d dd)(x x,xxxd d x x),(x xfx d ddd)(limlim00 x xfxxxd dd d d dddxxd dx x, 0).()(xfx abxyoxxd d )( x x證畢證畢x x定理定理 （原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）則積分上限的函數(shù)則積分上限的函數(shù)就是就是)(xf在在,ba上的一

20、個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). . 定理的重要意義定理的重要意義：（1 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的. .（2 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系. . xadttfx)()(如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，)(sin)(5202xdttxx 求求，：設(shè)：設(shè)例例)()()()(xxfdttfxa 一一般般地地：一方面，由定積分的定義知，路程一方面，由定積分的定義知，路程s為為 21)(ttdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12tsts- -).()()(1221t

21、stsdttvtt- - ).()(tvts 其中其中一個(gè)實(shí)例：變速直線運(yùn)動(dòng)中一個(gè)實(shí)例：變速直線運(yùn)動(dòng)中 位置函數(shù)與速度函數(shù)的位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系聯(lián)系設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，是時(shí)間間隔是時(shí)間間隔,21tt上上 t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s.s.)(tvv 已知速度已知速度0)(tv，且且由此可見，定積分是其由此可見，定積分是其原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量它有一般性嗎？它有一般性嗎？定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如果如果)(xf是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,

22、ba上的上的一個(gè)原函數(shù)，一個(gè)原函數(shù)，又又也是也是)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), , cxxf - -)()(,bax 證證牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 badxxf)()()(afbf- - 則則 xadttfx)()(令令ax ,)()(caaf - -0)()( dttfaaa,)(caf ).()()(afbfdxxfba- - 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式cxxf - -)()(令令bx ,)()(cbbf - -)()()(afbfb- - 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明：)()()(afbfdxxfba- - baxf)( 求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積

23、分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題. .于是，于是，過(guò)程為：過(guò)程為：dxxfba )( baxf)( )()(afbf- - 注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，上式仍成立上式仍成立d d例例6 6 求求 原式原式1033 x解解.102 dxx303133- - 31 例例8 8 求求 原式原式 31arctan- - x解解.11312 - - dxx)4(3 - - - )1arctan(3arctan- - - 127 例例7 7 求求 .tan40 xdx原式原式 40cosln x- - 解解022ln- - - 2ln21 例例9 9 求求 .112dxx - - -解解dxx - - -121

24、12|ln- - - x. 2ln2ln1ln- - - - xyo 解解 面積面積 0sinxdxa - - 0cosx)1(1- - - 10. 2 例例11 11 求求 .)1sincos2(20 - - dxxx例例12 12 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf原式原式 20cossin2 xxx- - - .23 - - 解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式xyo12. 6 211025xx 例例13 13 求求 .,max222 - -dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,211

25、00222 - - xxxxxx - -21210022dxxxdxdxx原式原式.2153138021)38(0 - - - - - - - xyo2xy xy 122- -213102023323 - -xxx例例14 14 求求.120 - -dxx解解 - - - - 102111dxxdxx原式原式2121022121 - - - - xxxx - - - - 1021)1()1(dxxdxx1 , 0)(2)( - - xfxf, 1)( xf, 01)0( - - f - - 10)(1)1(dttff - - 10)(1 dttf, 0 所以根據(jù)介值定理所以根據(jù)介值定理0)(

26、xf即原方程在即原方程在00，11上只有一個(gè)解上只有一個(gè)解. .證證, 1)(2)(0- - - dttfxxfx令令15第四節(jié)第四節(jié) 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算一、定積分的換元法一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法返回返回定積分雖然是定積分雖然是 f (x) 的原函數(shù)在的原函數(shù)在 a , b 上的增量，上的增量，但在求定積分時(shí)通常不先求出原函數(shù)但在求定積分時(shí)通常不先求出原函數(shù), 再求增量再求增量,而是把求不定積分的方法用到時(shí)求定積分的過(guò)程中而是把求不定積分的方法用到時(shí)求定積分的過(guò)程中,從而就有了與求不定積分十分類似的從而就有了與求不定積分十分類似的換元法和分部積分法換

27、元法和分部積分法定理定理一、定積分的換元法一、定積分的換元法p150應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意: :不必象計(jì)算不定積分那樣不必象計(jì)算不定積分那樣要把要把t的上、下限分別代入的上、下限分別代入然后相減就行了然后相減就行了.求出求出)()(ttf 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù))(t 后，后，（2 2）（1 1） 用用)(tx 把變量把變量x換成新變量換成新變量t時(shí)，時(shí)，積分限也要相應(yīng)的改變積分限也要相應(yīng)的改變. . 換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限)(t )(t而只要把新變量而只要把新變量無(wú)需回代無(wú)需回代再變換成原變量再變換成原變量 x 的函數(shù)，的函數(shù)，例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xd

28、xx - - 015dtt1066t .61 解：解： f (x) 中含中含 sinx 與與 cosx 的積，的積， 205sincosxdxx - - 205)cos(cos xxd2066cos - - x)61(0- - - .61 換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限不換元?jiǎng)t不換限不換元?jiǎng)t不換限故可故可“湊微分湊微分”)cos( - -x類例：類例：p150, 例例4例例2 2 計(jì)算計(jì)算.022 - -rdhhrh故可故可“湊微分湊微分”解解hhr2)(22- - - -被積函數(shù)中含有根式，被積函數(shù)中含有根式，于是于是rhr02322)(3221 - - - 但但 - -rdhhrh022 - - -

29、 - rhrdhr02222)(21)31(03r- - - 33r 例例3 3 計(jì)算計(jì)算.sinsin053 - -dxxx解解xxxf53sinsin)(- - 23sincosxx - -053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx - -223sincosdxxx 2023sinsinxdx - -223sinsinxdx 2025sin52 x - -225sin52x.54 練習(xí)：練習(xí)：p150, 例例5例例4 4 計(jì)算計(jì)算.212102 - - dxxx解解分母中出現(xiàn)根式分母中出現(xiàn)根式4222 - - 22x- -而分子中同時(shí)出現(xiàn)而分子中同

30、時(shí)出現(xiàn) x 和和 1 ，故應(yīng)分開處理。，故應(yīng)分開處理。原式原式 - - 10222dxxx - - 10221dxx - - - - 10222)2(xxd102arcsin x 10222x- - - 04- - 例例5 5 計(jì)算計(jì)算解解xdxx 40122被積函數(shù)是分式函數(shù)，分子次數(shù)高于分母，故可分拆變形。被積函數(shù)是分式函數(shù)，分子次數(shù)高于分母，故可分拆變形。xdxx 40122xdxx 40122321xdxxdx 404012231221)12()12(43)12()12(4140214021 - -xdxxdx40214023)12(243)12(3241 xx)13(23)127(6

31、1- - - - 3223313 )12(21 xddx證證,)()()(00 - - - aaaadxxfdxxfdxxf6 - - 0)(adxxf - - -0)(adttf,)(0 - -adttf),()(tftf - - - - - aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adxxf),()(tftf- - - - - - - aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 例例7 7 計(jì)算計(jì)算.1sin11232 - - dxxxx解解這是對(duì)稱區(qū)間上的積分這是對(duì)稱區(qū)間上的積分22 - - 但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，原式原式 1

32、0arctan2xx - - 故必須分開處理：故必須分開處理： - - 11221dxxx - - 11231sindxxx - - 102)111(2dxx0 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . - - bababavduuvudv二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法.duvuvudv - - 例例11 11 計(jì)算計(jì)算.sin0 xdxx解解uvuvduvdu - - 0)cos(xxd原式原式 = = 0)cos(xx - - dxx - - - 0)cos( dxx 0cos 0s

33、inx 例例12 12 計(jì)算計(jì)算.cos402 dxxx解解udvuvduvdu 40tan xxd原式原式 = = 40)(tan xx dxx - -40tan 4 40cosln x 2ln214- - 練習(xí)練習(xí) 計(jì)算計(jì)算.2cos140 xxdx解解,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 - - 40secln218 - - x.42ln8- - 例例13 13 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx 210arcsin xdx 210arcsin xx - - -21021xxdx621

34、)1(112120221xdx- - - 12 21021x- - . 12312- - 解解被積函數(shù)是反三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積，故被積函數(shù)是反三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積，故uvuvduvdu=xdx例例14 14 計(jì)算計(jì)算.ln212 xdxx解解uvuvduvdu 213)31(lnxxd原式原式 = =213ln31 xxxdxln31213 - -32ln8 dxx - -212312ln38 21391 - -x2ln38 97- -例例15 15 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxinnn - - - - - - - - - - nnnnnnnnnn,325

35、4231,22143231ll 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1 1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證設(shè)設(shè),sin1xun- - ,sinxdxdv ,cossin)1(2xdxxndun- - - ,cosxv- - 連續(xù)偶數(shù)連續(xù)偶數(shù)連續(xù)奇數(shù)連續(xù)奇數(shù)(拆出一個(gè)拆出一個(gè) sinx 來(lái)來(lái))x2sin1- -0 dxxxnxxinnn - - - - - - 2202201cossin)1(cossindxxndxxninnn - - - - - -22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2- - - - - -21- - - nninni積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式ni42

36、23- - - - - nninni,ll直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0 0或或1 1為止為止 2200cossinxdxxdxinnn,sin1xun- - ,cossin)1(2xdxxndun- - - ,cosxv- - ,214365223221202immmmim - - - - - l,3254761222122112immmmim - - - l), 2 , 1(l m,2200 dxi , 1cossin20012 - - xxdxi,221436522322122 - - - - - lmmmmim.325476122212212 - - - lmmmmim于是于是返回返回故故

37、而而105483254767 i例例:7681052214365878 i例例16 16 計(jì)算計(jì)算.sin420 dxx 20cos2 tt- - 解解先設(shè)法去掉根式先設(shè)法去掉根式,xt 則則udvuvvdu令令原式原式 = 202sin tdtt 20sin2 tdtt - - -20cos2 tdt 20sin20 t 2 tdtdx2 ,costv- - 例例17 17 計(jì)算計(jì)算 - - aadxxax022)0(.1ax ,2 t0 x, 0 t解解令令,sintax ,costdtadx 原式原式 - - 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtt

38、tt - - 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 )cos(sinttd 0第五節(jié)第五節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用一、一、 定積分的元素法定積分的元素法(微元法微元法)二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積回顧回顧求曲邊梯形面積的問(wèn)題求曲邊梯形面積的問(wèn)題 badxxfa)(ab xyo)(xfy 一、一、 定積分的元素法定積分的元素法它的面積它的面積將面積表示為定積分的將面積表示為定積分的步驟步驟如下如下:（3 3）求和求和，得，得a的近似值的近似值.)(1iinixfad d x x（n. i1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成

39、個(gè)長(zhǎng)度為個(gè)長(zhǎng)度為的小區(qū)間，相的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為應(yīng)的曲邊梯形被分為n個(gè)小窄曲邊梯形，第個(gè)小窄曲邊梯形，第 個(gè)小窄個(gè)小窄曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 d d niiaa1則則,iad dixd diiixfad d d d)(x xiixd d x x（2 2）計(jì)算）計(jì)算iad d的的近似值近似值 )(xfy y（4 4） 求極限求極限，得，得a的精確值的精確值 badxxf)(iinixfad d )(lim10 x x ab xo由于區(qū)間由于區(qū)間xi , xi + x的任意性的任意性窄曲邊梯形的面積窄曲邊梯形的面積a 就可表示為：就可表示為：dxxf)( .)( badxxfd

40、xxfani)(lim10 在以上過(guò)程中，在以上過(guò)程中， ai 的獲取最為關(guān)鍵的獲取最為關(guān)鍵以及以及i 的任意性的任意性可以省略足標(biāo)可以省略足標(biāo) i ，并將，并將取取成左端點(diǎn)取取成左端點(diǎn) x這樣這樣, 任一小區(qū)間任一小區(qū)間x , x + x上的上的a =對(duì)面積元素求和取極限（即積分），對(duì)面積元素求和取極限（即積分），就有：就有：xdxx da面積元素面積元素使用使用元素法元素法解題的一般步驟：解題的一般步驟：1）根據(jù)所求量）根據(jù)所求量 a 的具體情況，的具體情況，為積分變量，為積分變量，2 2）設(shè)想把區(qū)間）設(shè)想把區(qū)間,ba分成分成 n 個(gè)小區(qū)間，個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為取其中任一小區(qū)間

41、并記為 ,dxxx ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量的近似值求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量的近似值 u稱為稱為量量 a的元素的元素dadxxfa)( 前述這種求面積的方法稱為前述這種求面積的方法稱為“元素法元素法”且記作且記作 即得所求量即得所求量a的積分表達(dá)式的積分表達(dá)式: :,ba上作定積分，上作定積分， 在區(qū)間在區(qū)間3 3）以所求量）以所求量a的元素的元素dxxf)(為被積表達(dá)式，為被積表達(dá)式，da = .)( badxxfax)選取一個(gè)變量選取一個(gè)變量(例如例如,ba；并確定它的變化區(qū)間并確定它的變化區(qū)間能使用能使用“元素法元素法”求解的所求量求解的所求量 a必須符合下列條件：必須符合下列條件

42、：（1 1）a是一個(gè)與變量是一個(gè)與變量 x的變化區(qū)間的變化區(qū)間 ba, 有關(guān)的量；有關(guān)的量；（2 2）a對(duì)于區(qū)間對(duì)于區(qū)間 ba, 具有可加性，具有可加性，則則 a相應(yīng)地分成許多部分量，相應(yīng)地分成許多部分量，就是說(shuō)，就是說(shuō)，如果把區(qū)間如果把區(qū)間 分成許多部分區(qū)間，分成許多部分區(qū)間， ba,而而 a 等于所有部分量之和等于所有部分量之和；且兩者的差是一個(gè)比且兩者的差是一個(gè)比xi 還要高階的無(wú)窮小還要高階的無(wú)窮??；即即: :兩者的差與兩者的差與xi 比值的極限為零比值的極限為零幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用元素法元素法的的應(yīng)用領(lǐng)域：應(yīng)用領(lǐng)域：平面圖形的平面圖形的面積面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；返回返回功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等物理中的應(yīng)用物理中的應(yīng)用xyoxyo)(xfy a