第二類曲面積分的計算方法

1、研究生入學考試重點考點_第二類曲面積分的計算方法趙海林 張緯緯摘要 利用定義法，參數(shù)法，單一坐標平面投影法，分項投影法，高斯公式，Stokes公式，積 分區(qū)間對稱性，向量計算形式以及利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系等方法進行求解.關(guān)鍵詞 第二類曲面積分 定義法 參數(shù)法 投影法 高斯公式 Stokes公式 向量計算形式1 引言 曲面積分是多元函數(shù)積分學的重要組成部分，在曲面積分的計算中，綜合運用著一元積分與重積分計算思路、方法與技巧，在第二型曲面積分的學習過程中，必須在理解概念和性質(zhì)的同時，掌握求第二型曲面積分的方法和技巧.由于第二型曲面積分的概念抽象費解，計算方法靈活多變，而且涉及的數(shù)學知識面廣，掌

2、握起來有一定的難度，而且是數(shù)學分析學習中的難點,許多學生在求解這一類題型時感到相當困難，因此本文給出了第二型曲面積分計算的幾種方法，并舉例說明了這幾種方法的應用，力圖使學生能計算第二型曲面積分，并能進一步了解第一型曲面積分與第二型曲面積分，曲面積分、曲線積分與重積分之間的密切聯(lián)系，讓各種計算方法更加直觀的呈現(xiàn)在讀者面前，體現(xiàn)了第二型曲面積分計算方法的應用.2 預備知識21第二型曲面積分的概念2.1.1 流量問題(物理背景)設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體（假定密度為）的速度為,是一光滑的有向曲面，求單位時間內(nèi)從曲面一側(cè)流向另一側(cè)的流量. 若為平面上面積為的區(qū)域，而流速是常向量，指定側(cè)的單位法向量 則

3、若為曲面，流速不是常向量，則用下面的方法計算流量. (1) 分割 將任意分成小塊同時代表其面積. (2) 近似 ，以點處的流速和單位法向量分別代替上其他各點處的流速和單位法向量，得到流過指定側(cè)的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取極限 2.1.2 定義 . 若存在，或者. 22 第二型曲面積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 (方向性) 設(shè)向量值函數(shù)在定向的光滑曲面上的第二型曲面積分存在.記為與取相反側(cè)的曲面，則在上的第二型曲面積分也存在，且成立.注意這個等式兩邊的是方向相反的. 性質(zhì)2 （線性性） 若 存在，則有=，其中是常數(shù). 性質(zhì)3 (曲面可加性) 若曲面是由兩兩無公共內(nèi)點的曲面塊所組成，且存在，則有

4、2.3 第二型曲面積分的數(shù)量表達式 記，稱為曲面 從而.即，是在面上的投影；是在面上的投影；在在面上的投影. 他們的取值可正、可負、也可為零.如當時，取符號. 特殊形式：稱為對坐標的曲面積分； 稱為對坐標的曲面積分； 稱為對坐標的曲面積分.2.4 介紹兩類曲面積分之間的聯(lián)系 與曲線積分一樣，當曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設(shè)為光滑曲面，并以上側(cè)為正側(cè)，為上的連續(xù)函數(shù)，曲面積分在的正側(cè)進行.因而有 (1) 由曲面面積公式，其中是曲面的法線方向與軸正向的交角，它是定義在上的函數(shù).因為積分沿曲面正側(cè)進行，所以是銳角 .又由是光滑的，所以在閉區(qū)域上連續(xù).應用中值定理，在內(nèi)必存在一點

5、，使這點的法線方向與軸正向的夾角滿足等式或.于是. 個部分相加后得 (2) 現(xiàn)在以表示曲面在點的 法線方向與軸正向夾角的余弦，則由的連續(xù)性，可推得當時，式右端極限存在.因此由式得到 (3) 這里注意當改變曲面的側(cè)向時，左邊積分改變符號，右邊積分中角改為.因而也改變符號，所以右邊積分也相應改變了符號.同理可證： (4) 其中分別是上的法線方向與軸正向和與軸正向的夾角.一般地有 （5） 3 介紹第二型曲面積分的多種計算方法在數(shù)學分析課程中，有關(guān)曲面積分，尤其是第二型曲面積分的計算是一個重點、也是一個難點問題，學生在學習過程中往往對這一問題感到束手無策、無從下手。這一方面是由于曲面積分計算本身的復雜

6、性，它既要考慮到曲面的形狀及其投影區(qū)域，又要注意到曲面的側(cè)；另一方面,也表明學生對這一計算問題缺乏必要而又行之有效的方法.第二型曲面積分常用的計算方法主要有定義法，參數(shù)法，單一坐標平面投影法，分項投影法，利用高斯公式求解，利用公式求解，利用積分區(qū)間對稱性，向量法以及利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系等方法進行求解.3.1 直接利用定義法進行計算 若在光滑有向曲面上連續(xù),則存在,且有計算公式: 其中表示在面上的投影區(qū)域，當曲面取上側(cè)時公式的右端取“”號，取下側(cè)時取“”號.這一公式表明，計算曲面積分時，只要把其中變量換為表示的函數(shù)，然后在的投影區(qū)域上計算二重積分，并考慮到符號的選取即可，這一過程可總結(jié)成口

7、訣：“一代二投三定向”.類似地，如果曲面的方程，則 如果曲面的方程為,則 例1 計算積分：其中是球面在第一、八卦限的部分，取球面外側(cè). (如圖) 解 設(shè),曲面在第一、八卦限部分的方程分別為: = = 它們在面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限的部分. + 圖 計算第二型曲面積分時，千萬不能與二重積分等同或混淆,第二型曲面積分是按一定規(guī)則化為投影區(qū)域上的二重積分進行計算的，所以在計算過程中一定要牢記口訣：“一代二投三定向”.請看下例：例2 計算:+，其中曲面為球面限于，內(nèi)的部分外側(cè) (如圖). 解 對于，要將投影到面上，且方程表示為 ,取前側(cè),由，消去得，因此投影區(qū)域：zz，于是 計算,要將投影到

8、面上，此時方程表示為(不是單值的)，再把分為左片(即的部分)且取左側(cè)和右片(即的部分)且取右側(cè)，在面上投影域為：z(注意投影區(qū)域不是一條曲線)，因此 + 對于,要將投影到面上，投影域為：，此時方程應為，且取上側(cè)，于是= ，故. 圖3.2 利用參數(shù)方程的計算方法 如果光滑曲面由參數(shù)方程給出： .若在上各點他們的函數(shù)行列式不同時為零，則分別有 (1) (2) (3) 注 三式中的正負號分別對應曲面的兩個側(cè)，特別當平面的正方向?qū)谇嫠x定的正向一側(cè)時，取正號，否則取負號. (4) 例如若為：，則可以看成參數(shù)為的參數(shù)方程確定的曲面，則由于， 所以 由此可見，只要確定一次符號且不需要向其它坐標平面進

9、行投影，從而比我們常用的方法更簡便. 下面舉例說明：例 1 計算 ，其中為橢圓面的上半部分并選取外側(cè). 解 把曲面表示為參量方程： . 由式有 其中 =， 積分是在的正側(cè)進行.由上述的注，式右端正號，即 例 2 計算積分，為曲面的上側(cè). 解 取，則， 取為曲面的下側(cè).則 . . 從而.例3 計算 其中是球面的上半部分并取外側(cè)為正向. 解1 可表示為 其中 由于積分按S上側(cè)進行，且=1，故式應取正號， 而 所以 解2 由于可表示為， 所以 本例計算雖然簡單，但不難看出用公式計算時不必對分劃并討論符號代之以在平面上二重積分. 例4 計算其中，是球面，且設(shè)積分是沿球面外側(cè). 解 可表示為. 由于在第

10、一象限積分按上側(cè)積分，而= ，故應取正號. 因為=類似可求得 =，所以.3.3 單一坐標平面投影法 設(shè)光滑曲面：,（是在平面上的投影區(qū)域），函數(shù)在上連續(xù)，在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 ，當取上側(cè)時，上式右邊取正號；當取下側(cè)時，上式右邊取負號. 若的方程為，也有類似的公式：；當取前側(cè)時，上式右邊取號；當取后側(cè)時，上式右邊取負號. 當取右側(cè)時，上式右邊取正號；當取左側(cè)時，上式右邊取負號.例1 計算積分，其中為圓錐面介于部分的上側(cè). 解 的方程為，取左側(cè)，則 原式 . 例 2 求，其中為錐面 部分的正側(cè). 解 ： ，則，.又在平面上的投影：.因為取下側(cè)，所以 最后一個等號用到二重積分的對稱性質(zhì).3.4

11、 分項投影法 分項投影法是利用第二型曲面積分的線性性： 分別將右式三項投影到平面上，由于分別投影直接計算二重積分，避免投影到一面上偏導的計算，此法非常實用，看似復雜，實則簡單，非常實用. 計算中要注意原曲面與投影曲面一一對應，若不一一對應要分項投影，如一個完整的球投影到平面上，上下半球曲面要分別投影計算，計算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡化計算. 例1 計算積分，其中是四面體，的表面，外法線是正向. 解 這是三個第二型曲面積分之和.首先計算第二型曲面積分，而曲面是由四個有向的三角形區(qū)域：組成.其中與在坐標面的面積微元，在坐標面的投影都是三角形區(qū)域，從而 . 同理可得 ，于是 . 例2 計算第二型曲

12、面積分 ， 其中是平面六面體的表面并取外側(cè)為正向，為上的連續(xù)函數(shù). 解 記 （前側(cè)為正向）， （后側(cè)為正向) 積分在另外四個曲面上的積分為零，故 由于變量的對稱性，類似可得 所以 3.5 利用高斯公式（Gauss)化為三重積分的方法 格林公式建立了沿封閉曲線的曲線積分與二重積分的關(guān)系，沿空間閉曲面的曲面積分和三重積分之間也有類似的關(guān)系，這就是高斯公式. 定理：設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成.若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導數(shù)，則，其中取外側(cè)，上式稱為高斯公式.例1 計算曲面積分，其中為曲面的外側(cè)面，外法線為正向. 解 由題意得知， ，利用高斯公式，則.其中，為包圍的區(qū)域作旋轉(zhuǎn)變換則為包

13、圍的區(qū)域，而是一個對稱的八面體，它在平面的第一卦限部分為及坐標平面所圍成的區(qū)域，且有，. 所以例2 設(shè)有連續(xù)導數(shù)，計算， 其中為的錐面與球面，所圍立體的表面外側(cè)(如圖所示). 解 因為被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)，直接計算顯然不可能，又因為曲面為閉曲面，考慮用高斯公式.， 在所圍區(qū)域上滿足高斯公式的條件（的點不在內(nèi))，故有 3.6 利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系 只要能夠求出曲面的法向量(而這對于一個已知曲面來說是很容易做到的），就可以求出法向量的方向余弦，從而將第二型曲面積分化為第一型曲面積分來處理，請看 下例： 例1 計算積分，其中為半球：，被柱面，截下的部分. (如圖所示) 解 的法向量為：，方向

14、朝上，單位化得：所以，.由兩類曲面積分之間的關(guān)系式，有 積分曲面關(guān)于對稱，所以 ，例2 計算，其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四象限部分的上側(cè)(如圖所示).解 因被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)，直接計算難以進行，化為第一類曲面積分，看能否消去抽象函數(shù). ：，上任一點法向量的方向余弦為由第一類與第二類曲面積分的關(guān)系，有 例3 計算閉曲面積分：，其中，是球面外側(cè)表面. 解 本題當然可化為二重積分來計算，但將其化為第一類曲面積分來計算更為方便.因為球面外側(cè)法向量，其方向余弦，由第一、二類面積分的關(guān)系，得 注意：本題雖是第二類閉曲面積分，但不能應用高斯公式計算.3.7 利用公式化為第二型曲線積分 斯托克斯（）公式是

15、建立沿空間雙側(cè)曲面的積分與沿的邊界曲線的積分之間的聯(lián)系. 定理：設(shè)光滑曲面的邊界是按段光滑的連續(xù)曲線，若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導數(shù)，則，其中的側(cè)與的方向按右手法則確定.若，則存在向量勢,使得，故.其中為以為邊界線的分片光滑曲面，且指定側(cè)的單位向量與的環(huán)行方向構(gòu)成右手系.例1 計算，其中是球面的上半部分，是它的邊界，. 解 邊界曲線為平面內(nèi)一圓，則. 令，則原式=.3.8 利用積分區(qū)間對稱性的計算方法 若積分曲面關(guān)于具有輪換對稱性，則 . 若曲面關(guān)于平面對稱，且在平面上半空間的部分曲面取定為上側(cè)(前側(cè)或右側(cè))，在平面下半空間的部分曲面取定為下側(cè)(后側(cè)或左側(cè))，則 ， 關(guān)于為偶函數(shù)，

16、 =， 關(guān)于為奇函數(shù)； ， 關(guān)于為偶函數(shù), =， 關(guān)于為奇函數(shù)； ， 關(guān)于為偶函數(shù), =， 關(guān)于為奇函數(shù).例1 求第二型曲面積分，其中為橢球面的外側(cè). 解 注意到被積曲面關(guān)于具有輪換對稱性，且可利用投影化為二重積分，則有=，令則.作廣義極坐標變換，；則，由輪換對稱性知，故.3.9 第二型曲面積分的向量計算形式據(jù)第一型曲面積分與第二型曲面積分的關(guān)系： 為有向曲面上點處的單位法向量，是曲面的面積微元，正好符合第二型曲面積分的物理意義.又因為兩個向量值函數(shù)的數(shù)量積是一個數(shù)值函數(shù)，所以是第一型曲面積分，當曲面方程為上側(cè)時，單位法向量為，曲面面積微元為，這就是說在此計算過程中，計算量較大的因子肯定要被約去，實際不需要計算，所以第二曲面積分 整個過程只需計算一個二重積分，計算量大大減小. 例1 求其中為球面的外側(cè). 解 此題如果采用將第二型曲面積分化二重積分計算，則需要計算六個二重積分，較為繁瑣且運算量較大；若利用高斯公式求，被積函數(shù)的分母在原點等于零，不能直接對球體