第四章理想流體動力學(xué)

1、4-1 歐拉運動微分方程式4-2 拉格朗日積分式4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用4-4 伯努利方程幾何意義和能量意義4-5 動量定理及動量矩定理第四章第四章 理想流體動力學(xué)理想流體動力學(xué)(ideal fluid dynamics)第四章 理想流體動力學(xué) 1第四章第四章 理想流體動力學(xué)理想流體動力學(xué) 2 重點：伯努利積分式及其應(yīng)用、伯努利方程的幾何意義和能量意義、動量定理及動量矩定理 難點：動量定理及動量矩定理第四章第四章 理想流體動力學(xué)理想流體動力學(xué) 3 雖然實際流體都具有粘性，但是在很多情況下粘性力影響很小，可以忽略，所以討論理想流體的運動規(guī)律不但具有指導(dǎo)意義，而且具有實際意義。 本章先建立理想

2、流體動力學(xué)的基本方程歐拉運動微分方程，然后在特定的條件下積分可以得到拉格朗日積分式及伯努利積分式，介紹兩個積分的實際應(yīng)用，最后推導(dǎo)出動量及動量矩定理，并舉例第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運動微分方程式 44-1 歐拉運動微分方程式歐拉運動微分方程式 歐拉運動微分方程是理想流體的運動微分方程，是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用。這里采用微元體積法導(dǎo)出歐拉運動微分方程。 如圖，在流場中建立直角坐標(biāo)系oxyz，任取一微元六面體，其邊長分別為dx、dy、dz。 平行六面體，頂點為 處的速度是 ，壓強為 。z , y, xaz , y, xvz , y, xp第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉

3、運動微分方程式 5左面：故沿方向表面力的合力是：z , y, xp右面：dyypz , y, xpz ,dyy, xpdxdydzypdxdz)dyypp(pdxdzydxdydz第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運動微分方程式 6yymaf 故對y軸有：ydxdydzadxdydzypydxdydzzvvyvvxvvtvayzyyyxyy又：ypyzvvyvvxvvtvyzyyyxy1所以：第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運動微分方程式 7即為理想流體運動微分方程，也稱歐拉運動微分方程。同理可得：xpxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1zpzzvvyvvxvvtvzzzyzxz1三

4、式綜合寫成矢量形式：pfdtvd1 此式對可壓縮及不可壓縮或定常流及非定常流的理想流體均適用。第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運動微分方程式 8ypyzvvyvvxvvtvyzyyyxy1 運動微分方程的三個分量式中有四個未知數(shù) 、 、 和 ，再加上連續(xù)方程式共四個方程組，方程封閉，理論上可求解。當(dāng)然還要滿足所提問題的邊界條件、初始條件，這一問題不是本課程的討論范圍。pxvyvzv 但是對于復(fù)雜的流動很難得到問題的解析解，只有在一些特殊條件下，才能求出解析解，如拉格朗日積分式和伯努利積分式。第四章 理想流體動力學(xué) 4-1 歐拉運動微分方程式 9存在質(zhì)量力勢函數(shù) ，且：第四章 理想流體動力學(xué)

5、 4-2 拉格朗日積分式 104-2 拉格朗日積分式拉格朗日積分式 拉格朗日(langrange)積分是歐拉方程在非定常無旋運動條件下的積分解。拉格朗日假設(shè)： 理想不可壓縮流體； 質(zhì)量力有勢； 無旋運動。constuxuxyuyzuz存在速度勢函數(shù) ，且：xvxyvyzvz第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 11 推導(dǎo)過程主要分別將x、y、z方向的運動微分方程變形為某函數(shù)(或表達(dá)式)關(guān)于x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，三方程相加，在質(zhì)量力為重力的情況下，整理出要求的拉格朗日積分式。以x方向為例：xpxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1txxttvx第一項：等號右邊：第四章 理想流體動力學(xué)

6、4-2 拉格朗日積分式 11第二、三、四項：22222121vxvvvxxvvxvvxvvzxvyxvxvvxzvxyvxvvzvvyvvxvvzyxzzyyxxzyxxzyxxxzxyxxxuxxpxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1第一項：等號左邊：第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 12xpxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1所以x方向的運動微分方程變形為：puxvtx221pxxp1022tvpux第二項：第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 13同樣可得：022tvpux022tvpuy022tvpuz三式綜合說明，括弧內(nèi)函數(shù)不隨空間坐標(biāo)變化,那么只可能

7、是時間的函數(shù)。 可寫為： tftvpu22第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 14引入函數(shù) ，使： tftvpu22 tdttf0方程繼續(xù)可改寫為：tvpu22將 對 求偏導(dǎo)數(shù)：z , y, xxvxxyvyyzvzz可見， 和 實質(zhì)一樣，符合速度勢的定義。第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 15 如果流體的質(zhì)量力只有重力，取軸垂直向上，有 ，代入上式，得：上式為非定常無旋運動的拉格朗日積分式。tvpgz22gzutggvpz122或： 對于定常無旋運動，括號中的函數(shù)還不隨時間變化，因此它在整個流場為常數(shù)：cvpu22( (通用常數(shù)通用常數(shù)) )第四章 理想流體動力學(xué)

8、4-2 拉格朗日積分式 16 對于理想、不可壓縮流體，在重力作用下的定常、無旋運動，上式寫為：此式即為理想不可壓縮流體，在重力場中定常無旋運動得拉格朗日方程。是在整個流場都適用的通用常數(shù)，因此它在整個流場建立了速度和壓力之間的關(guān)系。cgvpz22( (通用常數(shù)通用常數(shù)) )cvpu22( (通用常數(shù)通用常數(shù)) )第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 17 若能求出了流場的速度分布(理論或?qū)嶒灥姆椒?，就能用拉格朗日積分式求流場的壓力分布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可求出流體與固體之間的相互作用力。 應(yīng)用拉格朗日積分式，可解釋許多重要的物理現(xiàn)象：如機翼產(chǎn)生升力的原因；兩艘并排行駛而

9、又靠得很近的船舶為什么會產(chǎn)生互相吸引的“船吸現(xiàn)象”；以及在淺水航道行駛的船舶為什么會產(chǎn)生“吸底現(xiàn)象”等等。第四章 理想流體動力學(xué) 4-2 拉格朗日積分式 18第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 194-3 伯努利積分式及其應(yīng)用伯努利積分式及其應(yīng)用 介紹伯努利(d.bernouli 17001782)方程的推導(dǎo)和應(yīng)用。 伯努利方程的推導(dǎo)：是歐拉方程在定常運動沿流線的積分。存在質(zhì)量力勢函數(shù) ，且：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 20伯努利方程的限制條件： 理想不可壓縮流體； 質(zhì)量力有勢； 定常流動；constuxuxyuyzuz0物理量t 沿流線積分。一、沿

10、流線的伯努利方程一、沿流線的伯努利方程第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 21 推導(dǎo)過程主要將運動微分方程沿流線積分，再將積分號下的項變形為某個函數(shù)的全微分，得到積分方程。然后在質(zhì)量力為重力的情況下，整理出要求的伯努利積分式。歐拉運動微分方程：沿流線積分：xpxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1zpzzvvyvvxvvtvzzzyzxz1ypyzvvyvvxvvtvyzyyyxy1首先，定常流動，有：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 22其中dx、dy、dz為流線上的線元的分量。以x方向為例：dxxpxdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1dyyp

11、ydyzvvyvvxvvtvyzyyyxy1dzzpzdzzvvyvvxvvtvzzzyzxx1dxxpxdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx10tvx則：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 23則上式簡化為：變形：dxxpxdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx1dxxpxdxzvvdxyvvdxxvvxzxyxx122222222xxxxxxxxxxxzxyxxvddzvzdyvydxvxdzzvvdyyvvdxxvvdxzvvdxyvvdxxvv22xxzxyxxxvddxzvvyvvxvvtv以及：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 24同理可

12、得：即變?yōu)椋篸xxpxdxzvvyvvxvvtvxzxyxxx122xxzxyxxxvddxzvvyvvxvvtvdxpuxdxxpx1dxpuxvdx22dypuyvdy22dzpuzvdz22三式相加：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 25整理為：dzpuzdypuydxpuxvdvdvdzyx222222pudvvvdzyx2222即：lcvpu22此式即為歐拉運動微分方程的伯努利積分，它表明：對于不可壓縮理想流體，在有勢質(zhì)量力作用下作定常流時，在同一條流線上 值保持不變，該常數(shù)值稱為伯努利積分常數(shù)。對于不同的流線伯努利積分常數(shù)一般不相同。22vpu022vpud或：

13、在重力場中 ，則沿流線上式變?yōu)椋旱谒恼?理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 26或：或在流線上任意兩點上成立：lcvpu22上式即為理想流體定常、不可壓縮、重力場中沿流線的伯努利方程。gzulcvpgz22lcgvpz22gvpzgvpz2222222111第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 27 伯努利積分與拉格朗日積分在形式上相似,但不同之處有二： 應(yīng)用條件不同。拉格朗日積分只能用于無旋流運動，不要求流動定常；伯努利積分無需無旋運動，但一定是定常流動。 常數(shù)性質(zhì)不同。拉格朗日積分中的常數(shù)在整個流場中不變，故稱為普遍常數(shù)，伯努利積分常數(shù)只在同一根流線上不變，不同流

14、線取值不同，稱為流線常數(shù)。或者說拉格朗日積分在整個空間成立，而伯努利積分只在同一條流線上成立。 當(dāng)流動定常且無旋時，兩個積分式等同。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 28 流束的極限為流線。為工程上的應(yīng)用，現(xiàn)將伯努利方程推廣到有限大的流束(總流)。 漸變流動：流線近似平行，而且流線的曲率很小的流動。 否則稱為急變流動。二、沿有限流束二、沿有限流束( (總流總流) )的伯努利方程的伯努利方程 漸變流動的特點： 在整個有效截面上為常數(shù)，即服從靜壓分布規(guī)律：constpzpz第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 29 為簡單計，約定 取有效截面形心處的數(shù)值。pz1

15、2345671212緩變流：1、3、5、71段有效截面上：11pz22pz7段有效截面上：11pz22pz第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 30 由于圖中一維理想流體緩變流有效截面上的速度又處處相等，那么有下式成立：1234567121212gvpzgvpz2222222111此式即為理想流體總流的伯努利方程。說明在兩緩變流有效截面上三項之和相等，與中間流動無關(guān)。1 1、2 2點不在同點不在同一根流線上一根流線上第四章 理想流體動力學(xué) 4-4 伯努利的幾何意義和物理意義 31三、伯努利方程的幾何意義和物理意義三、伯努利方程的幾何意義和物理意義1. 1. 幾何意義幾何意義伯努

16、利方程式每一項的量綱與長度相同，都表示某一高度。如圖： ：表示研究點相對某一基準(zhǔn)面的幾何高度，稱位置水頭。：表示研究點處壓強大小的高度，表示與該點相對壓強相當(dāng)?shù)囊褐叨龋Q壓強水頭。 ：稱測壓管水頭。 ：表示研究點處速度大小的高度,稱速度水頭。 ：稱總水頭。zp pzgv22gvpz22 lz lmnmnp32 ltltlgv22222 ：表示單位重量流體對某一基準(zhǔn)具有的位置勢能。 ：表示單位重量流體具有的壓強勢能。 ：表示單位重量流體具有的動能。第四章 理想流體動力學(xué) 4-4 伯努利的幾何意義和物理意義 32伯努利方程表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動伯努利方程表明重力作用下不可壓縮理想

17、流體定常流動過程中三種形式的水頭可互相轉(zhuǎn)化，但過程中三種形式的水頭可互相轉(zhuǎn)化，但位置水頭、壓力水頭和位置水頭、壓力水頭和速度水頭之和為一常數(shù)，即總水頭線為一條水平線速度水頭之和為一常數(shù)，即總水頭線為一條水平線 。 zpgv222. 2. 能量意義能量意義mgmgzz mgmvgv22212 伯努利方程也表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動伯努利方程也表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動過程中單位重量流體所具有的位能、動能和壓強勢能可互相轉(zhuǎn)過程中單位重量流體所具有的位能、動能和壓強勢能可互相轉(zhuǎn)化，但總機械能保持不變?；?，但總機械能保持不變。conservation of mechanical

18、 energy gslpslp第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 33四、應(yīng)用四、應(yīng)用實例1 小孔口出流小孔口出流(如船舶艙壁上破一洞)。如圖所示大容器內(nèi)裝有液體，容器底部開一小孔，液體在重力作用下從小孔流出，求流量。 伯努利方程解題思路：判斷成立的條件是否滿足，確定基準(zhǔn)面，然后選取合適的流線上兩點或者兩個緩變流有效截面建立伯努利方程，解出待求物理量。選取點或面的方法是選取自由面、無窮遠(yuǎn)處或者物理量已知處，以及待求物理量處。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 34 設(shè)小孔面積為a，容器液面面積為a, aa，因此液面高度h近似認(rèn)為不變(近似為定常流動)，粘性忽

19、略不計，且此時流體的質(zhì)量力只有重力，滿足伯努利方程的前提條件。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 35 從圖中可見，出流流束有一收縮截面(離開流出離開流出孔有一小段距離孔有一小段距離)，此截面上流速相互平行，為緩變流截面。 取小孔軸線所在的水平面為基準(zhǔn)面，把整個容器看成一個大流管。取容器的液面為流管第一個截面，出流流束截面收縮到最小處為第二截面，并列伯努利方程 ：gvpzgvpz2222222111第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 36截面：截面：01v(近似)01p(表壓)hz 102z02p(表壓)vv 2(待求)解出小孔理想出流的速度公式：ghv2

20、可以看出水位高為h時，小孔的出流速度與高度為h的流體的自由落體的末速度相同。 實際上，因為粘性阻力的影響，出流速度小于此值，一般用一個流速系數(shù)來修正，則：ghvv2實際由實驗確定，其值常在0.96之間。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 37則實際流量是：ghaghaavqe22實際實際其中， 為流量系數(shù)。 在小孔出口,發(fā)生縮頸效應(yīng)。設(shè)縮頸處的截面積為 ，收縮系數(shù) ：aaeea 由實驗測定，例如圓形孔口，其值為0.610.63。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 38 應(yīng)用伯努利方程的原理可以制成各種測量流速或流量的儀器。文德利管就是其中的一種。實例2 文德

21、利管文德利管(venturi tube，一種流量計)。 為了測量管中的流速或流量，可以在管道中串聯(lián)一段由入口段、收縮段、喉部和擴散段組成管段，稱為文德利管，如圖所示。 在文丘里管入口斷面1和喉部處斷面2兩處測量壓差，設(shè)斷面1、2的平均速度、平均壓強和斷面面積分別為 、 、 和 、 、 ，流體密度為 ，比壓計中流體密度為 。1v2v1p2p1a2am第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 39 列1、2兩緩變流有效截面的伯努利方程：gvpzgvpz2222222111移項可得：221121222pzpzgvv又： 、 截面上為緩變流，壓強分布規(guī)律與u形管內(nèi)靜止流體一樣，可得： 1a

22、2a3311pzpz4422pzpz則：44332211pzpzpzpz第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 40所以：那么：等壓面上：53pp hhhzzpppzpzmm134454433hpzpzm12211hgvvm122122一個方程解不出兩個未知數(shù)，添加連續(xù)性方程。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 41將：連續(xù)性方程 ：2211vava1212vaav 代入：hgvvm122122解得：hgaahgvm2112221111221aam其中稱為流速系數(shù)：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 42文德利管的流量公式為：hgaq21實例3

23、 汽化器汽化器。 汽化器的原理如圖所示，為收縮、擴張的管道。空氣由活塞的抽吸作用從自由大氣中吸入，細(xì)管將汽油自油箱引出來。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 43 細(xì)管的一端，即汽油油滴的噴出口恰在汽化器的最狹斷面處。該處流速最高，壓力最低有一定的真空度，因此汽油能在該處汽化，并被吸入汽缸。 已知流量，汽化器的最小直徑為，汽油管外徑為，求汽化器的真空度。 解：取管軸為基準(zhǔn)線，把整個汽化器當(dāng)作一個流管，取汽化器入口前方的大氣為截面，管道最小截面處為截面(兩個緩變流截面)。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 44 列、截面的伯努利方程：gvpzgvpz22222

24、22111截面：01v(近似)app 101z截面：2224ddqv?2p02z故求得汽化器的真空度為：2222228ddqppa 正是此真空度的存在，將汽油從油箱中吸出，噴入汽缸。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 45gvpzgvpzbbbaaa2222其中：hppaa0bazz? vva實例4：畢托管畢托管(pitot tube)和聯(lián)合測管。 畢托管是一種測定空間點流速的儀器。畢托管是彎成直角而兩端開口的細(xì)管。 如圖所示，測河道流速時，將畢托管一端迎向來流，另一端豎直向上。流體在管中上升，到達(dá)一定高度靜止，設(shè)高出液面h，求流速v。0bv 沿入口前流線列a、b兩點的伯努利

25、方程：hhhhppab代入方程，解得：ghppgvab22(b點稱為滯止點稱為滯止點或駐點。點或駐點。)第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 46 如圖，若要測定管流液體中a點的流速v，在a點布置測壓管，可測出該點的靜壓，并在a點下游相距很近的地方放一根畢托管，一端的出口置于與a點相距很近的b點處，并正對來流，另一端向上。在b點處由于畢托管的阻滯，流速為0，動能全部轉(zhuǎn)化為壓能，畢托管與測壓管中液面高度差為h。 應(yīng)用理想流體定常流沿流線的伯努利方程于a、b兩點，并取ab連線所在平面作為基準(zhǔn)面，則有： hh 對于實際液體在應(yīng)用上式計算a點流速時，需考慮液體粘性對液體運動的阻滯作用，

26、以及畢托管放入流場后對流動的干擾，應(yīng)使用修正系數(shù) ，對該式的計算結(jié)果加以修正。一般 小于1，即 式中 為流速系數(shù)，其值一般由試驗率定。ghv2實際第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 47gvpzgvpzbbbaaa2222其中：hppaa0bazz? vva0bvhhppab代入方程，解得：ghppgvab22其中， 為畢托管系數(shù)。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 48 為了方便，可將測壓管和皮托管結(jié)合在一起，形成“聯(lián)合測管”，或稱普朗特管，如圖所示。 其原理為：ghppgvab22實際h第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 49實例5 虹

27、吸管虹吸管。 如圖所示，為連接兩個水箱的一段虹吸管。已知管徑d=150mm,h1=3.3m,h2=1.5m, z=6.8m，設(shè)不計能量損失，求虹吸管中通過的流量及管道最高點處的真空值。 管道流量：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 50解：取 為基準(zhǔn)面，列0截面和2截面的伯努利方程：oogvhpphaa200221解方程得：s/m.)hh(gv94581892221s/ l.s/m.vdq510105094515044322真空度為：第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 51 列截面0和1的伯努利方程，可求得虹吸管頂點s處的真空度。故s點的真空度水柱高為：gv

28、pzphsa2021水柱m.gvhzppsa35813386221241025359800m/n.ppsa 伯努利解題思路：1.判斷是否滿足伯努利方程成立的條件；2.取基準(zhǔn)面；3.選流線上的兩點，或選兩個緩變流的有效截面；一般選在物理量已知、液面、無窮遠(yuǎn)處以及待求物理量處；4.列伯努利方程，確定物理量的值；有時與連續(xù)性方程、測壓儀器聯(lián)立求解；5.解方程。 注意的問題：1.同一基準(zhǔn)面,統(tǒng)一壓強形式(一般絕對或相對)；2.總流伯努利方程一定建立在緩變流有效截面。第四章 理想流體動力學(xué) 4-3 伯努利積分式及其應(yīng)用 524-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理一、動量定理一、動量定理 the

29、orem of momentum 工程中常見流體和物體之間的相互作用問題求作用力的合力或合力矩(對這些力的具體作用過程、分布狀況不感興趣)。這時應(yīng)用動量定理較為合適與方便。動量定理是動量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表達(dá)。本節(jié)討論流體作定常流動時的動量變化和作用在流體上的外力之間的關(guān)系。law of conservation of momentum第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 53 此動量定理是按拉格朗日觀點對質(zhì)點系導(dǎo)出的，在流體力學(xué)中，需將其轉(zhuǎn)換成適合于控制體的形式(歐拉法)。第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 5

30、4一般力學(xué)中動量定理表述為：系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在該系統(tǒng)上的所有外力的矢量和。fdtkdvmk 控制體：相對于所選坐標(biāo)系，在流場中任意選取形狀、大小任意，固定不動的空間。 控制面：控制體的邊界(可以是流體，固體)流體經(jīng)過控制面流入、流出。 通過控制面一般有流體質(zhì)量、動量、能量交換，控制體內(nèi)與控制體外的流體(或固體)存在作用力與反作用力。第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 55 下面推導(dǎo)適合于控制體形式動量方程。 t時刻，在流場中取一控制體體積為 ,控制面面積為 。 經(jīng)過時間dt以后，設(shè) 內(nèi)的流體質(zhì)點系移動到了新的位置(虛線所示)。第四章 理想流體動

31、力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 56經(jīng)過dt流體所產(chǎn)生的總動量變化為： tdtttdtttdttkkkkkkkd 對于定常運動時，公共區(qū)域內(nèi)動量是不隨時間變化的，即第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 57 tdtttdtttdttkkkkkkkd dttdtttdttkkkkkd 從物理意義上講，t+dt時刻體積所具有的動量等于經(jīng)過dt時間從控制面的流出面 流出的流體所具有的動量，即：2vdtdnvkdtt22第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 58 dttdttkkkd 同樣地，t+dt時刻體

32、積所具有的動量等于經(jīng)過dt時間從控制面的流入面 流入的流體所具有的動量，即： vdtdnvkdtt11則： 1212dvdtnvdvdtnvkkkddttdtt 我們注意到，上式中流入面 的法線方向 為控制面 的內(nèi)法線方向，將其改為外法線方向，則積分號前面加一負(fù)號“-”。1n1第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 59 dttdttkkkd動量的變化率為：dvnvdvnvdvnvdtkd1212 代入動量定理，得：fdvnv 上式即為定常流動的動量方程，表明定常流動，控制面上流體動量的變化率等于作用與控制面內(nèi)流體上的合外力。為矢量方程，在直角坐標(biāo)系下分解：z

33、zyyxxfdvnvfdvnvfdvnv第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 60 應(yīng)用動量方程應(yīng)注意： 1. 矢量方程，將方程分解為坐標(biāo)軸方向，便于求解。 2. 合外力包括：周圍固體和流體的表面壓力及表面粘性力、質(zhì)量力等，不要漏掉。 3. 用分解坐標(biāo)軸下的動量方程求解時，應(yīng)注意力矢量、速度矢量分解后的正負(fù)值。 4. 適當(dāng)選取控制面： 的面，與速度垂直的面，速度及壓力分布已知的面，等等。0nv第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 61二、動量矩定理二、動量矩定理 theorem of moment of momentum

34、動量矩定理是動量矩守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。用同樣的方法，可以導(dǎo)出流體作定常流動時的動量矩定理： prdvrnv直角坐標(biāo)系下分解：xyxynzxzxnyzyznypxpdyvxvvxpzpdxvzvvzpypdzvyvv即繞某一點或某一即繞某一點或某一軸的動量矩變化率軸的動量矩變化率等于外力對同一點等于外力對同一點或軸的力矩之和。或軸的力矩之和。第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 62 以上推導(dǎo)的動量定理和動量矩定理，適用于粘性流體，當(dāng)是理想流體時，表面粘性力為0。 下面舉幾個實例來說明動量定理和動量矩定理的應(yīng)用。實例實例6 一維不可壓縮定常流動的動量定

35、理。一維不可壓縮定常流動的動量定理。1a2a1v2v1n2np控制面 選取控制面如圖中虛線所示?？刂泼? 流管側(cè)面 + a1 + a21112222121avvavvadvnvadvnvadvnvdvnvaaaa側(cè)面第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 631a2a1v2v1n2np控制面連續(xù)性方程：12111222vvqavvavvqavav2211因此：所以動量定理為：pvvq12分解為：zzzyyyxxxpvvqpvvqpvvq121212第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 64實例實例7 射流對傾斜平板的沖擊力射

36、流對傾斜平板的沖擊力 。厚為 的二元流束以向平板ab沖擊，流速與平板的夾角為 ，求流體對平板的作用力。vsinvcosv0b1b2b1v2vaboenrn控制面控制面 選取控制面如圖中虛線所示。 沿平板的切向和法向取坐標(biāo)軸。 因整個射流暴露大氣中，故流體中壓力處處等于大氣壓力 。忽略重力的影響，由伯努利方程可知：ap21vvv0b(1)第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 65設(shè)平板對流體的作用力為 ，其法向分量 ，而切向分量 (忽略流體粘性)，并假設(shè)沿坐標(biāo)軸正向。vsinvcosv0b1b2b1v2vaboenrn控制面控制面列立 方向和 方向的動量定理，

37、有：nf00222111fb )cosv( vb )v(vbvv0f方向：nfsinvvb00方向：fnn(2)(3)pvvq12第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 66vsinvcosv0b1b2b1v2vaboenrn控制面控制面又連續(xù)性方程：由于：22110bvbvvb21vvv所以：210bbb(4)聯(lián)立(1)、 (2) 、(3)和 (4)解得：0frsinbvfrnn02012cos1bb022cos1bb其中：其中： 為流體對平板作用的切向分力為流體對平板作用的切向分力( (為零為零) )，總沖擊力，總沖擊力 沿平板法向。沿平板法向。 分別是流

38、束沖擊平板后分為兩股流束的分別是流束沖擊平板后分為兩股流束的厚度。可以看出當(dāng)厚度?？梢钥闯霎?dāng) 是銳角時，是銳角時， 。因為在拐彎曲率小的那邊，流體能順地因為在拐彎曲率小的那邊，流體能順地流過去，故有更多流過去，故有更多的流體擁向這邊，使的流體擁向這邊，使得曲率小的這邊流束厚。得曲率小的這邊流束厚。rnr21b ,b21bb 第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 67vsinvcosv0b1b2b1v2vaboenrn控制面控制面 現(xiàn)取0為參考點,用動量矩定理來求 作用點離開0點的距離e(假設(shè)為正)。xyxynypxpdyvxvvnf2222212122221

39、111220200210bvbvbvbvbvbvdyvxvvdyvxvvbbbxynxynnnnxyeffeyfxfypxp動量矩的變化：合外力矩：也可：寫動量矩和力矩時，也可：寫動量矩和力矩時，逆時針為正，順時針為負(fù)逆時針為正，順時針為負(fù)第四章 理想流體動力學(xué) 4-5 動量定理及動量矩定理動量定理及動量矩定理 68vsinvcosv0b1b2b1v2vaboenrn控制面控制面則：解得：nefbvbv222221212tan20cbe式中的負(fù)號表示 作用點位于軸的負(fù)向上。nf 例例1：如圖，有一水平放置的變直徑彎曲管道，如圖，有一水平放置的變直徑彎曲管道，d1=500mm，d2=400mm，

40、轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角=45，斷面，斷面1-1處流速處流速v1=1.2m/s，壓強，壓強p1=245kpa（表壓），求水流對彎管的作用力（不計彎管（表壓），求水流對彎管的作用力（不計彎管能量損失）。能量損失）。 解：因彎管水平放置，故此彎管液體所受重力在平面內(nèi)投解：因彎管水平放置，故此彎管液體所受重力在平面內(nèi)投影分量等于零，沿管軸線取基準(zhǔn)面，則：影分量等于零，沿管軸線取基準(zhǔn)面，則： 第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 69xryrxr 列列1、2斷面伯努利方程，得斷面伯努利方程，得 p2=243.96kpa 任設(shè)彎管對水流作用力任設(shè)彎管對水流作用力r的方向，如圖，它在的方向，如圖，它在x、y軸上的投軸上的投影

41、分量為影分量為rx、ry。分別列兩坐標(biāo)軸方向的動量方程，則。分別列兩坐標(biāo)軸方向的動量方程，則 sm.ddvv8751405021222112sm.vaq3112360gvpgvp2020222211第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 70 xryrxr 水對彎管的作用力水對彎管的作用力r與與彎管對水的作用力彎管對水的作用力r是一對是一對作用力與反作用力：作用力與反作用力：kn.rsinvqrsinapkn.rvcosvqcosaprapyyxx99210402622212221140arctan4 .3422xyxrrknryrrrr第四章 理想流體動力學(xué) 結(jié)束篇 71xryrxr方向沿方向沿x軸負(fù)向軸負(fù)向方向沿方向沿y軸負(fù)向軸負(fù)向合力：合力：rxryr例例2 2 灑水器如圖所示，噴嘴灑水器如圖所示，噴嘴a、b的流的流量均為量均為2.810-43s，噴嘴的截面積均，噴嘴的截面積均為為1cm2，略去損失，試確定灑水器的轉(zhuǎn)速，略去損失，試確定灑水器的轉(zhuǎn)速。 解：從噴嘴噴出的水流速為解：從噴嘴噴出的水流速為 轉(zhuǎn)動起來后，兩噴轉(zhuǎn)動起來后