和差化積積化和差萬能公式

1、正、余弦和差化積公式指部分的一組sin a +sin B =2sin( a + B )/2 - cos( a - B )/2sina-sinB=2cos(a + p )/2-sin (a -p )/2cosa+cosB=2cos(a + 0 )/2COS (a -0 )/2cosa-cosB=-2sin(a + p )/2- sin(a- B )/2【注意右式前的負(fù)號】以上四組公式可以由公式推導(dǎo)得到證明過程sin a +sin 0 =2sin( a + 0 )/2 co s( a - 0 )/2的證明過程Isin(a + B )=sina cosB +cosa sinB ,sin(a - B

2、)=sina cosB - cosa sinB ,將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin( a + B )+sin( a - B )=2sin a cos B ,設(shè) a + B= 8, a-B=(|)那么a =( 8 + 小)/2, B = ( 8 -小)/2把a , B的值代入，即得sin 0 +sin 小=2sin ( 0 +(|)/2 cos( 0 -(|) /2 正切的和差化積tan a ± tan B =sin( a ± B )/(cos a - cos B )(附證明)cot a ± cot B =sin( B ± a )/(sin a si

3、n B )tan a +cot B =cos( a - B )/(cos a sin 0 ) tan a - cot B =-cos( a + B )/(cos a sin B ) 證明： 左邊=tan a ± tan B =sin a /cos a ± sin 0 /cos B =(sin a - cos B ± cos a sin 0 )/(cos a - cos B ) =sin( a ± B )/(cos a - cos B )=右邊 二等式成立注意事項在應(yīng)用和差化積時，必須是一次同名三角函數(shù)方可實行。若是異名，必須用化為 同名；若是高次函數(shù)，必

4、須用降為一次口訣正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 反之亦然生動的口訣：(和差化積) 帥+帥司巾哥 帥-帥二哥帥咕+咕二咕咕 哥-哥二負(fù)嫂嫂 反之亦然記憶方法和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了各自的 簡單記憶方法。結(jié)果乘以2這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1,其積的值域也應(yīng)該是-1,1,而和差的值域卻是-2,2,因此乘以2是必須也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2,如：cos( a - B )-COS( a + B )=(cos a cos B +s

5、in a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B )=2sin a sin 0故最后需要乘以2。只有同名三角函數(shù)能和差化積無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一 點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式展開后乘積項的 形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。乘積項中的角要除以 2在和差化積公式的證明中，必須先把a和B表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等于a和B ,這兩個角應(yīng)該是(a + B )/2和(a - B )/2 ,也就是乘積項中角的形式。注意和差化積和積化和差的

6、公式中都有一個“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以 2使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點較好的記憶方法是拆分成兩點，一是是否同名乘積，二是“半差角”(a - B )/2的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有 兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的 和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。(a - B )/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時，以 cos( a - B )/2的形式出現(xiàn)；反 之，以sin ( a - B )/2的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為

7、積，那么a和B調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，也就是若把 （a - B ）/2替換為（B - a ）/2 ,結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的， 從而（a - B ）/2的形式是COS（ a - B ）/2 ;另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中的順序相反/負(fù)號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如 （0,九內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng) a大于B時，COS a小于COS 0。但是 這時對應(yīng)的（a+0）/2和（a - B ）/2在（0,冗）的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于 0,所以 要么反過來把COS B放到COS a前面，要么耗在式子的最前面加

8、上負(fù)號。積化和差公式sin a sin B =cos（ a - B）-COS（ a+B ）/2 （注意：此時 差的余弦在和的余弦前面） 或?qū)懽鳎簊in a sinB=-cos（ a+ B）-COS（ a - B ）/2 （注意：此時公式前有 負(fù)號）COS a cos B =cos（a - 0 ）+COs（a + 0 ）/2sin a cos B =sin（a+ B ）+sin（ a- B ）/2cos a sin B =sin（a+ B ） - sin（a - B ）/2證明積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：sin a sin

9、 0 =-1/2-2sin a sin 0 =-1/2（cos a cos B -sin a sin B ）-（cos a cos B +sin a sin B ）=-1/2COS（ a + B ）-COS（ a - B ）其他的3個式子也是相同的證明方法。（參見）作用積化和差公式可以將兩個三角函數(shù)值的積化為另兩個三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的 形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。在歷史上，出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運算化為加減運算，運算需要 利用三角函數(shù)表。運算過程：將兩個數(shù)通過乘、除 10的方幕化為0到1之間的數(shù)，通過查表求出對 應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10Ak*sin

10、a sin B的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。對數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個作用由更加便捷的對數(shù)取代。記憶方法積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了各自的 簡單記憶方法。結(jié)果除以2這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1,其和差的值域應(yīng)該是-2,2,而積的值域確是-1,1,因此除以2是必須的。 也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數(shù)2,如：cos( a - B )-COS( a + B )二(cos a cos B +sin a sin B )-(cos

11、 a cos B -sin a sin B )=2sin a sin 0故最后需要除以2。使用同名三角函數(shù)的和差無論乘積項中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和 差。這一點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式展開后 乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函 數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以反過來，同名三角函數(shù)的 乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出

12、錯的一項。規(guī)律為：“小角” B以cosB的形式出現(xiàn)時，乘積化為 和；反之，則乘積化為 差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果 B的形式是cos B ,那么若把 B替 換為-B ,結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a + B和a - B的兩項調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類似說明。正弦-正弦積公式中的順序相反/負(fù)號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如 0,九內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào) 性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以 cos( a +B )不大于cos( a - B)。但是 這時對應(yīng)的a和B在0,冗的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0,所以要么反過來把cos( a - B )放到cos( a + B )前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號。萬能公式【詞語】：萬能公式【釋義】：應(yīng)用公式sin a=2tan( c/2)/1+tan( o/2)A2cos a=1-tan( a/2)A2/1+tan(«/2)八2tan o=2tan( c/2)/1-tan(42)-2將sin a、cos a、tan a代換成tan ( 42)的式子，這種代換稱為萬能置換。 【推導(dǎo)】：(字符版)sin o=2sin( «/2)cos( o/2)=2sin( «/2)cos( o/2)/sin(