高中數(shù)學第二章平面向量2.2從位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法課件2北師大版必修

1、2.22.2從位移的合成到向量的加法從位移的合成到向量的加法2.2.1 2.2.1 向量的加法向量的加法【知識提煉知識提煉】1.1.向量的加法向量的加法(1)(1)定義定義: :求兩個向量求兩個向量_._.和的運算和的運算(2)(2)運算法則運算法則a+ +b ac ac 2.2.向量加法的運算律向量加法的運算律(1)(1)交換律交換律: :a+ +b=_.=_.(2)(2)結(jié)合律結(jié)合律:(:(a+ +b)+)+c= =a+(_).+(_).特別地特別地: :對于零向量與任一向量對于零向量與任一向量a的和有的和有0+ +a=_=_.=_=_.b+ +ab+ +ca+ +0a【即時小測即時小測】

2、1.1.思考下列問題思考下列問題: :(1)(1)兩個向量的和向量方向如何確定兩個向量的和向量方向如何確定? ?提示提示: :根據(jù)向量加法的三角形法則根據(jù)向量加法的三角形法則, ,即即“首尾相接首尾相接, ,起點指向終點起點指向終點”. .(2)(2)力的合成與向量的加法有著怎樣的關系力的合成與向量的加法有著怎樣的關系? ?提示提示: :力的合成也可以看成是向量加法的一個物理模型力的合成也可以看成是向量加法的一個物理模型. .2. 2. 等于等于( () )a.0 b.a.0 b.0 c.2 d.-2 c.2 d.-2abbccddeeffa ad ad 【解析解析】選選b.b.如圖如圖, ,

3、由向量加法的運算法則可知由向量加法的運算法則可知 abbccddeeffa. 03.3.在四邊形在四邊形abcdabcd中中, , 則則( () )a.abcda.abcd一定是矩形一定是矩形 b.abcdb.abcd一定是菱形一定是菱形c.abcdc.abcd一定是正方形一定是正方形 d.abcdd.abcd一定是平行四邊形一定是平行四邊形【解析解析】選選d.d.由由 知知a,b,c,da,b,c,d構(gòu)成的四邊形一定是平行四構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形邊形. .ac abad ，ac abad 4.4.化簡化簡 =_. =_.【解析解析】原式原式= = 答案答案: : abmbbobcom

4、abboommbbc aoobbc abbc ac. ac 5.5.在正方形在正方形abcdabcd中中, ,邊長為邊長為1, 1, 則則| |a+ +b|=_.|=_.【解析解析】a+ +b= = 所以所以| |a+ +b|=| |= .|=| |= .答案答案: :abbc ， ，ababbc ac ，ac 22【知識探究知識探究】知識點知識點1 1 向量的加法法則向量的加法法則觀察圖形觀察圖形, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1:1:三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有何不同三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有何不同? ?問題問題2:2:兩個向量共線時怎樣求和兩個向量共線時

5、怎樣求和? ?問題問題3:3:多個向量相加時多個向量相加時, ,運用哪個法則求解運用哪個法則求解? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解(1)(1)兩個法則的使用條件不同兩個法則的使用條件不同三角形法則適用于任意兩個非零向量求和三角形法則適用于任意兩個非零向量求和, ,平行四邊形法則只適用于平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和兩個不共線的向量求和. .當兩個向量不共線時當兩個向量不共線時, ,兩個法則是一致的兩個法則是一致的. .如圖所示如圖所示: (: (平行四邊形法則平行四邊形法則),),又因為又因為 ( (三

6、角形法則三角形法則). ). (2)(2)在使用三角形法則時在使用三角形法則時, ,應注意應注意“首尾相接首尾相接”; ;在使用平行四邊形法在使用平行四邊形法則時相加向量共起點則時相加向量共起點. .acabad bcadac ab bc ，所以(3)(3)多個向量相加的運算法則推廣多個向量相加的運算法則推廣兩個向量相加有三角形法則兩個向量相加有三角形法則, ,多個向量相加怎么辦呢多個向量相加怎么辦呢? ?我們知道我們知道: :兩個兩個向量相加的三角形法則的物理模型是位移的合成向量相加的三角形法則的物理模型是位移的合成. .類似地類似地, ,多個向量的多個向量的相加相加, ,也可以用位移合成也

7、可以用位移合成, ,即向量求和的三角形法則可推廣到多個向量即向量求和的三角形法則可推廣到多個向量求和的多邊形法則求和的多邊形法則:n:n個向量經(jīng)過平移個向量經(jīng)過平移, ,順次使前一個向量的終點與后順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合一個向量的起點重合, ,組成一個向量折線組成一個向量折線, ,這這n n個向量的和等于折線起個向量的和等于折線起點到終點的向量點到終點的向量, ,即即: : 特別地特別地: : 011223n 2n 1n 1n0na aa aa aaaaaa a . 011223n0a aa aa aa a. 0知識點知識點2 2 向量加法的運算律向量加法的運算律觀察圖形觀

8、察圖形, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1:1:向量加法的交換律中向量向量加法的交換律中向量b可以是零向量嗎可以是零向量嗎? ?問題問題2:2:任意兩個向量相加都可以用平行四邊形法則嗎任意兩個向量相加都可以用平行四邊形法則嗎? ?問題問題3:3:向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量還成立嗎向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量還成立嗎? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.向量加法的交換律向量加法的交換律在圖中的平行四邊形在圖中的平行四邊形abcdabcd中中, , 故故a+ +b= =b+ +a. .即向量加法滿足交換律即向量加法滿足交換律. .當向量當向量a, ,b至少有一個為零向量時至少有

9、一個為零向量時, ,交換律顯然成立交換律顯然成立, ,當當a, ,b為非零向為非零向量且共線時量且共線時, ,abdcadbcacabbc ，則abacaddc, ，abba(1)(1)當當a, ,b同向時同向時, ,向量向量a+ +b與與a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|+|+|b|;|;向量向量b+ +a與與b同同向向, ,且且| |b+ +a|=|=|b|+|+|a|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .(2)(2)當當a, ,b反向時反向時, ,不妨設不妨設| |a|b|,|,a+ +b與與a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;b+ +

10、a與與a同向同向, ,且且| |b+ +a|=|=|a|-|-|b|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .2.2.向量加法的結(jié)合律向量加法的結(jié)合律在圖中在圖中, , 所以所以 從而從而( (a+ +b)+)+c= =a+(+(b+ +c).).即向量加即向量加法滿足結(jié)合律法滿足結(jié)合律. .acabbcbdbccd ，abbcadaccd ,adabbd, abcabc3.3.向量加法運算律的推廣向量加法運算律的推廣向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量仍然成立向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量仍然成立, ,恰當?shù)厥褂眠\算律恰當?shù)厥褂眠\算律可以實現(xiàn)簡化運算的目的可以實現(xiàn)簡化運算的目的. .在進行

11、多個向量的加法運算時在進行多個向量的加法運算時, ,可以按照任可以按照任意的次序和任意的組合進行意的次序和任意的組合進行. .如如( (a+ +b)+()+(c+ +d)=()=(a+ +d)+()+(b+ +c).).【題型探究題型探究】類型一類型一 向量求和向量求和【典例典例】1.1.如圖所示如圖所示, ,四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形,e,f,g,h,e,f,g,h分別是所在分別是所在邊的中點邊的中點, ,點點o o是對角線的交點是對角線的交點, ,則下列各式正確的是則下列各式正確的是( () ) a.a.和和b.b.和和c.c.和和d.d.和和aeah ocaho

12、f cgfbbefc hdohogbe do. ；2.2.如圖如圖, ,已知梯形已知梯形abcd,adbc,abcd,adbc,則則 =_. =_.oaabcdbc 【解題探究解題探究】1.1.解答本題可用向量的哪些知識解答本題可用向量的哪些知識? ?提示提示: :顯然可用向量的加法的平行四邊形法則及相等向量判斷顯然可用向量的加法的平行四邊形法則及相等向量判斷. .2.2.運用向量加法的結(jié)合律應如何結(jié)合較好運用向量加法的結(jié)合律應如何結(jié)合較好? ?提示提示: :一個向量的終點是另一個向量的起點時一個向量的終點是另一個向量的起點時, ,兩個向量兩兩結(jié)合較好兩個向量兩兩結(jié)合較好. .【解析解析】1.

13、1.選選a.a.由向量加法的平行四邊形法則知由向量加法的平行四邊形法則知 所以正確所以正確. .因為因為 又因為又因為 所以不正確所以不正確. .因為因為 又因為又因為 aeah ao.ao oc 又因為，of hoahof ahho ao. ，所以fb cfcgfb cgcf coaoco ，所以，而，fc bfbefc bebf bo. ，所以hd oghdoh ogoh od ，所以，而而 所以正確所以正確. .因為因為 所以不正確所以不正確. .2. 2. 答案答案: :bo od ，be ohogbe ogoh ododdo ，所以，而，oaabcdbcoaab bccdobbdod

14、. （）od 【方法技巧方法技巧】向量加法運算律的應用原則及注意點向量加法運算律的應用原則及注意點(1)(1)應用原則應用原則: :利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律, ,使各向量使各向量“首尾首尾相接相接”, ,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序. .(2)(2)注意點注意點三角形法則強調(diào)三角形法則強調(diào)“首尾相接首尾相接”, ,平行四邊形法則強調(diào)平行四邊形法則強調(diào)“起點相同起點相同”; ;向量的和仍是向量向量的和仍是向量; ;向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實質(zhì)上是向量加法的幾何向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實

15、質(zhì)上是向量加法的幾何意義意義. .【變式訓練變式訓練】 =_. =_.【解析解析】方法一方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :abmbboom abmbboomabboommbaoob ab. abmbboom abmbboom abmoom abab. 0ab 類型二類型二 利用向量的加法法則作圖利用向量的加法法則作圖【典例典例】如圖如圖, ,已知已知a, ,b, ,分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出法則作出a+ +b. .【解題探究解題探究】如何作不共線的兩個向量的和如何作不共線的兩個向量的和? ?提示提示: :在平面內(nèi)任取一點在

16、平面內(nèi)任取一點a,a,作作 = =a, ,然后利用三角形法則或平行四邊然后利用三角形法則或平行四邊形法則形法則, ,作作 進而可得進而可得. .ab bcao 或，bb【解析解析】如圖所示如圖所示, ,a+ +b= = ac. 【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件變換條件) )如果兩個向量變?yōu)槿鐖D所示如果兩個向量變?yōu)槿鐖D所示, ,作出作出a+ +b. .【解析解析】方法一方法一: :在平面內(nèi)任意取一點在平面內(nèi)任意取一點o,o,作作如圖如圖. .方法二方法二: :在平面內(nèi)任意取一點在平面內(nèi)任意取一點o,o,以以oa,oboa,ob為鄰邊作為鄰邊作 oacb,oacb,且且連接連接oc,oc,

17、則則 = =a+ +b. .如圖如圖. .oa,ab,ob 則，ababoa,ob ，aboc 2.(2.(變換條件變換條件) )若本例再增加一個向量若本例再增加一個向量c, ,如圖如圖, ,利用三角形法則作出利用三角形法則作出a+ +b+ +c. .【解析解析】如圖如圖, ,在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點o,o,作作 oa,ab, abbc,oc. 則cabc【方法技巧方法技巧】利用向量加法的兩種法則作圖的方法利用向量加法的兩種法則作圖的方法【補償訓練補償訓練】若正方形若正方形abcdabcd的邊長為的邊長為1, 1, 試作出向量試作出向量a+ +b+ +c. .ab,ad,ac. abc

18、【解析解析】根據(jù)平行四邊形法則可知根據(jù)平行四邊形法則可知, , 根據(jù)三角形法則根據(jù)三角形法則, ,延長延長ac,ac,在在acac的延長線上作的延長線上作 如圖如圖. .abadac. abceac, 則abcacacacceae. 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改變問法改變問法) )本題條件不變本題條件不變, ,求求| |a+ +b+ +c|.|.【解析解析】因為因為 22ac112ae2 ac2 2. ，所以 abc2.(2.(變換條件變換條件) )如圖如圖,o,o為為abcabc內(nèi)一點內(nèi)一點, , 求作求作b+ +c+ +a. .aooboc. ， ， abc【解析解析】方法一方法一:

19、 :如圖如圖, ,以以 為鄰邊作為鄰邊作 obdc,obdc,連接連接則則 od ad ， ，od obocad aood. ， bcbcaoboc ，方法二方法二: :如圖如圖, ,作作連接連接ad,ad,則則 cd ob ，bac aoocad accd. ， acacbbca類型三類型三 向量加法的應用向量加法的應用【典例典例】如圖如圖,o,o是四邊形是四邊形abcdabcd對角線的交點對角線的交點, ,使得使得求證求證: :四邊形四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .aoobdooc, 【解題探究解題探究】證明平行四邊形的方法有哪些證明平行四邊形的方法有哪些? ?本例可從

20、什么角度入手本例可從什么角度入手? ?提示提示: :可證一組對邊平行且相等可證一組對邊平行且相等, ,也可證對角線互相平分也可證對角線互相平分, ,本例可證本例可證 進而可得進而可得abab dc.dc.abdc 【解析解析】因為因為 所以所以所以所以abab dc,dc,所以四邊形所以四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形. .aoobabdoocdc ，aoobdooc, abdc 【延伸探究延伸探究】本例的條件不變本例的條件不變, ,在在bdbd的延長線和反向延長線上各取一點的延長線和反向延長線上各取一點f,e,f,e,使使be=df.be=df.求證求證: :四邊形四邊形aec

21、faecf是平行四邊形是平行四邊形. .【證明證明】 因為四邊形因為四邊形abcdabcd是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以 因為因為be=df,be=df,且且 的方向相同的方向相同, ,所以所以 所以所以 即即aeae與與fcfc平行且相等平行且相等, ,所以四邊形所以四邊形aecfaecf是平行四邊形是平行四邊形. .aeabbe,fcfddc, abdc, fdbe ，aefc ，fdbe 與【方法技巧方法技巧】應用向量加法解決平面幾何與物理學問題的基本步驟應用向量加法解決平面幾何與物理學問題的基本步驟(1)(1)表示表示: :用向量表示相關的量用向量表示相關的量, ,將所有解決的

22、問題轉(zhuǎn)化為向量的加法將所有解決的問題轉(zhuǎn)化為向量的加法問題問題. .(2)(2)運算運算: :應用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則應用向量加法的平行四邊形法則或三角形法則, ,進行相關運進行相關運算算. .(3)(3)還原還原: :根據(jù)向量運算的結(jié)果根據(jù)向量運算的結(jié)果, ,結(jié)合向量共線、相等概念回答原問題結(jié)合向量共線、相等概念回答原問題. .【變式訓練變式訓練】一架救援直升飛機從一架救援直升飛機從a a地沿北偏東地沿北偏東6060方向飛行了方向飛行了40km40km到達到達b b地地, ,再由再由b b地沿正北方向飛行地沿正北方向飛行40km40km到達到達c c地地, ,求此時直升飛機與求

23、此時直升飛機與a a地地的相對位置的相對位置. .【解題指南解題指南】利用向量加法的三角形法則利用向量加法的三角形法則, ,知知是線段是線段acac的長度的長度. .ac abbc ac ，【解析解析】如圖如圖, ,設設分別是直升飛機的兩次位移分別是直升飛機的兩次位移, ,則則 表示兩次位移的合位移表示兩次位移的合位移, ,即即 在在rtrtabdabd中中, , 在在rtrtacdacd中中, , cad=60cad=60, ,即此時直升飛機位于即此時直升飛機位于a a地北偏東地北偏東3030方向方向, ,且距離且距離a a地地40 km40 km處處. .abbc ，ac ac abbc. db20 km ad20 3 km. ，22acaddc40 3 km ，3【補償訓練補償訓練】p p是是abcabc內(nèi)的一點內(nèi)的一點, , 則則abcabc的面的面積與積與abpabp的面積之比為的面積之比為_._.1apabac3 （），【解析解析】如圖如圖,d,d為為bcbc的中點的中點, ,則則所以所以p p為為abcabc的重心的重心, ,故故c c到到abab距離為距離為p p到到abab距離的距離的3 3倍倍, ,即若即若abcab