高中數(shù)學 第二章 概率 2.2 條件概率與事件的獨立性 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布課堂導學案 新人教B版選修23

1、2.2.3 獨立重復試驗與二項分布課堂導學三點剖析一、獨立重復試驗與二項分布【例1】某地區(qū)每天保證用水量的概率為0.75，試求：（1）在最近7天內(nèi)用水正常的天數(shù)的分布；（2）7天內(nèi)至少有2天用水正常的概率.思路分析：7天中用水正常的天數(shù)可能是0天，也可能是1天，也可能是2天，也可能是7天.設(shè)用水正常的天數(shù)為x，x取值為0，1，7.解析：由題意知，x服從參數(shù)n=7,p=0.75的二項分布，即xb（7，0.75）.(1)由二項分布的概率分布知p（x=0）=（0.75）0(0.25)70.000 06,p(x=1)=(0.75)1(0.25)60.001 28,p(x=2)=(0.75)2(0.25

2、)50.011 54,p(x=3)=(0.75)3(0.25)40.057 68,p(x=4)=(0.75)4(0.25)30.173 03,p(x=5)=(0.75)5(0.25)20.311 46,p(x=6)=(0.75)6(0.25)10.311 46,p(x=7)= (0.75)7(0.25)00.133 48.其概率分布為xp00.000 0610.001 2820.011 5430.057 6840.173 0350.311 4660.311 4670.133 48 (2)p(x2)=p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)0.011 5

3、4+0.057 68+0.173 03+0.311 46+0.311 46+0.133 48=0.998 7.二、求獨立事件的概率【例2】甲、乙兩個人獨立地破譯密碼的概率分別為和，求（1）兩個人都譯出密碼的概率；（2）兩個人都譯不出密碼的概率；（3）恰有一人譯出密碼的概率.思路分析：我們把“甲獨立地譯出密碼”記為事件a，把“乙獨立地譯出密碼”記為事件b，顯然a與b相互獨立，同時與b，a與，與亦相互獨立.解析：a=“甲獨立地譯出密碼”，b=“乙獨立地譯出密碼”，且p（a）=，p（b）=.（1）兩個人都譯出密碼的概率為p（ab）=p（a）p（b）=×=.(2)兩個人都譯不出密碼的概率為p

4、（）=p（）p（）=1-p（a）1-p（b）=（1）（1-）=.（3）恰好1個譯出密碼可分為兩類，即a與b且兩類事件為互斥事件：p（a+b）=p（b）+p（a）=p（）p（b）+p（a）p（）=（1）×+(1-)=.【例3】在一次考試中 ，出了六道判斷題，正確的記“”號，不正確的記“×”號.若某考生完全隨意記上了六個符號，求：（1）全部正確的概率；（2）正確答案不少于4道的概率.解析：（1）全部正確的概率是p6（6）=·0.56=.(2)“正確答案不少于4道”包括有4道題正確、有5道題正確或6道題全正確，故所求概率是p6（4）+p6（5）+p6（6）=·

5、0.54·0.52+·0.55·0.5+·0.56=.溫馨提示 獨立重復試驗是同一試驗的n次重復，每次試驗結(jié)果的概率不受其他次結(jié)果的概率的影響，每次試驗有兩個可能結(jié)果：成功和失敗.n次試驗中a恰好出現(xiàn)了k次的概率為pk(1-p) n-k，這k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，則概率為pk(1-p)n-k.各個擊破類題演練 1 某射手每次擊中目標的概率為0.6，如果射擊5次，試求至少擊中2次的概率.解析：p（至少擊中2次）=(擊中k次)=1-p（擊中0次）-p（擊中1次）=1-c05（0.6）0·(0.4)5- (0.6)1·(0.

6、4)40.826.變式提升 1 某種產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一大批該產(chǎn)品中抽出20個進行檢驗，問20個該產(chǎn)品中恰有2個次品的概率是多少？解析：這里是不放回抽樣，由于一批產(chǎn)品的總數(shù)很大，且抽出的樣品的數(shù)量相對而言較小，因而可以當作是有放回抽樣處理，這樣做會有一些誤差，但誤差不會太大.抽出20個樣品檢驗，可看作是做了20次獨立試驗，每一次是否為次品可看成是一次試驗的結(jié)果，因此20個該產(chǎn)品中恰有兩個次品的概率是p（恰有2個次品）=（0.05）2·(0.95)180.187.類題演練 2 某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)工展工作，每個員工上網(wǎng)概率都是0.5(相互獨立).（1）求至少3人同時上網(wǎng)的概率

7、.（2）至少幾個人同時上網(wǎng)的概率小于0.3?解析：（1）至少三人上網(wǎng)即恰三人，四人，五人，六人上網(wǎng)，所以至少三個人上網(wǎng)的概率等于1減去至多兩人上網(wǎng)的概率，即1-（0.5）6- (0.5)6- (0.5)6=1-.(2)因為至少4人上網(wǎng)的概率為（+）(0.5)6=0.3.至少5人上網(wǎng)的概率為（+）（0.5）6=0.3,因此，至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3.變式提升 2 甲、乙、丙三人獨立地解同一道數(shù)學題，甲能解決這道題的概率是p1，乙能解決這道題的概率是p2，丙能解決這道題的概率是p3，解決下列問題：（1）求沒有人能解出這道題的概率；（2）求至少有一個人能解出這道題的概率；（3）求有人沒解出這

8、道題的概率；（4）求恰有一人能解出這道題的概率.解析：設(shè)甲、乙、丙能解出這道題的事件分別為a1、a2、a3，則a1、a2、a3是相互獨立事件，但不是互斥事件.（1）沒有人能解出這道題的事件a=、相互獨立，p（a）=p（ ）=（1-p1）（1-p2）（1-p3）.（2）至少有一人能解出這道題的事件b=a1+a2+a3，但不能運用互斥事件的和的概率公式，注意到b與a= 是對立事件，p（b）=1-p（ ）=1-（1-p1）（1-p2）（1-p3）.（3）有人沒解出這道題的事件為c，如果直接表達c比較復雜，由于c與事件“a1a2a3”是對立事件，p（c）=1-p（a1a2a3）=1-p1p2p3.（4

9、）恰有一人能解出這道題的事件d=a1+a2 +a3 .a1 ，a2 與a3 彼此互斥，p（d）=p（a1）+p（）+p（a3）=p1(1-p2)(1-p3)+p2(1-p3)(1-p1)+p3(1-p1)(1-p2).類題演練 3 甲、乙兩支足球隊鏖戰(zhàn)90分鐘踢成平局，加時賽30分鐘后仍成平局，現(xiàn)決定各派5名隊員，每人射一點球決定勝負，設(shè)甲、乙兩隊每個隊員的點球命中率均為0.5.(1)不考慮乙隊，求甲隊僅有3名隊員點球命中，且其中恰有2名隊員連續(xù)命中的概率；（2）求甲、乙兩隊各射完5個點球后，再次出現(xiàn)平局的概率.解：（1）甲隊3名隊員射中，恰有2名隊員連續(xù)命中的情形有種，故所求的概率為p1=×0.53×(1-0.5)2=.(2)再次出現(xiàn)平局包括00,11,55等6種可能性，故其概率為p2=×0.50×(1-0.5)52+×0.51×(1-0.5)42+×0.55×(1-0.5)02=.變式提升 3 將一枚硬幣連擲5次，如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k+1次正面的概率，那么k的值為（ ）a.0 b.1 c.2 d.3解析：由()k()5-k=()k+1·()5-k-1,即=,k+(k+1)=5,k=2.答案：c6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756ed