新北師大九年級下24二次函數(shù)的應用(1)(最大面積)

1、九年級數(shù)學九年級數(shù)學( (下下) )第二章第二章二次函數(shù)二次函數(shù)2.4 2.4 二次函數(shù)的應用二次函數(shù)的應用-最大面積最大面積1.1.二次函數(shù)表達式的頂點式是二次函數(shù)表達式的頂點式是 ， 若若a0a0，則當，則當x=x= 時，時，y y有最大值有最大值 。y=ax+bx+c (a 0)y=a(x-h)2+k (a 0)hk2.2.二次函數(shù)表達式的一般式是二次函數(shù)表達式的一般式是 ， 若若a0a0 x0 解解得得 4x6 -40 且且對對稱稱軸軸是是直直線線 x=3 當當 4x6 時時，y 隨隨 x 增增大大而而減減少少 當當 x=4m 時時，S最最大大= - 442+244=32m2 即即墻墻

2、的的最最大大可可用用長長度度為為 8 米米，圍圍成成花花圃圃的的最最大大面面積積是是 32m2。 S=-4x2+24x 變式練習變式練習2.如圖，在一面靠墻的空地上用長為如圖，在一面靠墻的空地上用長為24m24m的籬笆，的籬笆， 圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB=xmAB=xm，面積為面積為SmSm2 2。 (1)(1)求求S S與與x x的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍；的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍； (2)(2)當當x x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？ (3)(3)若墻的最

3、大可用長度為若墻的最大可用長度為8 8米，求圍成花圃的最大面積米，求圍成花圃的最大面積 . .(1)(1)設矩形的一邊設矩形的一邊AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD邊的長度如何表示？邊的長度如何表示？(2)(2)設矩形的面積為設矩形的面積為ycmycm2 2, ,當當x x取何值時取何值時,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?例例2 2：如圖如圖, ,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCDABCD， 其中其中ABAB和和ADAD分別在兩直角邊上分別在兩直角邊上. .MN40cm30cmABCDABCDMN40cm30cmxcm b cm例例2

4、2：如圖如圖, ,在一個直角三角形的在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形內(nèi)部作一個矩形ABCDABCD，其中，其中ABAB和和ADAD分別在兩直角邊上分別在兩直角邊上. .(1)(1)設矩形的一邊設矩形的一邊AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD邊的長度如何表示？邊的長度如何表示？(2)(2)設矩形的面積為設矩形的面積為ycmycm2 2, ,當當x x取何值時取何值時,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?ABCDMN40cm30cmxcm b cm例例2 2：如圖如圖, ,在一個直角三角形的在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形內(nèi)部作一個矩形ABCDABCD，其中，其中ABAB和和ADAD

5、分別在兩直角邊上分別在兩直角邊上. .(1)(1)設矩形的一邊設矩形的一邊AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD邊的長度如何表示？邊的長度如何表示？(2)(2)設矩形的面積為設矩形的面積為ycmycm2 2, ,當當x x取何取何值時值時,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?解解：（1）AD=( - 34x + 30 )cm (1).(1).設矩形的一邊設矩形的一邊BC=xmBC=xm, ,那么那么ABAB邊的長度如何表示？邊的長度如何表示？(2).(2).設矩形的面積為設矩形的面積為ymym2 2, ,當當x x取何值時取何值時,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?變式練習變

6、式練習3 3：如圖如圖, ,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCDABCD，其頂點，其頂點A A和點和點D D分別在兩直角邊上分別在兩直角邊上,BC,BC在斜邊上在斜邊上. .ABCDEGF40m30mxmbmPQ(1).(1).設矩形的一邊設矩形的一邊BC=xmBC=xm, ,那么那么ABAB邊的長度如何表示？邊的長度如何表示？(2).(2).設矩形的面積為設矩形的面積為ymym2 2, ,當當x x取何值時取何值時,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?變式練習變式練習3 3：如圖如圖, ,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形

7、ABCDABCD，其頂點，其頂點A A和點和點D D分別在兩直角邊上分別在兩直角邊上,BC,BC在斜邊上在斜邊上. .ABCDEGF40m30mxmbmPQ解解 ： (1)AB =(- 1225x + 24 )m 如圖如圖,已知已知ABC是一等腰三角形鐵板余料是一等腰三角形鐵板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在若在ABC上截出一矩形零件上截出一矩形零件DEFG,使得使得EF在在BC上上,點點D、G分別在邊分別在邊AB、AC上上.問矩形問矩形DEFG的最大面積是的最大面積是多少多少?CFEBGDAMN變式練習變式練習4 4：例例3 3：某建筑物的窗戶如圖所示某建筑物的窗戶如圖所示

8、, ,它的上半部是半圓它的上半部是半圓, ,下半部下半部是矩形是矩形, ,制造窗框的材料總長制造窗框的材料總長( (圖中所有的黑線的長度和圖中所有的黑線的長度和) )為為15m.15m.當當x x等于多少時等于多少時, ,窗戶通過的光線最多窗戶通過的光線最多( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01m)?0.01m)?此時此時, ,窗戶的面積是多少窗戶的面積是多少? ?xxy例例4 4. .在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，點，點P P從點從點A A出發(fā)沿出發(fā)沿ABAB邊向點邊向點B B以以1cm/1cm/秒的速度移動，同時，點秒的速度移動，同時，點Q

9、 Q從點從點B B出發(fā)沿出發(fā)沿BCBC邊向點邊向點C C以以2cm/2cm/秒秒的速度移動。如果的速度移動。如果P P、Q Q兩點在分別到達兩點在分別到達B B、C C兩點后就兩點后就 停止移動，停止移動，設運動時間為設運動時間為t t秒（秒（0t6)0t6)，回答下列問題：（，回答下列問題：（1 1）運動開始后第幾）運動開始后第幾秒時，秒時，PBQPBQ的面積等于的面積等于8cm8cm2 2 ； （2 2）設五邊形）設五邊形APQCDAPQCD的面積為的面積為ScmScm2 2 ，寫出，寫出S S與與t t的函數(shù)關系式，的函數(shù)關系式，t t為何為何值時值時S S最??？求出最小？求出S S的最

10、小值。的最小值。QPCBAD解解： （1）由由題題意意得得BQ=2tcm， BP=(6-t)cm SPBQ= 12 2t(6-t)=8cm2 解解得得：t1=2,t2=4 運運動動開開始始后后2秒秒或或4秒秒時時， PBQ的的面面積積等等于于8cm2 2t cm(6-t)cm t cm例例4 4. .在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，點，點P P從點從點A A出發(fā)沿出發(fā)沿ABAB邊向點邊向點B B以以1cm/1cm/秒的速度移動，同時，點秒的速度移動，同時，點Q Q從點從點B B出發(fā)沿出發(fā)沿BCBC邊向點邊向點C C以以2cm/2cm/秒秒的速

11、度移動。如果的速度移動。如果P P、Q Q兩點在分別到達兩點在分別到達B B、C C兩點后就兩點后就 停止移動，停止移動，設運動時間為設運動時間為t t秒（秒（0t6)0t6)，回答下列問題：（，回答下列問題：（1 1）運動開始后第幾）運動開始后第幾秒時，秒時，PBQPBQ的面積等于的面積等于8cm8cm2 2 ； （2 2）設五邊形）設五邊形APQCDAPQCD的面積為的面積為ScmScm2 2 ，寫出，寫出S S與與t t的函數(shù)關系式，的函數(shù)關系式，t t為何為何值時值時S S最小？求出最??？求出S S的最小值。的最小值。QPCBAD2t cm(6-t)cm t cm1.1.理解問題理解問

12、題; ;w回顧本節(jié)回顧本節(jié)“最大面積最大面積”解決問題的過程，你能解決問題的過程，你能總結(jié)一下解決此類問題的基本思路嗎？與同伴交總結(jié)一下解決此類問題的基本思路嗎？與同伴交流流. .2.2.分析問題中的變量和常量分析問題中的變量和常量, ,以及它們之間的關系以及它們之間的關系; ;3.3.用數(shù)學的方式表示出它們之間的關系用數(shù)學的方式表示出它們之間的關系; ;4.4.做數(shù)學求解做數(shù)學求解; ;5.5.檢驗結(jié)果的合理性檢驗結(jié)果的合理性, ,拓展等拓展等.課堂總結(jié)41.1.一根鋁合金型材長為一根鋁合金型材長為6m6m，用它制作一個，用它制作一個“日日”字型的窗字型的窗框，如果恰好用完整條鋁合金型材，那

13、么窗架的長、寬各框，如果恰好用完整條鋁合金型材，那么窗架的長、寬各為多少米時，窗架的面積最大？為多少米時，窗架的面積最大？課堂訓練5 3. 如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面寬如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時水面寬AB=20m，如果水位上升，如果水位上升3米，則水面寬米，則水面寬CD=10m（1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；（2）有一條船以）有一條船以5km/h的速度向此橋駛來，當船距離此的速度向此橋駛來，當船距離此橋橋35km是，橋下水位正好在是，橋下水位正好在AB處，之后水位每小時上漲處，之后水位每小時上漲0.

14、25m當水位到當水位到CD處時，將禁止船只通行，如果該船按原處時，將禁止船只通行，如果該船按原來的速度行駛，那么它能否能安全通過此橋。來的速度行駛，那么它能否能安全通過此橋。 E B D C A4.4.如圖如圖, , 在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,點點D D在在BCBC上上運動運動( (不運動至不運動至B,C),DEAC,B,C),DEAC,交交ABAB于于E,E,設設BD=x,BD=x,ADEADE的面的面積為積為y y (1)(1)求求y y與與x x的函數(shù)關系式及自變量的函數(shù)關系式及自變量x x的取值范圍的取值范圍;

15、 ;(2)y(2)y為何值時為何值時, ,ADEADE的面積最大的面積最大? ?最大面積是多少最大面積是多少? ?5.5.正方形正方形ABCDABCD邊長邊長5cm,5cm,等腰等腰PQRPQR中中,PQ=PR=5cm,PQ=PR=5cm,QR=8cm,QR=8cm,點點D D、C C、Q Q、R R在同一直線在同一直線l l上，當上，當C C、Q Q兩點重合時，等腰兩點重合時，等腰PQRPQR以以1cm/s1cm/s的速度沿直線的速度沿直線l l向左方向開始勻速運動，向左方向開始勻速運動，tsts后后正方形與等腰三角形重合部分面積為正方形與等腰三角形重合部分面積為ScmScm2 2，解答下列

16、問題：解答下列問題：(1)(1)當當t=3st=3s時，求時，求S S的值；的值；(2)(2)當當t=5st=5s時，求時，求S S的值的值(3) (3) 當當5st8s5st8s時，求時，求S S與與t t的函數(shù)關系式，并求的函數(shù)關系式，并求S S的最大值。的最大值。(4) (4) 當當0st13s0st13s時，求時，求S S與與t t的函數(shù)關系式，的函數(shù)關系式， MABCDPQRlNABCDlMPQRHN5.5.正方形正方形ABCDABCD邊長邊長5cm,5cm,等腰等腰PQRPQR中中,PQ=PR=5cm,PQ=PR=5cm,QR=8cm,QR=8cm,點點D D、C C、Q Q、R

17、R在同一直線在同一直線l l上，當上，當C C、Q Q兩點重合時，等腰兩點重合時，等腰PQRPQR以以1cm/s1cm/s的速度沿直線的速度沿直線l l向左方向開始勻速運動，向左方向開始勻速運動，tsts后后正方形與等腰三角形重合部分面積為正方形與等腰三角形重合部分面積為ScmScm2 2，解答下列問題：解答下列問題：(1)(1)當當t=3st=3s時，求時，求S S的值；的值；(2)(2)當當t=5st=5s時，求時，求S S的值的值(3) (3) 當當5st8s5st8s時，求時，求S S與與t t的函數(shù)關系式，并求的函數(shù)關系式，并求S S的最大值。的最大值。(4) (4) 當當0st13

18、s0st13s時，求時，求S S與與t t的函數(shù)關系式，的函數(shù)關系式， 解解： （1）拋拋物物線線 y=12x2+mx+n經(jīng)經(jīng)過過 A（1，0） ，C（0，2） 解解得得： m=32c=2 ， 拋拋物物線線的的解解析析式式為為： y=12x2+32x+2； （2014蘭蘭州州）如如圖圖，拋拋物物線線y=12x2+mx+n與與x軸軸交交于于A、B兩兩點點，與與y軸軸交交于于點點C，拋拋物物線線的的對對稱稱軸軸交交x軸軸于于點點D，已已知知A（1，0） ，C（0，2） （1）求求拋拋物物線線的的表表達達式式； （2）在在拋拋物物線線的的對對稱稱軸軸上上是是否否 存存在在點點P，使使PCD是是以以CD為為 腰腰的的等等腰腰三三角角形形？如如果果存存在在，直直 接接寫寫出出P點點的的坐坐標標；如如果果不不存存 在在，請請說說明明理理由由； P 拋拋物物線線的的對對稱稱軸軸是是 x=32 P1（32，4） ，P2（32，52） ，P3（32，52） ； （2014