第13章計算流體力學(xué)CFD(3)

1、理論上，根據(jù)理論上，根據(jù)偏微分方程的偏微分方程的解能得到流場解能得到流場中任意點上流中任意點上流場變量的值。場變量的值。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點實際上，我們實際上，我們采用代數(shù)差分采用代數(shù)差分的方式將偏微的方式將偏微分方程組轉(zhuǎn)化分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。為代數(shù)方程組。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點通過求解代數(shù)通過求解代數(shù)方程組獲得流方程組獲得流場中離散網(wǎng)格場中離散網(wǎng)格節(jié)點上的變量節(jié)點上的變量值。值。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點從而，使得原從而，使得原來的偏微分方來的偏微分方程組被程組被“離散離散化化”了。了。離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：差分表達式差

2、分表達式截斷誤差截斷誤差一階向前差分：一階向前差分：上述差分表達式用到了上述差分表達式用到了(i,j)點及其右邊點及其右邊(i+1,j)點的點的信息，沒有左邊信息，沒有左邊(i-1,j)點的信息，且精度為一階點的信息，且精度為一階離散網(wǎng)格點離散網(wǎng)格點泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：一階向后差分：一階向后差分：上述差分表達式用到了上述差分表達式用到了(i,j)點及其左邊點及其左邊(i-1,j)點的點的信息，沒有右邊信息，沒有右邊(i+1,j)點的信息，且精度為一階點的信息，且精度為一階兩式相減得：兩式相減得：得：得：二階中心差分：二階中心差分：上述差分表達式用到了左邊上述

3、差分表達式用到了左邊(i-1,j)點及右邊點及右邊(i+1,j)點的信息，點的信息， (i,j)點位于它們中間，且精度為二階點位于它們中間，且精度為二階Y方向的差分表達式：方向的差分表達式：兩式相加得：兩式相加得：得：得：二階中心差分（關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)）二階中心差分（關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)）對對Y方向的二階導(dǎo)數(shù)有：方向的二階導(dǎo)數(shù)有：二階中心差分（關(guān)于二階中心差分（關(guān)于Y方向二階導(dǎo)數(shù)）方向二階導(dǎo)數(shù)）下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對上式對y求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)上式對上式對y求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)兩式相減得：兩式相減得：6下面求二

4、階混合偏導(dǎo)數(shù)下面求二階混合偏導(dǎo)數(shù)6二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階精度中心差分二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階精度中心差分二階偏導(dǎo)數(shù)，四階精度中心差分二階偏導(dǎo)數(shù)，四階精度中心差分高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一個時間步或空間步都需要更多的計算機時間。個時間步或空間步都需要更多的計算機時間。在邊界上怎樣構(gòu)造差分在邊界上怎樣構(gòu)造差分近似？近似？邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點向前差分，只有一階精度。向前差分，只有一階精度。邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點在邊界上如何得到二階在邊界上如何得到二階精度的有限差分呢？精度的有限差分呢？邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點不同于前面的泰勒級數(shù)不同于前面的泰

5、勒級數(shù)分析，下面采用多項式分析，下面采用多項式來分析。來分析。邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點設(shè)設(shè)邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點1，在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點2，在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點3，邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點得得邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點對對y求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：在邊界點在邊界點1，邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點得：得：邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點根據(jù)根據(jù)知知為三階精度為三階精度邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點故故為兩階精度為兩階精度為三階精度為三階精度邊界網(wǎng)格點邊界網(wǎng)格點為單側(cè)差分為單側(cè)差分對一個給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏對一個給定的偏微分方程，如果將其中所有的偏導(dǎo)數(shù)都用有限差分來代替，所得到的代數(shù)方程叫導(dǎo)數(shù)都用有限差分來代替，所得到的代數(shù)方

6、程叫做差分方程，它是偏微分方程的代數(shù)表示。做差分方程，它是偏微分方程的代數(shù)表示?？紤]非定常一維考慮非定常一維熱傳導(dǎo)方程：熱傳導(dǎo)方程：偏微分方程：偏微分方程：差分方程：差分方程：截斷誤差：截斷誤差：差分方程是一個代數(shù)差分方程是一個代數(shù)方程，如果在右圖所方程，如果在右圖所示區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點示區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點上都列出差分方程，上都列出差分方程，就得到一個聯(lián)立的代就得到一個聯(lián)立的代數(shù)方程組。數(shù)方程組。當網(wǎng)格點的數(shù)量趨于當網(wǎng)格點的數(shù)量趨于無窮多，也就是無窮多，也就是時，差分方程能否還時，差分方程能否還原為原來的微分方程原為原來的微分方程呢？呢？截斷誤差：截斷誤差：截斷誤差趨于零，從而差分方程確實趨近于原

7、微截斷誤差趨于零，從而差分方程確實趨近于原微分方程。分方程。從而差分方程確實趨近于原微分方程，從而差分方程確實趨近于原微分方程，如果，如果，截斷誤差趨于零，截斷誤差趨于零，此時我們說偏微分方程的這個有限差分表示是相此時我們說偏微分方程的這個有限差分表示是相容的。容的。原微分方程與相應(yīng)的差分方程之間的區(qū)別原微分方程與相應(yīng)的差分方程之間的區(qū)別截斷誤差：截斷誤差：原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別原微分方程的解析解與差分方程的解之間的區(qū)別離散誤差：離散誤差：上述方程是拋物型方程，可以推進求解，推進變量是時間上述方程是拋物型方程，可以推進求解，推進變量是時間t邊界條件已知邊界條件已知邊界條件已

8、知邊界條件已知顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知顯式方法中每一個差分方程只包含一個未知數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計算的方法數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計算的方法顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法?？颂m克尼科爾森格式克蘭克尼科爾森格式對于排列在同一時間層對于排列在同一時間層所有網(wǎng)格點上的未知量，所有網(wǎng)格點上的未知量，必須將它們聯(lián)立起來同必須將它們聯(lián)立起來同時求解，才能求出這些時求解，才能求出這些未知量，這種方法就定未知量，這種方法就定義為隱式方法。義為隱式方法。由于需要求解聯(lián)立的代由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣

9、的運算。常涉及大型矩陣的運算。隱式方法比顯式方法需隱式方法比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計算。要更多、更復(fù)雜的計算。A，B，Ki 均為已知量均為已知量A，B，Ki 均為已知量均為已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點2：A，B，Ki 均為已知量均為已知量T1 為邊界條件，已知量為邊界條件，已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點3：A，B，Ki 均為已知量均為已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點4：在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點5：A，B，Ki 均為已知量均為已知量在網(wǎng)格點在網(wǎng)格點6：T7 為邊界條件，已知量為邊界條件，已知量于是有關(guān)于于是有關(guān)于T2，T3，T4，T5，T6這五個未知數(shù)的五個方程這五個未知數(shù)的五個方程A，B，Ki 均為已知量均為已知量寫成矩

10、陣形式：寫成矩陣形式：系數(shù)矩陣是一個三對角矩陣，僅在三條對角線上有非系數(shù)矩陣是一個三對角矩陣，僅在三條對角線上有非零元素。零元素。求解線性代數(shù)方程組的標準方法是高斯消去法。應(yīng)用求解線性代數(shù)方程組的標準方法是高斯消去法。應(yīng)用于三對角方程組，通常采用托馬斯算法（國內(nèi)稱為追于三對角方程組，通常采用托馬斯算法（國內(nèi)稱為追趕法）求解。趕法）求解。對于顯式方法，一旦對于顯式方法，一旦 x取定，那么取定，那么 t的取值必須受到的取值必須受到穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個值。否穩(wěn)定性條件的限制，其取值必須小于等于某個值。否則，計算不穩(wěn)定。因此，則，計算不穩(wěn)定。因此， t必須取得很小，才能保持必須取得

11、很小，才能保持計算穩(wěn)定，要算到某個給定的時間值，程序要運行很計算穩(wěn)定，要算到某個給定的時間值，程序要運行很長時間。長時間。隱式方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多隱式方法沒有穩(wěn)定性限制，可以取比顯式方法大得多的的 t，仍能保持計算穩(wěn)定。要計算某個給定的時間值，仍能保持計算穩(wěn)定。要計算某個給定的時間值，隱式方法所用的時間步數(shù)比顯式方法少很多。隱式方法所用的時間步數(shù)比顯式方法少很多。對某些應(yīng)用來說，雖然隱式方法一個時間步的計算會對某些應(yīng)用來說，雖然隱式方法一個時間步的計算會比顯式方法花的時間長，但由于時間步數(shù)少，總的運比顯式方法花的時間長，但由于時間步數(shù)少，總的運行時間可能比顯式方法少。行時

12、間可能比顯式方法少。另外，當另外，當 t取得較大時，截斷誤差就大，隱式方法在取得較大時，截斷誤差就大，隱式方法在跟蹤嚴格的瞬態(tài)變化（未知函數(shù)隨時間的變化）時，跟蹤嚴格的瞬態(tài)變化（未知函數(shù)隨時間的變化）時，可能不如顯式方法精確?？赡懿蝗顼@式方法精確。不過，對于以定常態(tài)為最終目標的時間相關(guān)算法，時不過，對于以定常態(tài)為最終目標的時間相關(guān)算法，時間上夠不夠精確并不重要。間上夠不夠精確并不重要。當流場中某些局部區(qū)域的網(wǎng)格點分布很密，采用顯式當流場中某些局部區(qū)域的網(wǎng)格點分布很密，采用顯式方法，小的時間步長會導(dǎo)致計算時間特別長。方法，小的時間步長會導(dǎo)致計算時間特別長。例如，高雷諾數(shù)粘性流，物面附近的流場會產(chǎn)

13、生急劇例如，高雷諾數(shù)粘性流，物面附近的流場會產(chǎn)生急劇的變化，因此，物面附近需要更密的空間網(wǎng)格。的變化，因此，物面附近需要更密的空間網(wǎng)格。在這種情況下，若采用隱式方法，即使對于很密的空在這種情況下，若采用隱式方法，即使對于很密的空間網(wǎng)格，也能采用較大的時間步長，就會減少程序運間網(wǎng)格，也能采用較大的時間步長，就會減少程序運行時間。行時間。在從一個推進步進行到下一步時，如果某個特定的數(shù)在從一個推進步進行到下一步時，如果某個特定的數(shù)值誤差被放大了，那么計算就變成不穩(wěn)定。如果誤差值誤差被放大了，那么計算就變成不穩(wěn)定。如果誤差不增長，甚至在從一個推進步進行到下一步時，誤差不增長，甚至在從一個推進步進行到下

14、一步時，誤差還在衰減，那么計算通常就是穩(wěn)定的。還在衰減，那么計算通常就是穩(wěn)定的。A=偏微分方程的精確解（解析解）偏微分方程的精確解（解析解）D=差分方程的精確解差分方程的精確解離散誤差離散誤差=A-DD=差分方程的精確解差分方程的精確解舍入誤差舍入誤差= =N-DN=在某個有限精度的計算機上實際計算出來的解在某個有限精度的計算機上實際計算出來的解 （數(shù)值解）（數(shù)值解）N=D+ 數(shù)值解數(shù)值解N=精確解精確解D+誤差誤差 數(shù)值解數(shù)值解N滿足差分方程，于是有滿足差分方程，于是有數(shù)值解數(shù)值解N=精確解精確解D+誤差誤差 精確解精確解D也必然滿足差分方程，于是有也必然滿足差分方程，于是有數(shù)值解數(shù)值解N=

15、精確解精確解D+誤差誤差 兩式相減得，誤差兩式相減得，誤差 也滿足差分方程：也滿足差分方程：當求解過程從第當求解過程從第n步推進到第步推進到第n+1步時，如果步時，如果 i衰減，至衰減，至少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，如果少是不增大，那么求解就是穩(wěn)定的；反之，如果 i增大，增大，求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，應(yīng)求解就是不穩(wěn)定的。也就是說，求解要是穩(wěn)定的，應(yīng)該有：該有：根據(jù)根據(jù)von Neumann（馮（馮 諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法，設(shè)諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法，設(shè)誤差隨空間和時間符合如下誤差隨空間和時間符合如下Fourier級數(shù)分布：級數(shù)分布：則則穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求故放大因子

16、故放大因子1a tGe下面采用下面采用von Neumann（馮（馮 諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法諾伊曼）穩(wěn)定性分析方法分析如下差分方程的穩(wěn)定性：分析如下差分方程的穩(wěn)定性：由于誤差由于誤差 也滿足差分方程，故有也滿足差分方程，故有由于誤差由于誤差 也滿足差分方程，故有也滿足差分方程，故有而而則則解得解得放大因子放大因子要使要使放大因子放大因子1G 必須滿足必須滿足上式就是差分方程上式就是差分方程的穩(wěn)定性條件。的穩(wěn)定性條件。對于給定的對于給定的 x， t的值必須足夠小，才能滿足上述穩(wěn)的值必須足夠小，才能滿足上述穩(wěn)定性條件，以保證計算過程中誤差不會放大。定性條件，以保證計算過程中誤差不會放大。穩(wěn)定性條件的具體形式取決于差分方程的形式。穩(wěn)定性條件的具體形式取決于差分方程的形式。的差分方程的差分方程是無條件不穩(wěn)定的。是無條件不穩(wěn)定的。比如，一階波動方程：比如，一階波動方程：但如果用但如果用則則1112nnniiiuuu（Lax方法）方法）令誤差令誤差則放大因子則放大因子式中式中則放大因子則放大因子穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求則則穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求式中的式中的C稱為柯朗稱為柯朗(Courant)數(shù)。數(shù)。穩(wěn)定性要求穩(wěn)定性要求上式稱為柯朗弗里德里奇列維上式稱為柯朗弗里德里奇列維(Courant-Friedrichs-Lewy)條件，一般寫成條件，一般寫成CFL條件。條件。下面來看下面來看CF